初中数学北师大版八年级上册2 平面直角坐标系一课一练

这是一份初中数学北师大版八年级上册2 平面直角坐标系一课一练，文件包含北师大版初二数学上册秋季班讲义第4讲平面直角坐标系--提高班教师版docx、北师大版初二数学上册秋季班讲义第4讲平面直角坐标系--提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
第4讲 平面直角坐标系

知识点1 有序数对
像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
注意：当时，和是不同的两个有序数对．
【典例】
1.如下图所示，B表示为（4，5），B左侧第二个人的位置是 （ ）

A. （2，5） B. （5，2） C. （2，2） D. （5，5）
【答案】A.
【解析】解：B的位置是四列五行，表示为（4，5），列数在前，行数在后，
B左侧第二个人的位置是二列五行，表示为（2，5）
故选：A

2.如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为？

【答案】略
【解析】解：2街4巷为点（2，4），4街2巷为点（4，2），如下图所示：

从2街4巷到4街2巷，走最短的路线
从点（2，4）到点（4，2）有6种走法，分别为
1、（2，4）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（4，2）；
2、（2，4）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；
3、（2，4）→（3，4）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；
4、（2，4）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（4，2）；
5、（2，4）→（2，3）→（3，3）→（3，2）→（4，2）；
6、（2，4）→（2，3）→（2，2）→（3，2）→（4，2）．
【方法总结】
第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在前，行数在后；（3）用有序数对表示所求各点的位置．
第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2，4）和点（4，2）；理解题意，因为“走最短的路线”，所以只能向右或向下走，否则就不是最短路线．由此一一找出符合条件的线段．
【随堂练习】
1．（2018•柳北区三模）如图，象棋盘上，若“帅”位于点（﹣1，﹣2），“马”位于点（2，﹣2），则“炮”位于点（　　）

A．（﹣3，1） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（1，﹣1）
【解答】解：如图所示：“炮”位于点：（0，0）．
故选：B．

　
2．（2018•昌平区二模）第六届北京农业嘉年华在昌平区兴寿镇草莓博览园举办，某校数学兴趣小组的同学根据数学知识将草莓博览园的游览线路进行了精简．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示国际特色农产品馆的坐标为（﹣5，0），表示科技生活馆的点的坐标为（6，2），则表示多彩农业馆所在的点的坐标为（　　）

A．（3，5） B．（5，﹣4） C．（﹣2，5） D．（﹣3，3）
【解答】解：∵国际特色农产品馆的坐标为（﹣5，0），科技生活馆的点的坐标为（6，2），
∴可建立如图所示的平面直角坐标系：

由坐标系可知表示多彩农业馆所在的点的坐标为（﹣2，5），
故选：C．
　
3．（2018•滦南县二模）如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A（8，30°）．用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在（　　）

A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
【解答】解：如图所示：观测点的位置应在点O1．
故选：A．

　
知识点2 各象限内点的坐标特征
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做横轴或轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做纵轴或轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．

2、象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限，第二象限，第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．

3、点的坐标
对于坐标平面内的一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序实数对叫做点的坐标，记作．如下图为A（4，5）点坐标．
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．

4、各象限内点的坐标特征
点在第一象限；
点在第二象限；
点在第三象限；
点在第四象限．


【典例】
1.在平面直角坐标系中，到x轴的距离等于2个单位长度，且到y轴的距离等于3个单位长度的点有____________．
【答案】（3，2）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣2）、（3，﹣2）
【解析】解：设该点坐标为（x，y）
∵满足条件的点到x轴的距离等于2个单位长度，
∴该点纵坐标的绝对值等于2，即，
∵到y轴的距离等于3个单位长度，
∴该点横坐标的绝对值等于3，即
∴满足条件的点一共有4个，分别是：
（3，2）、（﹣3，2）、（﹣3，﹣2）、（3，﹣2），

2.已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第______象限．
【答案】三
【解析】解：∵a•b＞0，
∴a、b同号
∵a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴点M（a，b）在第三象限．
故答案为：三
【方法总结】
第一题考查点的坐标以及分类讨论，点到x轴的距离等于点纵坐标的绝度值，点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值．
第二题考查判断点的横、纵坐标的符号，由于a•b＞0，则a、b同号，而a+b＜0，可得a＜0，b＜0．同理当 a•b＞0，a+b>0时，可得a>0，b>0．
四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【随堂练习】
1．（2018•常州一模）若点A（x，y）是第二象限内的点，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．x＞y B．x+y＜0 C．x﹣y＜0 D．xy＞0
【解答】解：因为点A（x，y）是第二象限内的点，
所以x＜0，y＞0，
可得：x﹣y＜0，xy＜0，x＜y，
故选：C．
　
2．（2018•周村区一模）若m是任意实数，则点P（m﹣1，m+2）一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵（m+2）﹣（m﹣1）=m+2﹣m+1=3＞0，
∴点P的纵坐标一定大于横坐标，
第一象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∴纵坐标一定小于横坐标，
∴点P一定不在第四象限，
故选：D．
　
3．（2018•香洲区模拟）平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限内，则点B（b，a）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵点A（a，﹣b）在第三象限内，
∴a＜0，﹣b＜0，
则b＞0，
故点B（b，a）所在的象限是第四象限．
故选：D．

知识点3 坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征
1、坐标轴上点的坐标特征：
点在轴上，为任意实数；
点在轴上，为任意实数；
点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为．
2、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征：
点在第一、三象限夹角的角平分线上；
点在第二、四象限夹角的角平分线上．
【典例】
1.如果点P（a，b）在x轴上，那么点Q（ab，﹣1）在（　　）
A. y轴的正半轴上 B. y轴的负半轴上
C. x轴的正半轴上 D. x轴的负半轴上
【答案】B.
【解析】解：∵点P（a，b）在x轴上，
∴b=0，
∴ab=0，
∴点Q（ab，﹣1）在y轴负半轴上．
故选：B
2.已知点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P在二四象限角平分线上，则点P的坐标是_________．
【答案】（6，﹣6）
【解析】解：∵点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P在二四象限角平分线上，
∴（2﹣a）+（3a+6）=0，
解得a=﹣4，
∴横坐标：2﹣a=2﹣（﹣4）=6，
∴点P的坐标为（6，﹣6）．
故答案为：（6，﹣6）．
【方法总结】
第一题主要考查了点在坐标轴上时点的坐标特点：点在x轴上时，纵坐标为0；点在y轴上时，横坐标为0．
第二题考查坐标轴夹角平分线上点的坐标特征，第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数．
【随堂练习】
1．（2018春•遂宁期末）已知点P（a，1）不在第一象限，则点Q（0，﹣a）在（　　）
A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上
C．y轴正半轴或原点上 D．y轴负半轴上
【解答】解：∵点P（a，1）不在第一象限，
∴a≤0，
则﹣a≥0，
故点Q（0，﹣a）在：y轴正半轴上或原点．
故选：C．
　
2．（2018春•平定县期末）点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（　　）
A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，﹣4）
【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，
∴m+1=0，
∴m=﹣1，
∴点P的坐标为（2，0）．
故选：B．
　
3．（2018春•阿城区期末）若P（m+3，m﹣2）是x轴上的点，则m的值是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【解答】解：∵P（m+3，m﹣2）是x轴上的点，
∴m﹣2=0，
解得：m=2．
故选：A．

知识点4 规律性--点的坐标
在平面直角坐标系内找点的规律：
1、尽可能多的找出点的坐标，已知的点越多，越好找规律；
2、点的横坐标和纵坐标的规律一般不同，需要分别考虑；
3、要注意所求点的横、纵坐标的正负．
【典例】
1.在平面直角坐标系xOy中，点A从原点出发沿x轴正向移动1个单位长度到A1，逆时针旋转90°后前进2个单位长度到达A2，逆时针旋转90°后前进3个单位长度到达A3，…，逆时针旋转90°后前进2018个单位长度到达点A2018，则点A2018的坐标为________．

【答案】（1009，1010）
【解析】解：如图所示：
∵A1（1，0），A2（1，2），A3（﹣2，2），A4（﹣2，﹣2），
A5（3，﹣2），A6（3，4），A7（﹣4，4），A8（﹣4，﹣4），
A9（5，﹣4），A10（5，6），
A11（﹣6，6）…
观察图形规律，一三象限内是偶次数点，其中第三象限的点次数是4的整数倍，第一象限的点次数除以4余2；
因为2018÷4=504……2，所以点A2018在第一象限；
观察第一象限内点的坐标规律：A2（1，2），A6（3，4），A10（5，6）……，可得A2018点的坐标为（1009，1010）．
故答案为：（1009，1010）．
【方法总结】
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出各点坐标，然后分析每个象限内点的坐标规律，即可判断点A2018在第一象限；再观察第一象限内的点A2（1，2），A6（3，4），A10（5，6）的规律，发现第一象限内的点An的横坐标为，纵坐标为，所以第一象限内点A的坐标为，所以点A2018点的坐标为（1009，1010）．
【随堂练习】
1．（2018•潍坊二模）对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（xy）=（x+y，x﹣y）：且规定Pn（x，y）=P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数），如P1（1，2）=（3，﹣1），P2（1，2）=P1（P1（1，2））=P1（3，﹣1）=（2，4），P3（1，2）=P1（P2（1，2））=P1（2，4）=（6，﹣2），则P2018（1，﹣1）=（　　）
A．（0，21009） B．（0，21008） C．（21008，﹣21008） D．（21009，﹣21009）
【解答】解：根据题意得：
P1（1，﹣1）=（0，2），
P2（1，﹣1）=（2，﹣2）
P3（1，﹣1）=（0，4），
P4（1，﹣1）=（4，﹣4）
P5（1，﹣1）=（0，8），
P6（1，﹣1）=（8，﹣8）
…
当n为偶数时，Pn（1，﹣1）=（，﹣），
则P2018（1，﹣1）=（21009，﹣21009）；
故选：D．
　
2．（2018春•新洲区期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（　　）

A．（14，0） B．（14，﹣1） C．（14，1） D．（14，2）
【解答】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n个有n个点，
并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
所以奇数列的坐标为（n，）（n，﹣1）…（n，）；
偶数列的坐标为（n，）（n，﹣1）…（n，1﹣），
由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．
代入上式得（14，﹣5），即（14，2）．
故选：D．
　
3．（2018春•微山县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　）

A．（﹣1，0） B．（1，﹣2） C．（1，﹣1） D．（0，﹣2）
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2018÷10=201…8，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第8个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点在D处上面1个单位的位置，坐标为（1，﹣1）．
故选：C．

综合运用
1.如果用（7，3）表示七年级三班，则（9，6）表示____________．
【答案】九年级六班
【解析】解：根据（7，3）表示七年级三班，即第1个数表示年级，第2个数表示班级，所以（9，6）表示九年级六班．

2.如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示A到B的一条路线，用同样的方式写出另外一条由A到B的一条路线：（3，1）→（_______）→（_______）→（_______） → （1，3）．（答案不唯一）

【答案】（2，1）；（2，2）；（2，3）
【解析】解：答案不唯一．

3.已知点A（3a，2b）在x轴上方，y轴的左边，则点A到x轴、y轴的距离分别为____________．
【答案】2b， ﹣3a
【解析】解：∵点A（3a，2b）在x轴上方，
∴点A的纵坐标大于0，得到2b＞0，
∴点A到x轴的距离是2b；
∵点A（3a，2b）在y轴的左边，
∴点A的横坐标小于0，即3a＜0，
∴点A到y轴的距离是﹣3a
所以点A到x轴的距离是2b，到y轴的距离是﹣3a
故答案为：2b， ﹣3a

4.已知点（a，b）在笫二象限．则点（ab，a﹣b）在第_________象限．
【答案】三
【解析】解：∵点（a，b）在笫二象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，a﹣b＜0，
∴点（ab，a﹣b）在第三象限．
故答案为：三

5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测出，从里向外第41个正方形（实线）四条边上的整点个数共有_______个．

【答案】164
【解析】解：设从里向外第n个正方形四条边上的整点个数共有an（n为正整数）个，
观察，发现：a1=4，a2=8，a3=12，a4=16，…，
∴an=4n．
当n=41时，a41=41×4=164．
所以从里向外第41个正方形四条边上的整点个数共有164个
故答案为：164．

6. 如图，在直角坐标系中，一只蚂蚁从点P（0，1）出发，沿着图示折线方向移动，第一次到达点（1，1），第二次达到点（1，0），第三次达到点（1，﹣1），第四次达到点（2，﹣1），…，按照这样的规律，第2018次到达点的坐标应为_______．

【答案】（673，0）
【解析】解：设第n次到达的点为Pn，
观察，发现规律：P0（0，1），P1（1，1），P2（1，0），P3（1，﹣1），P4（2，﹣1），P5（2，0），P6（2，1），…，
蚂蚁移动6次是一个循环，每个循环向右移动2个单位
∵2018÷6=336……2
∴点P2018是由点P2（1，0）向右经过336个循环后得到的
∴点P2018的坐标为（2×336+1，0）即（673，0）．
故答案为：（673，0）．

7.请写出点A，B，C，D，的坐标．

【答案】略
【解析】解：A（3，2）；B（﹣3，4）；C（﹣4，﹣3）；D（3，﹣3）．

8.已知点P的坐标为（2m﹣1，m+7）．
（1）若点P在x轴上，试求m的值；
（2）若点P在二四象限的角平分线上，求m的值；
【答案】略
【解析】解：（1）∵点P在x轴上，
∵m+7=0，
m=﹣7；
（2）∵点P在二、四象限的角平分线上，
∴2m﹣1与m+7互为相反数
即：2m﹣1+m+7=0，
∴m=﹣2；

9.已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．
【答案】略
【解析】解：（1）∵点P在第三象限的角平分线上
∴4x与 x﹣3相等，即4x=x﹣3，
解得x=﹣1
∴点P在第三象限的角平分线上时，x=﹣1．
（2）∵点P在第四象限
∴4x>0，x﹣3