第9章 中心对称图形——平行四边形综合检测(附答案解析)

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第9章　中心对称图形——平行四边形综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)1.(2022江苏无锡中考)雪花,风车……展示着中心对称的美,利用中心对称,可以探索并证明图形的性质.请思考在下列图形中,是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为              (　　)A.扇形　　　　              B.平行四边形C.等边三角形　　　　        D.矩形2.(2022四川南充中考)如图,将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转得到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,若∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'的度数为 (　　)A.90°　　　　B.60°　　　　C.45°　　　　D.30°3. (2022江苏泰州期中)如图,▱ABCD的面积为4,点P在对角线AC上,E、F分别在AB、AD上,且PE∥BC,PF∥CD,连接EF,图中阴影部分的面积为              (　　 )A.1.8　　　　B.2　　　　C.2.4　　　　D.3 4.如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为              (　　)A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.75.(2022江苏扬州江都期中)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,点E为BC的中点,则OE的长为              (　　)A.2.5　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.66.(2022江苏盐城期末)如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形的是              (　　)A.AC⊥BD　　B.AB=AD   C.AC=BD　 D.∠ABD=∠CBD7.(2022江苏射阳三中期中)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=8,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,则折痕EF的长为              (　　)A.　　　　C.8　　　　D.78.【学科素养·几何直观】(2022湖北随州中考)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,如图,在正方形纸板ABCD中,BD为对角线,E,F分别为BC,CD的中点,AP⊥EF分别交BD,EF于点O,P,M,N分别为BO,DO的中点,连接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板,则在剪开之前,关于该图形,下列说法:①图中的三角形都是等腰直角三角形;②四边形MPEB是菱形;③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的.正确的有              (　　)A.只有①　　　　B.①②　　　　C.①③　　　　D.②③二、填空题(每题3分,共24分)9.若用反证法证明“△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”时,第一步应假设　　　　　　　. 10.(2022浙江台州中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为　　　　. 11.(2022江苏南京月考)如图,在等边△ABC中,AC=10,点O在AC上,且AO=4,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是　　　　. 12.【主题教育·中华优秀传统文化】(2021江苏常州中考)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中,给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图所示,在△ABC中,分别取AB、AC的中点D、E,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3,AF=2,则△ABC的面积是　　　　. 13.【新独家原创】如图,直线a∥b,点A、P在直线a上,点B、Q、C在直线b上,且Q为线段BC的中点,若S△PQB=3,则S△ABC=　　　　. 14.(2022北京二中期中) 把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,且此菱形的一条对角线长为16,将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形,则图2中阴影部分的面积为　　　　.           图1                   图215.在▱ABCD中,AB=3,BE平分∠ABC,交AD边所在直线于点E,若AE=3ED,则AD的长为　　　　. 16.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,F在BC边上,且∠EAF=45°,连接EF,则BF的长为　　　　. 三、解答题(共52分)17.(2022江苏如皋月考)(12分)请用无刻度直尺按要求在网格中作图,并标明字母(辅助线可用虚线作出,以下作图请勿超出网格范围).(1)作出平行四边形ABDC;(2)以AC为边,作出正方形ACMN;(3)作出一条同时平分平行四边形ABDC与正方形ACMN面积的直线.   18.(12分)如图,▱ABCD中,∠A=45°,过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E,且BE=AB,连接BD,CE.求证:四边形BDCE是正方形. 19.(2022北京中考)(14分)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,AE=CF.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.   (2022江苏徐州期末)(14分)如图①,在长方形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从A点出发沿A—B—C—D在长方形上移动,且点P的速度是2 cm/s,设运动的时间为t秒,点P与点A、点D连线所围成的三角形PAD的面积为S1 cm2.(1)当t=2时,S1=　　　　; (2)当S1=12时,t=　　　　; (3)如图②,若在点P运动的同时,点Q也从C点同时出发,沿C—B在线段BC上运动,速度为1 cm/s,若点Q与点C、点D连线所围成的三角形QCD的面积为S2,当|S1-S2|=18时,求t的值.图①图②　备用图1备用图2
答案全解全析1.B　A.扇形不是中心对称图形,不符合题意;B.平行四边形,是中心对称图形,不一定是轴对称图形,符合题意;C.等边三角形,不是中心对称图形,不符合题意;D.矩形,既是中心对称图形,又是轴对称图形,不符合题意.故选B.2.B　∵∠B=30°,∠C=90°,∴∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°,由旋转可知∠B'AC'=∠BAC=60°,∴∠BAC'=180°-∠BAC-∠B'AC'=180°-60°-60°=60°,故选B.3.B　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∵PE∥BC,PF∥CD,∴AE∥PF,AF∥EP,∴四边形AEPF是平行四边形,易知S△AEF=S△APF,∴S阴影=S△ACD=S平行四边形ABCD=2,故选B.4.A　如图,过点P作MN⊥AD,分别与AD、BC交于点M、N,∵AD∥BC,∴MN⊥BC.∵∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,PE⊥AB于点E,∴PM=PE=2,PN=PE=2,∴MN=2+2=4.∴AD与BC间的距离为4.故选A.5.A　∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC=AC=4,OB=OD=BD=3,在Rt△OAB中,由勾股定理得AB2=AO2+BO2,∴AB=5,∵OA=OC,点E为BC的中点,∴OE是△CAB的中位线,∴OE=.故选A.6.C　∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,当AB=AD或AC⊥BD时,均可判定四边形ABCD是菱形;当AC=BD时,可判定四边形ABCD是矩形;当∠ABD=∠CBD时,由AD∥BC得∠CBD=∠ADB,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.故选C.7.B　连接BD交EF于O,连接BE,过E作EG⊥BC于G,如图,设AE=x,则BE=DE=8-x,在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,∴x2+62=(8-x)2,解得x=,∴AE=,∴BG=AE=,BE=DE=8-,∵∠DEF=∠BFE,∠DEF=∠BEF,∴∠BFE=∠BEF,∴BF=BE=,∴GF=BF-BG=,∴EF2=EG2+GF2=62+,∴EF=,故选B.8.C　∵点E,F分别为BC,CD的中点,∴EF为△BCD的中位线,∴EF∥BD,∵AP⊥EF,∴AP⊥BD,∵四边形ABCD为正方形,∴点A,O,P,C在同一条直线上,∴△ABD,△ABO,△AOD,△CEF都是等腰直角三角形,连接PC,如图,∵EP∥BO,E为BC的中点,∴P为OC的中点,∴MP是△OBC的中位线,∴△OMP是等腰直角三角形,由题意可知NF为△DOC的中位线,∴△DNF为等腰直角三角形,故①说法正确,由正方形的性质可得OB=BC,∴BM=BC,∵BE=BC,∴四边形MPEB不可能是菱形,故②说法错误.由△OMP,△PCF均为等腰直角三角形,OP=PC,可得△OMP≌△PCF,∴S四边形PFDM=S四边形PFDO+S△OMP=S四边形PFDO+S△PCF=S△ODC=S正方形ABCD,故③说法正确.9.△ABC中,∠A>∠B>∠C,∠A≤60°解析　反证法第一步应提出与题目的结论相反的假设,∠A>60°相反的假设为∠A≤60°,故答案是△ABC中,∠A>∠B>∠C,∠A≤60°.10.10解析　∵E、F分别为BC、AC的中点,∴AB=2EF=20,∵∠ACB=90°,点D为AB的中点,∴CD=AB=10,故答案为10.11.6解析　由旋转知∠DOP=60°,∴∠AOP+∠COD=120°,∵∠A=60°,∴∠AOP+∠APO=120°,∴∠APO=∠COD,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°,由旋转可知OP=OD,∴△APO≌△COD,∴AP=CO=AC-AO=6.12.12解析　由题意,得BG=CH=AF=2,DG=DF,EF=EH,∴DG+EH=DE=3,∴BC=GH=3+3=6,∴S△ABC=S矩形BCHG=6×2=12.13.6解析　∵直线a∥b,∴直线a与直线b之间的距离处处相等,∴△ABC与△PBQ其中一边上的高h相等,又∵Q为BC的中点,∴BC=2BQ,∴S△ABC=×2BQ×h=2S△PQB=6,故答案为6.14.4解析　如图所示.∵四边形ABCD是菱形,AC=16,∴OA=OC=8,OB=OD,AC⊥BD,根据勾股定理得OB==6,∴BD=2OD=12,∴菱形的面积=×12×16=96,∴题图2中阴影部分的面积=102-96=4.故答案为4.15.4或2解析　如图1,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∵AE=3ED,∴ED=AB,∴AD=AE+ED=AB=4;如图2,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∵AE=3ED,∴ED=AB,∴AD=AE-ED=AB=2.综上,AD的长为4或2.图1图216.2解析　∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG处,AB与AD重合,如图,则∠BAF=∠DAG,AF=AG,BF=DG,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAF+∠DAE=45°,∴∠EAD+∠DAG=45°,∴∠EAG=45°,∴∠EAF=∠EAG,∵∠ADG=∠ADC=∠B=90°,∴∠EDG=180°,∴点E、D、G共线,在△AFE和△AGE中,∴△AFE≌△AGE(SAS),∴EF=EG,即EF=EG=ED+DG,∵E为CD的中点,∴DE=CE=3,设BF=x,则CF=6-x,EF=EG=3+x,在Rt△CFE中,EF2=CE2+CF2,∴(3+x)2=32+(6-x)2,解得x=2,即BF=2.17.解析　(1)找格点D,使得CD∥AB,CD=AB,从而确定平行四边形ABDC.四边形ABDC即为所求.(2)分别找格点M、N,使得AN⊥AC、CM⊥AC,并使得AN=AC=CM,连接MN,正方形ACMN即为所求.(3)根据中心对称图形的性质,找到两个图形的对称中心G、H,过G、H画,直线l即为所求.18.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∵BE=AB,∴BE=CD,∴四边形BDCE是平行四边形.∵ED⊥AD,∴△ADE是直角三角形,∵AB=EB,∴DB是Rt△ADE斜边上的中线,∴DB=BE=AE,∴四边形BDCE是菱形,∵在Rt△ADE中,∠A=45°,∴∠AED=45°,∴∠DAB=∠AED,∴DA=DE,∴DB⊥AE, ∴∠DBE=90°,∴四边形BDCE是正方形.19.证明　(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,即EO=FO,∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC,∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴DA=DC,∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,即EF⊥BD,由(1)知四边形EBFD是平行四边形,∴四边形EBFD是菱形.20.解析　(1)∵点P从A点出发沿A—B—C—D在长方形上移动,且点P的速度是2 cm/s,t=2,∴AP=4 cm,∵AD=BC=12 cm,∴S1 =×4×12=24.(2)当S1=12时,有两种情况,①当点P在AB边上时,如图1.图1则S1=×AP×12=12,解得AP=2 cm,∴t==1.②当点P在CD边上时,如图2.图2则S1=×DP×12=12,解得DP=2 cm,∴CP=CD-DP=4 cm,∴点P运动的路程为AB+BC+CP=22 cm,∴t==11,故t=1或11.(3)当|S1-S2|=18时,有三种情况.①当点P在AB边上时,0<t<3,如图3:图3S1=×12×2t=12t,S2=×6×t=3t,显然S1>S2,当|S1-S2|=18时,9t=18,∴t=2.②当点P在BC边上时,3≤t≤9,如图4.图4S1=×12×6=36,S2=×6×t=3t,显然S1>S2,当|S1-S2|=18时,36-3t=18,∴t=6.③当点P在CD边上时,9<t<12,如图5.图5S1=×12×(24-2t)=144-12t,S2=×6×t=3t,此时无法判断S1与S2的大小,当S1-S2=18时,144-12t-3t=18,∴t=8.4(舍去).当S2-S1=18时,3t-(144-12t)=18,∴t=10.8.答:t的值为2或6或10.8.