北师大版数学八年级上册勾股定理全章复习与巩固（提高）巩固练习 (含答案)

【巩固练习】

一．选择题

1．在△中，若，则△ABC是（    ）

A． 锐角三角形 　  B． 钝角三角形    C． 等腰三角形  　  D． 直角三角形

2． 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（    ）

A．90°　　　 B．60°　　　 C．45°　　　 D．30°

3．（2020春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）

　 A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3

　 C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5

4．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（　　）

　 A．2900m B． 1200m C． 1300m D． 1700m

5． 直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列各式中总能成立的是（　　）

A．ab=h2　　　 B．a2+b2=h2　　　 C．　　　 D．

6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2等于(    )

A．25 B．325            C．2197  D．405

7． 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（    ）

A．

B．

C．

D．

8．（2020•连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（　　）

A．86   B．64   C．54   D．48

二．填空题

9．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．

10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．

11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．

12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP的最小值是　     　cm．

13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要　　cm．

14．（2020春•监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　     　（选填“能”或“不能”）．

15．（2016春•浠水县期末）如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于　　  ．

16． 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________．

三．解答题

17．（2020春•召陵区月考）能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．

（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；

（2）写出当a=17时，b，c的值．

18．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0．25cm/s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．

19．（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．

（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；

（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．

20． 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6，CD＝15，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）．现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．

位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；

位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．

（1）在图2中，若设BC的长为，请用的代数式表示AD的长；

（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）

（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．

【答案与解析】

一．选择题

1．【答案】D；

【解析】因为＝4，所以，

，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．

2．【答案】C；

【解析】连接AC，计算AC2＝BC2＝5,AB2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．

3．【答案】D；

【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；

B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；

C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；

D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．

故选D．

4．【答案】C；

  【解析】作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m）．

5．【答案】D；

【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：．再结合勾股定理：a2+b2=c2．进行等量代换，得a2+b2= ．两边同除以a2b2，得．

6．【答案】B；

【解析】＝169＋2×13×6＝325．

7．【答案】B；

  【解析】．

8．【答案】C；

【解析】解：如图1，S1=AC2，S2=AB2，S3=BC2，

∵BC2=AB2﹣AC2，

∴S2﹣S1=S3，

如图2，S4=S5+S6，

∴S3+S4=45﹣16+11+14=54．

故选C．

二．填空题

9．【答案】6；

【解析】延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为直角三角形．

10．【答案】3；

【解析】设点B落在AC上的E点处，设BD＝，则DE＝BD＝，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－，在Rt△CDE中根据勾股定理列方程．

11．【答案】14或4；

【解析】当△ABC是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC是钝角三角形时，BC＝9－5＝4．

12．【答案】5

   【解析】作E点关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP的最小值5．

13．【答案】5

   【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=BC，∴AC=4cm，PC=BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5．

14．【答案】能；

   【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，

根据题意，得x2=502+402+302=5000，

702=4900，

因为4900＜5000，

所以能放进去．

15．【答案】96；

【解析】连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，

∴AC2=100，

在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，

∴△ABC为直角三角形；

∴图形面积为：

S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96．

16．【答案】90°；

【解析】延长AD到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴  CM＝AB＝5  AM＝2AD＝12在△ACM中  即∴∠AMC＝∠BAD=90°

三．解答题

17．【解析】

解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：

①以上各组数均满足a2+b2=c2；

②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；

③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，

如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…

由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：

设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），

则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，

证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），

∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，

∴m，n，（n+1）是一组勾股数；

（2）运用以上结论，当a=17时，

∵172=289=144+145，

∴b=144，c=145．

18．【解析】

解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，

　 　 　∵BC=8cm，

　 　 　∴BD=CD=BC=4cm，

　 　 　∴AD=3，

　 　 　分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，

　 　 　∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，

　 　 　∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2．25，

∴BP=4﹣2．25=1．75=0．25t，

∴t=7秒，

当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2．25，

∴BP=4+2．25=6．25=0．25t，

∴t=25秒，

∴点P运动的时间为7秒或25秒．

19．【解析】

解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，

∵∠NOM=30°，AO=80m，

∴AD=40m，

即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；

（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，

∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，

∴AD=OA=×80=40m，

在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD===30m，

故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响．

∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，

∴重型运输卡车经过BD时需要60÷300=0．2（分钟）=12（秒）．

答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．

20．【解析】

解：（1）∵  在四边形ABCD转动的过程中，BC、AD边的长度始终保持不变，BC＝，

　 　 　 ∴  在图2中，AC＝BC－AB＝－6，AD＝AC＋CD＝＋9．

   （2）位置二的图形见图3．

   （3）∵  在四边形ABCD转动的过程中，BC、AD边的长度始终保持不变，

　 　 　 ∴  在图3中，BC＝，AC＝AB＋BC＝6＋，AD＝＋9．

　 　 　 在△ACD中，∠C＝90°

　 　 　 由勾股定理得．

　 　 　 ∴  ．

　 　 　 整理，得．

　 　 　 化简，得6＝180．

　 　 　 解得  ＝30．

　 　 　 即  BC＝30．

　 　 　 ∴  AD＝39．