第3章 三视图与表面展开图（培优卷）——2022-2023学年九年级下册数学单元卷（浙教版）（原卷版+解析版）

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班级          姓名           学号           分数  ______ 第3章   三视图与表面展开图（B卷·能力提升练）一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．下列四个立体图形中，主视图为圆的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，球的主视图是圆，正方体的主视图是正方形，所以，主视图是圆的几何体是球．故选B．考点：简单几何体的三视图． 2．下面几何体中，同一几何体的主视图和俯视图相同的是（  ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．【详解】圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同；圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同；球主视图、俯视图都是圆，主视图与俯视图相同；正方体主视图、俯视图都是正方形，主视图与俯视图相同．共2个同一个几何体的主视图与俯视图相同．故选：B．【点睛】考点：简单几何体的三视图．3．如图2的三幅图分别是从不同方向看图1所示的工件立体图得到的平面图形，（不考虑尺寸）其中正确的是（　　）                 A．①② B．①③ C．②③ D．③【答案】D【详解】从正面看可得到两个左右相邻的中间没有界线的长方形，①错误；从左面看可得到两个上下相邻的中间有界线的长方形，②错误；从上面看可得到两个左右相邻的中间有界线的长方形，③正确．故选D．4．一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于左视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和俯视图为矩形形可得此几何体为圆柱．根据图中数据，这个立体图形的的表面积是两个底面直径为2的圆的面积与边长为3×的矩形面积，因此，表面积为．故选D．5．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答．【详解】解：设P到AB 的距离为x mABCD，即得x=故选C．【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握对应高的比等于相似比．6．长方体的主视图、俯视图如图所示（单位：m），则其左视图面积是（   ）A．4 B．12 C．1 D．3【答案】D【详解】此题考查长方体的三视图的知识点；长方体的主视图、俯视图、正视图都是矩形；主视图和俯视图所看的长相等，左视图和俯视图所看的宽度相同，左视图和主视图所看的高相同，所以左视图矩形的高是1，宽是3，所以面积是3，所以选D7．下面的四个图形中，每个图形均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（　　）A． B．C． D．【答案】C【详解】A、折叠后有个侧面重叠，而且上边没有面，不能折成正方体；B、折叠后有个侧面重叠，缺少上底面，故不能折叠成一个正方体；C、可以折叠成一个正方体；D、折叠后有两个面重合，缺少一个下面，所以也不能折叠成一个正方体，故选C．8．如图，是一个正方体的平面展开图，且相对两个面表示的整式的和都相等，如果 ，则E所代表的整式是（   ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由图可得：面A和面E相对，面B和面D，相对面C和面F相对．由题意得：A+E=B+D，代入可得：a3+a2b+3+E=a2b﹣3+[﹣（a2b﹣6）]，解得：E=－a3﹣a2b-3．故选B．点睛：本题考查了正方体向对两个面上文字以及整式的加减，掌握运算法则是关键，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．9．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（    ）A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个【答案】B【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的个数，相加即可．【详解】由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层左侧一列有1个或2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体为4+1=5个或4+2=6个．故选：B．【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．10．如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到．【详解】过作于，，，，弧的长，设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．故选A．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）11．如图所示的几何体的三视图，这三种视图中画图不符合规定的是________．【答案】俯视图【详解】解：根据几何体的摆放位置可知，主视图正确；左视图正确；俯视图缺少两条看不到的虚线．故不符合规定的是俯视图．故答案为俯视图．12．长方体的主视图、俯视图如图，则其左视图面积为________．【答案】3【详解】解：根据三视图可得长方体的长为4、宽为3、高为1，则左视图的面积=宽×高=3．故答案为：3【点睛】本题考查利用三视图求面积，明确三视图之间的关系是解题关键．13．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是___________．【答案】明【分析】这种展开图是属于“1，4，1”的类型，其中，上面的1和下面的1是相对的2个面.【详解】由正方体的展开图特点可得：“建”和“明”相对；“设”和“丽”相对；“美”和“三”相对；故答案为：明.【点睛】此题考查正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键.14．三棱柱的三视图如图所示，EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EGF=30°，则AB的长为_______cm．【答案】6【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，由题意得：EQ=AB，∵EG=12cm，∠EGF=30°，∴EQ=AB=×12=6（cm）．故答案为：615．如图是由一些棱长为1的小立方块所搭几何体的三种视图．若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个长方体，至少还需要______个小立方块．【答案】26【分析】由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列；由左视图可知，搭成的几何体共有3行；【详解】由俯视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，其小正方块分布情况如下：那么共有7+2+1=10个几何体组成．若搭成一个大长方体，共需3×4×3=36个小立方体，所以还需36-10=26个小立方体，故答案为：26．【点睛】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，关键是求出搭成的大长方体共有多少个小正方体．16．如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，母线AC的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是__________m（结果保留根号）【答案】3【分析】根据两点之间，线段最短，首先要展开圆锥的半个侧面，再连接BP，根据勾股定理可求出BP.【详解】根据圆锥的侧面积等于展开扇形的面积得：,设圆锥侧面展开图圆心角为n，则=18π，解得n=180，展开的半个侧面的圆心角是90（如图），因为两点之间线段最短，则根据勾股定理得:BP==(m).【点睛】本题考查了求圆锥侧面展开图圆心角的度数，以及勾股定理求边长，解题关键是熟练掌握圆锥侧面展开图相关知识.三．解答题（共7小题，共66分）17．画出如图所示图形从正面、从左面和从上面看到的形状图．【答案】如图所示见解析.【分析】从正面看到的形状是有1层，有4个正方形；从左面看到的形状是有1层，有2个正方形；从上面看到的形状是前面一列有1个正方形，后面一列有4个正方形．【详解】如图所示：【点睛】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图之间的数量关系是解决问题的关键，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力．18．5 如图所示为一几何体的三种视图.（1）这个几何体的名称为__________；（2）画出它的任意一种表面展开图；（3）若主视图是长方形，其长为，俯视图是等边三角形，其边长为，求这个几何体的侧面积.【答案】（1）三棱柱；（2）见解析；（3）.【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱；（2）应该会出现三个长方形，两个三角形；（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．【详解】（1）因为主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱；（2）（答案不唯一）展开图如下：（3）三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长即C=4×3=12cm，根据题意可知主视图的长方形的长是三棱柱的高，所以三棱柱侧面展开图形的面积为：S=12×10=120cm2.【点睛】本题考查由三视图判断几何体和几何体的展开图，解题的关键是掌握由三视图判断几何体和几何体的展开图.19．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各个面上的数字对面各是什么数字？【答案】数字4对数字2，数字3对6数字，数字1对数字5【分析】图1：正面为1，上面为6，右面为4；图2：正面为3，上面为2，右面为1；图3：正面为4，上面为5，右面为3；由图1和图2可得，和1相邻的是6、4、2、3，所以可以确定1的对面是5；由图2和图3可得，和3相邻的是1、2、4、5，可以确定3的对面是6；所以剩下4的对面是2；由此解答．【详解】解：根据题意可知：由图1和图2可得，和1相邻的是6、4、2、3，所以可以确定1的对面是5；由图2和图3可得，和3相邻的是1、2、4、5，可以确定3的对面是6；所以剩下4的对面是2；答：数字4对数字2，数字3对6数字，数字1对数字5．【点睛】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．解题的关键是按照相邻和所给图形得到其他20．已知一个直八棱柱，它的底面边长都是5cm，侧棱长都是8cm，回答下列问题：（1）这个八棱柱一共有多少个顶点？有多少个面？（2）这个八棱柱的侧面积是多少？【答案】（1）八棱柱有16个顶点，10个面.（2）八棱柱的侧面积为【分析】（1）根据八棱柱的特征求解即可；（2）根据展开图为长方形，求出为厘米，宽为8厘米，即可求出面积.【详解】（1）八棱柱一共八棱柱有16个顶点，10个面；（2）根据展开图为长方形，求出为厘米，宽为8厘米，则面积为（平方厘米）【点睛】解决本题的关键是了解棱柱的构造特点.21．如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE=2.4米；然后，小希在BD的延长线上找出一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得DF=2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD=1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB．【答案】43米.【分析】根据相似三角形的性质得到==，等量代换得到=，代入数据即可得到结论．【详解】由题意得：∠ABD=∠CDE=90°，∠ADB=∠CED，∴△CDE∽△ABD，∴=．∵∠F=∠F，∴△CDF∽△ABF，∴=，∴=，即=，∴BD=60，∴=，∴AB=43．答：小雁塔的高度AB是43米．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行投影，正确得出△AEC∽△ADB是解题的关键．22．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点．(1)求证：与相切；(2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？【答案】(1)见解析(2)见解析(3)能，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得可得是的半径，即可得证；（2）作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，根据作图可得，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解；（3）根据弧长公式求得的长，继而求得圆锥的底面半径，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，则与相切，继而求得的半径，比较与的大小，进而比较与圆锥底面半径的大小即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点作于点，∵，∴，∵的半径为，∴是的半径，又，∴是的切线；（2）如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，理由，∵，∴∴是直角三角形，且∴是的切线；（3）解：∵∴，∴则圆锥的底面圆的半径为如图，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，则与相切，∵∴∵∴∴∴由（1）可知之间的距离为，∴,∵∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴是等腰直角三角形，∴设的半径为，则，∴解得∴,∴，∴，，∵，又，∴，即，∵．∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．23．定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，，则________°﹔(2)如图2，锐角内接于，若边AB上存在一点D，使得，在OA上取点E，使得，连接DE并延长交AC于点F，．求证：四边形BCFD是半对角四边形；(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作于点H，交BC于点G，．①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为_________；②求的面积．【答案】(1)120(2)证明见解析(3)①；② 【分析】（1）根据半对角四边形的定义和四边形的内角和为360°求解即可；（2）证明△BDE≌△BOE得出∠BDE=∠BOE，进而可证得∠BDE=2∠C，连接OC，设∠OAC=∠OCA=x，可证得∠AFE=2x，∠DFC=180°-2x，∠AOC=180°-2x=2∠ABC，即可证得结论；（3）①设OB=BD=r，则BH=r-2，利用勾股定理可求得r，根据弧长公式和圆的周长公式即可求解；②由（1）（2）中结论可证得∠BAC=60°，则有∠BOC=120°，可求得∠OBC=30°，过O作OM⊥BC于M，根据垂径定理和直角三角形的性质可求得BC=2BM=OB=BD，易求得BD、HG、BH，证明△BDG∽△BCA，利用相似三角形的性质得出求解即可．(1)解：∵在半对角四边形ABCD中，，∴∠D=2∠B，∠A=2∠C，∵∠A+∠B+∠C+D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，故答案为：120°；(2)证明：∵在△BDE和△BOE中，∴△BDE≌△BOE（SSS）∴∠BDE=∠BOE，又∠ACB=∠BOA，∴∠ACB=∠BDE，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，设∠OAC=∠OCA=x，∵=∠EAF+∠AFE，∴∠AFE=2x，则∠DFC=180°-2x，∵∠AOC=180°-2x=2∠ABC∴∠DFC=2∠ABC，即∠ABC=∠DFC，∴四边形BCFD是半对角四边形；(3)解：①BO=BD=r，∵DH⊥OB，OH=2，∴在Rt△BHD中，DH=6，BH=r-2，∴r2=62+（r-2）2，解得：r=10，∴弧BC的长为=，则该圆锥的底面半径为，故答案为：；②∵四边形BCFD是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=30°，过O作OM⊥BC于M，则BC=2BM=2OB·cos30°=OB=BD，∵BD=OB=10∴BH=10-2=8，又DH⊥OB，∠OBC=30°，∴HG=BH·tan30°= ，∠BGD=60°，∴∠BGD=∠BAC=60°，又∠GBD=∠ABC，∴BDG∽△BCA，∴= ，∴=3=3××（6+）×8=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形的外角性质、垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、弧长公式、四边形的内角和、三角形的面积公式等知识，知识点较多，综合性强，理解新定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．