第十三章 相交线 平行线（基础卷）——2022-2023学年七年级下册数学单元卷（沪教版上海）（原卷版+解析版）

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第十三章 相交线 平行线（A卷·知识通关练）

核心知识1.邻补角与对顶角

1．下列说法正确的是（     ）

A．相等的角是对顶角； B．邻补角一定互补；

C．互补的两角一定是邻补角； D．两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

【答案】B

【详解】解：A项，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；

B项，由邻补角的定义可知，两个邻补角一定互补，故本选项正确；

C项，如30°和150°的两个角一定互补，但它们不一定是邻补角，故本选项错误；

D项，两个角不是对顶角，但它们有可能相等，如角平分线的模型，故本选项错误；

故答案为B.

2．（2021春·上海宝山·七年级校考期中）如图，直线AB和CD相交于点O，下列选项中与∠AOC互为邻补角的是（　　）

A．∠BOC B．∠BOD C．∠DOE D．∠AOE

【答案】A

【详解】解：图中与互为邻补角的是和，

故选：A．

3．（2022春·上海·七年级校联考期末）下列所示的四个图形中，和是对顶角的图形有（   ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【详解】解：对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角．满足条件的只有第三个图形．

故选：B

4．（2021春·上海浦东新·七年级校考期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1＋∠2＝70°，则∠BOC的度数是（    ）．

A．100° B．115° C．135° D．145°

【答案】D

【详解】解析  ∵直线AC和直线BD相交于点O，

∴∠1＝∠2，

∵∠1＋∠2＝70°，

∴∠1＝35°，

∵∠1＋∠BOC＝180°，

∴∠BOC＝180°－∠1＝180°－35°＝145°．

故选：D．

5．（2021春·上海·七年级上海市风华初级中学校考期中）如图，直线a、b相交，若，则直线a、b的夹角为______°．

【答案】

【详解】解：∵，而，

∴设，，则，，

即直线a，b的夹角为：．

故答案为：．

6．（2022春·上海·七年级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝150°，则∠BOC＝_____度．

【答案】150

【详解】解：因为直线AB与CD相交于点O，

所以∠AOD与∠BOC是对顶角，

所以∠AOD＝∠BOC，

因为∠AOD＝150，

所以∠BOC＝150，

故答案为：150．

7．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）若与是对顶角，与互余，且，那么___________．

【答案】53°##53度

【详解】∵∠1与∠2是对顶角，

∴∠1=∠2，

∵∠3与∠2互余，

∴∠3+∠2=90°，

∴∠3+∠1=90°，

∵∠3=37°，

∴∠1=53°．

故答案是：53°．

8．（2021春·上海宝山·七年级校考期中）如图，直线AB和CD相交于点O，∠BOE＝90°，∠DOE＝130°，则∠AOC＝______．

【答案】40°##40度

【详解】解：∵∠BOE=90°，∠DOE=130°，

∴∠BOD=130°-90°=40°，

又

∴∠AOC=40°．

故答案为：40°．

9．（2021春·上海徐汇·七年级统考期中）如图，AB、CD交于点O，若，射线OE平分∠AOC，那么∠EOD=__________度．

【答案】125

【详解】解：∵，

∴，，

∵OE平分∠AOC，

∴，

∴，

故答案为：125．

10．（2021春·上海·七年级上海市文来中学校考期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有______对．

【答案】72

【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角；

②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对；

③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对；

④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对；

即对顶角的对数为，2，6，12，20……，

以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：  ；

根据n条直线相交于一点，构成对对顶角的规律可知，

当时，=（92-9）=72（对），

故答案为：72．

核心知识2．垂直与距离

11．（2022春·上海松江·七年级校考期中）如图，在三角形中，，，为垂足，则下列说法中，错误的是（   ）

A．点到的距离是线段的长 B．点到的距离是线段的长 

C．点到的距离是线段的长 D．点到的距离是线段的长

【答案】A

【详解】解：A、点到的距离是线段的长，故该选项错误，符合题意；

B、点到的距离是线段的长，故该选项正确，不符合题意；

C、点到的距离是线段的长，故该选项正确，不符合题意；

D、点到的距离是线段的长，故该选项正确，不符合题意．

故选：A

12．（2022春·上海·七年级期中）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（    ）

A．线段PB的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短

C．线段AP的长是点A到直线PC的距离 D．线段AP的长是点C到直线PA的距离

【答案】D

【详解】A. PB⊥a，线段PB的长是点P到直线a的距离，故该选项正确，符合题意；

B. PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故该选项正确，符合题意；

C. PA⊥PC，线段AP的长是点A到直线PC的距离，故该选项正确，符合题意；

D. PA⊥PC，线段CP的长是点C到直线PA的距离，故该选项不正确，不符合题意,

故选D.

13．（2021春·上海奉贤·七年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　）

A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90

C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离

【答案】D

【详解】解：A、∵∠CDA＝60，

∴直线AD与直线BC的夹角是60，正确，故不符合题意；

B、∵∠ACD＝90，

∴直线AC与直线BC的夹角是90，正确，故不符合题意；

C、∵∠ACD＝90，

∴DC⊥AC，

∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意；

D、∵BD和AD不垂直，

∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意；

故选：D．

14．（2022春·上海静安·七年级统考期中）如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF过点O，若∠1=50°，∠2=______度

【答案】40

【详解】解：∵

∴

∵

∴

∴

故答案为：．

15．（2022春·上海·七年级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，若∠DOM＝55°，则∠AOC＝______°．

【答案】35

【详解】解：∵OM⊥AB，

∴∠BOM＝90°，

∵∠DOM＝55°，

∴∠BOD＝90°﹣55°＝35°，

∴∠AOC＝∠BOD＝35°，

故答案为：35．

16．（2021春·上海·七年级校考期中）如图，OC⊥OB，如果∠AOC：∠AOB=1：4，那么∠AOB=___度．

【答案】120

【详解】解：∵OC⊥OB，

∴∠BOC=90°，

又∵∠AOC：∠AOB=1：4，

∴∠AOC：∠BOC=1：3，

∴∠AOC=×90°=30°，

∴∠AOB=90°+30°=120°，

故答案为：120．

17．（2022春·上海·七年级期末）已知：如图，直线AB与直线DE相交于点C，CF⊥DE，∠ACD＝25°，求∠BCE和∠BCF的度数．

【答案】∠BCE＝25°；∠BCF＝65°

【详解】解：∵∠BCE＝∠ACD（对顶角相等），∠ACD＝25°（已知），

∴∠BCE＝25°（等量代换）．

∵CF⊥DE（已知），

∴∠ECF＝90°（垂直的意义），

即∠BCF+∠BCE＝90°，

∴∠BCF＝65°．

18．（2021春·上海·七年级校考期中）按照要求完成下列问题：

如图，直线和相交于点，点为上一点．

（1）过点作的垂线，交于点；

（2）过点作的垂线，交于点；

（3）比较线段和的大小：______．

【答案】（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）．

【详解】解：（1）如图，为所作；

（2）如图，为所作；

（3）利用垂线段最短可判断．

核心知识3．三线八角

19．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）下列图形中，和是同位角的图有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【详解】解：根据同位角的定义，第二个图和第三个图中的∠1和∠2是同位角．

故选：C．

20．（2022春·上海·七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（　　）

（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意；

（2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意；

（3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意；

（4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意．

故选：C．

21．（2021春·上海·七年级上海市风华初级中学校考期中）如图，在中，下列说法错误的是（    ）

A．和是一对内错角 B．和是一对同位角

C．和是一对同旁内角 D．和是一对内错角

【答案】D

【详解】A选项：和是一对内错角， 正确，不符合题意；

B选项：和是一对同位角，正确，不符合题意；

C选项：和是一对同旁内角，正确，不符合题意；

D选项：和不是内错角，错误，符合题意；

故选D．

22．（2022春·上海·七年级期中）如图，下列判断正确的是（    ）

A．与是同位角 B．与是内错角

C．与是内错角 D．与是同位角

【答案】A

【详解】A选项：和是同位角，故A正确．

B选项：和是同旁内角，故B错误．

C选项：和不是内错角，故C错误．

D选项：和不是同位角，故D错误．

故选A．

23．（2022春·上海静安·七年级统考期中）两直线被第三条直线所截，∠1与∠2是同旁内角，且∠1=30° ，则∠2的度数为（    ）

A．150° B．30° C．30° 或150° D．无法确定

【答案】D

【详解】解：因为两条直线的位置关系不明确，

所以无法判断∠1和∠2大小关系，

即∠2为不能确定．

故选：D．

24．（2022春·上海闵行·七年级上海市闵行区莘松中学校考期中）如图，与∠1构成内错角的所有角是_____．

【答案】∠DEF或∠DEC

【详解】解：∠1与∠DEF可以看成直线AB与直线EF被直线DE所截的内错角，

∠1与∠DEC可以看成直线AB与直线AC被直线DE所截的内错角，

故答案为∠DEF或∠DEC．

25．（2021春·上海浦东新·七年级校考期中）如图，射线BD，CE相交于点A，则∠B的内错角是______．

【答案】∠BAE##∠EAB

【详解】解： 射线BC，CE被BD所截，∠B的内错角为∠BAE，

故答案为：∠BAE．

26．（2021春·上海·七年级校考期中）如图，同旁内角有_______________对．

【答案】4

【详解】解：∠1和∠2，∠1和∠3，∠2和∠3，∠4和∠5是同旁内角，共4对，

故答案为：4．

27．（2020秋·上海杨浦·七年级校考期中）如图，∠1与∠2是直线_____和_____被直线_____所截的一对_____角．

【答案】     a     b     c     内错

【详解】解：∠1与∠2是直线a和b被直线c所截的一对内错角．

故答案为：a；b；c；内错．

28．（2020秋·上海杨浦·七年级校考期中）如图，共有_____对同位角，有_____对内错角，有_____对同旁内角．

【答案】     20     12     12

【详解】解：同位角：∠AEO和∠CGE，∠OEF和∠EGH，∠OFB和∠OHD，∠OFE和∠OHG，∠IGH和∠IEF，∠AEI和∠CGI，∠AFJ和∠CHJ，∠DHJ和∠JFB，∠AEO和∠AFO，∠OEB和∠OFB，∠AEG和∠AFH，∠GEB和∠HFB，∠EGH和∠OHD，∠OGC和∠OHC，∠O与∠EFH，∠O与∠GEF，∠O和∠IGH，∠O和∠GHJ，

∠CGI和∠CHJ，∠HGI和∠DHJ，共20对；

内错角：∠O和∠OEA，∠O和∠OFB，∠O和∠OGC，∠O和∠OHD，∠AEG和∠EGH，∠BEG和∠EGC，∠BFH和∠FHC，∠AFH和∠FHD，∠OEF和∠EFH，∠GEF和∠OFE，∠OGH和∠GHJ，∠OHG和∠IGH，共12对；

同旁内角：∠OEF和∠O，∠OFE和∠O，∠O和∠OGH，∠O和∠OHC，∠OEF和∠OFE，∠OGH和∠OHG，∠GEF和∠EFH，∠IGH和∠GHJ，∠AEG和∠CGE，∠BFH和∠FHD，∠FEG和∠EGH，∠EFH和∠GHF，共12对，

故答案为：20；12；12．

核心知识4．平行线的性质

29．（2022春·上海·七年级期中）两条平行线间的距离是指（    ）

A．其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线

B．其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线的长

C．其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线段

D．其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线段的长

【答案】D

【详解】解：平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，

∴A、B、C错误，不符合题意，D正确，符合题意，

故选：D．

30．（2021春·上海浦东新·七年级期中）下列语句正确的个数是（　　）

（1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；

（3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

（4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）正确；

经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不正确；

平面内，平行具有传递性，故（3）正确；

同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）正确，

∴正确的有（1）、（3）、（4），

故选：C．

31．（2022春·上海松江·七年级校考期中）如图，不能推断ABCD的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：、由能判断，故本选项不符合题意；

B、由可以判断，不能判断，故本选项符合题意；

C、由能判断，故本选项不符合题意；

D、由能判断 (同旁内角互补，两直线平行)，故本选项不符合题意．

故选：B．

32．（2021春·上海·七年级上海市第二初级中学校考期中）在同一平面内有两两不重合的直线、和，，，则直线、的位置关系是（    ）

A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断

【答案】A

【详解】解：∵，

∴（垂直于同一直线的两条线平行）．

故选：A．

33．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，下列推论正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【详解】解：A、，

∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；

B、，

∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意；

C、由无法得到，不符合题意；

D、，

∴（同位角相等，两直线平行），符合题意．

故选：D．

34．（2022春·上海·七年级上外附中校考期末）如图，已知∠DEF =100°，请增加一个条件使得ABCD，这个条件可以是 _____．

【答案】∠AFE=100°(答案不唯一)

【详解】解：根据平行线的判定，可添加∠AFE=100°，

∵∠AFE=∠DEF =100°，

∴ABCD(内错角相等，两直线平行)，

故答案为：∠AFE=100°（答案不唯一）．

35．（2021春·上海·七年级期中）如图，如果∠A+_____＝180°，那么AD//BC．

【答案】∠B

【详解】解：∵∠A+∠B＝180°，

∴．

故答案为：∠B．

36．（2021春·上海静安·七年级统考期末）如图，过直线外一点D画已知直线AB的平行线．首先画直线AB，将三角尺的一边紧靠直线AB，将直尺紧靠三角尺的另一边；然后将三角尺沿直尺下移；最后当三角尺原紧靠直线AB的那一边经过点D时，画直线CD．这样就得到CD∥AB．这种画法的依据是_____．

【答案】同位角相等两直线平行．

【详解】如图，由画法可知∠BEF＝∠DFG，

∴AB∥CD（同位角相等两直线平行），

故答案为：同位角相等两直线平行．

37．如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4=∠7；②∠2=∠5；③∠2+∠3=180°；④∠2=∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是____________________

【答案】①④

【详解】解：①当∠4=∠7时，同位角相等，两直线平行，则a∥b，故①说法正确，符合题意；

②当∠2=∠5时，无法证明a∥b，故②说法错误，不符合题意；

③当∠2+∠3=180°时，无法证明a∥b，故③说法错误，不符合题意；

④当∠2=∠7时，内错角相等，两直线平行，则a∥b，故④说法正确，符合题意；

故答案为：①④．

38．（2022春·上海松江·七年级校考期中）如图，已知，平分，平分，且，请填写说明DE∥BF的理由的依据．

解：因为平分，平分（已知）

所以，（______）

因为（已知）

所以（______）

因为（______）

所以（______）

所以DEBF（______）

【答案】角平分线的定义；等量代换；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行

【详解】解：因为平分，平分（已知），

所以，（角平分线的定义），

因为（已知），

所以（等量代换），

因为（已知），

所以（等量代换），

所以（同位角相等，两直线平行）．

故答案为：角平分线的定义；等量代换；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．

39．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知于点，于点，，试说明．

解：因为（已知），

所以（           ）．

同理．

所以（           ）．

即．

因为（已知），

所以（           ）．

所以（           ）．

【答案】垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行

【详解】解：因为（已知），

所以（垂直的定义），

同理．

所以（等量代换），

即．

因为（已知），

所以（等式的性质，

所以（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行

40．（2021春·上海·七年级校考期末）如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．试说明AD//BC．

【答案】见解析

【详解】证明：∵AB⊥AC（已知），

∴∠BAC＝90°（垂直定义），

又∠1＝30°，∠B＝60°（已知），

∴∠B+∠BAD＝∠B+∠BAC+∠1＝60°+90°+30°＝180°（等量代换），

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．

41．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N、E是△ABC边上的点，且∠1+∠2＝90°，试说明MN∥CE．

【答案】见解析

【详解】证明：∵∠ACB＝90°，

∴∠1+∠ACE＝90°，

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠2＝∠ACE，

∴NM∥CE．

核心知识5．平行线的判定

42．（2022春·上海·七年级期中）如图，ABEGDC，ACEF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有（　　）个．

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】C

【详解】解：∵，

∴∠1＝∠BAC．

∵，

∴∠1＝∠ACD．

∵，

∴∠1＝∠FEH，∠FEH＝∠EFD．

∴∠1＝∠EFD．

∵对顶角相等，

∴∠1＝∠GHC．

∴与∠1相等的角有：∠BAC，∠ACD，∠FEH，∠EFD，∠GHC．

故选：C．

43．（2022春·上海松江·七年级校考期中）如图，下列说理正确的是（   ）

A．由，得，理由是同位角相等，两直线平行

B．由，得，理由是同位角相等，两直线平行

C．由，得，理由是两直线平行，内错角相等

D．由，得，理由是同位角相等，两直线平行

【答案】C

【详解】解：由，得，理由是两直线平行，同位角相等；故A选项错误；

由，得，理由是内错角相等，两直线平行，故B选项错误；

由，得，理由是两直线平行，内错角相等，故C选项正确；

由，得不到，故D选项错误；

故选：C．

44．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（    ）

A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐

C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐

【答案】B

【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，

由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：，

由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等，

观察四个选项可知，只有选项B符合，

故选：B．

45．（2022春·上海松江·七年级校考期中）如图，ABCD，为平行线间一点，若，，则______度．

【答案】100

【详解】解：过点作，则，

，，

，

，，

．

故答案为：．

46．（2022春·上海·七年级期末）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．

【答案】540

【详解】过点E作，过点F作，如图，

∵，，，

∴，，

∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，

∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，

∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，

故答案为：540．

47．（2022春·上海·七年级校考期中）已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍少40°，那么这两个角的度数分别是__．

【答案】20°、20°或55°、125°

【详解】解：∵两个角的两边互相平行，

∴这两个角相等或互补，

设一个角为x°，则另一个角为（3x﹣40）°，

当这两个角相等时，则有x＝3x﹣40，解得x＝20，此时这两个角分别为20°、20°；

当这两个角互补时，则有x+3x﹣40＝180，解得x＝55，此时这两个角为55°、125°；

故答案为：20°、20°或55°、125°．

48．（2022春·上海·七年级期末）如图，∥，点A、E在直线上，点B、C、D在直线上，如果BD：CD＝2：1，△ABC的面积为30，那么△BDE的面积是____．

【答案】20

【详解】解：∵∥，

∴△BDE的面积：△ABC的面积＝BD：BC＝2：3，

∴△BDE的面积＝30×＝20．

故答案为：20．

49．（2022春·上海·七年级期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为_____°．

【答案】50

【详解】解：∵直线m∥n，

∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，

故答案为：50

50．（2021春·上海·七年级校考期中）如图，若ABCDEF，则∠x，∠y，∠z三者之间的数量关系是_____．

【答案】∠x+∠z＝∠y

【详解】解：∵AB∥CD∥EF，

∴∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，

∴∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，

∴∠x+∠z＝∠y．

故答案为：∠x+∠z＝∠y．

51．（2022春·上海·七年级期中）已知，AB∥CD∥EF，且CB平分∠ABF，CF平分∠BEF，请说明BC⊥CF的理由．

解：∵AB∥E（已知）

∴∠　   　+∠　 　＝　 　．

∵CB平分∠ABF（已知）

∴∠1＝∠ABF

同理，∠4＝∠BEF

∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝　 　．

又∵AB∥CD（已知）

∴∠1＝∠2　         　

同理，∠3＝∠4

∴∠1+∠4＝∠2+∠3　       　

∴∠2+∠3＝90°（等量代换）

即∠BCF＝90°

∴BC⊥CF　             　．

【答案】ABF，BFE，180°，90°，两直线平行，内错角相等，等式的性质，垂直的定义．

【详解】解：∵AB∥EF（已知）

∴∠ABF+∠BFE＝180°．

∵CB平分∠ABF（已知）

∴∠1＝∠ABF

同理，∠4＝∠BEF

∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝90°．

又∵AB∥CD （已知）

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），

同理，∠3＝∠4

∴∠1+∠4＝∠2+∠3（等式的性质），

∴∠2+∠3＝90°（等量代换）

即∠BCF＝90°

∴BC⊥CF（垂直的定义）．

故答案为：ABF，BFE，180°，90°，两直线平行，内错角相等，等式的性质，垂直的定义．

52．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知直线AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．

解：过点C作FG∥AB

因为FG∥AB，AB∥DE（已知）

所以FG∥DE（　       　）

所以∠B＝∠　       　（　         　）

∠CDE+∠DCF＝180°（　              　）

又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°（已知）

所以∠　        　＝80°（等量代换）

∠DCF＝40°（等式性质）                  

所以∠BCD＝　 　．

【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°．

【详解】解：过点C作FG∥AB，

因为FG∥AB，AB∥DE，（已知）

所以 FG∥DE，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）

所以∠B＝∠BCF，（两直线平行，内错角相等 ）

∠CDE+∠DCF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）

又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°，（已知）

所以∠BCF＝80°，（等量代换）

∠DCF＝40°，（等式性质）

所以∠BCD＝40°．

故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°．

53．（2022春·上海松江·七年级校考期中）（1）如图（1），当、、满足条件______时，有ABCD，并说明理由．

（2）如图（2），当ABCD时，，，的关系是______．

【答案】（1）∠AEC=∠A+∠C；理由见解析；（2）∠1+∠2-∠AEC=180°．

【详解】解：（1）当∠A、∠C、∠AEC满足条件∠AEC=∠A+∠C时，有ABCD．

理由如下：

过点E作EFAB，如图：

∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），

∵∠AEC=∠A+∠C，∠AEC=∠1+∠2，

∴∠2=∠C，

∴EFCD（内错角相等，两直线平行），

∵EFAB，

∴ABCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；

故答案为：∠AEC=∠A+∠C；

（2）当ABCD时，∠1，∠2，∠AEC的关系是∠1+∠2-∠AEC=180°，

理由如下：

过点E作EFAB，如图：

∴∠3+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵ABCD（已知），

∴EFCD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），

∴∠FEC=∠2（两直线平行，内错角相等），

即∠AEC+∠3=∠2，

∴∠3=∠2-∠AEC，

∴∠2-∠AEC+∠1=180°（等量代换），

即∠1+∠2-∠AEC=180°．

故答案为：∠1+∠2-∠AEC=180°．

54．如图，已知，，．求证：．

【答案】见解析

【详解】证明：∵，

∴（两直线平行，同位角相等）．

∵，

∴，

∴（等量代换） ．

∵，

∴（等量代换），

∴（内错角相等，两直线平行）．

55．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）如图：．求证：．（写出括号里面的理由）

【答案】见解析

【详解】∵DC∥OA（已知），

∴∠C=∠COA（两直线平行，内错角相等），

∵∠COA=∠2+∠BOC，

∵∠1=∠2（已知），

∴∠COA=∠1+∠BOC（等量代换），

∴∠COA=∠DOB（等量代换），

∵AB∥OD（已知），

∴∠B=∠DOB（两直线平行，内错角相等），

∴∠B=∠C（等量代换）．

56．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2＝180°，请补充完成∠CGD＝∠CAB的推理过程．

证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°．

∴∠ADC＝∠EFC．

【答案】见解析

【详解】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°，

∴∠ADC＝∠EFC，

∴AD∥EF，

∴∠3+∠2＝180°，

∵∠1+∠2＝180°，

∴∠1＝∠3，

∴DG∥AB，

∴∠CGD＝∠CAB．

57．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，试说明：∠ABH+∠CHB＝180°．

【答案】见解析

【详解】证明：过点E作EMAB，过点F作FNCD，

∴∠2＝∠BEM，∠1＝∠HFN，

∵∠BEF＝∠EFH，∠1＝∠2，

∴∠BEF﹣∠BEM＝∠EFH﹣∠HFN，

∴∠MEF＝∠NFE，

∴EMFN，

∴ABEMFNCD，

∴∠ABH+∠CHB＝180°．

58．（2022春·上海·七年级期中）探究并尝试归纳：

(1)如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明．

(2)如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝　　度．

(3)如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：　　【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】

【答案】(1)360°；(2)540；(3)

【详解】(1)

解：过A作AB//直线，

则AB//直线，

，

；

(2)

解：过作AC//直线，BD//直线，

则AC//BD//直线，

，

，

故答案为：540；

(3)

解：由（1），（2）知，

当形成个折时，所有角与、的总和，

当形成个折时，所有角与、的总和，

当形成个折时，所有角与、的总和，

故答案为：．