期末测试卷（二）-高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

期末测试卷（二）

范围：必修二第六章—第十章

说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。

第I卷(选择题  共60分)

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1．若复数，则（       ）

A．2 B． C．4 D．5

【解析】因为复数，

所以，

所以，

故选：B

2．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（          ）

A．4 B． C． D．6

【解析】设平行四边形的原图为，在轴上，由直观图和原图的关系，原图的，平行四边形的高为，原图的高就是，则原图形的面积为.

故选：C.

3．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（       ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【解析】由条件可知抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和.

故选：B

4．已知向量，且，则的值是（       ）

A．1 B． C．3 D．

【解析】，，得，

.

故选：D

5．在中，为的中点，点满足，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】依题意.

故选：C

6．“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，他死后，墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形．如图，球与圆柱的侧面及上、下底面相切，设圆柱体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则（       ）

A． B．1 C．2 D．4

【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，

则圆柱的体积为，球的体积为，则，

圆柱的表面积为，球的表面积为，则，

所以.

故选：B

7．已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则（       ）

A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．4

【解析】因为向量，的夹角的余弦值为，且，，

所以，

故选：A

8．已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（       ）

A． B．

C． D．

【解析】若为中点，连接，又是棱中点，

所以，在直三棱柱中且，即为平行四边形，

所以，则直线与直线所成角即为，

若，则，，

所以.

故选：C

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为，称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（       ）

A．10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个

B．10个季度中，汽车产能利用率的中位数为

C．2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为

D．与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度

【解析】10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度为2018年第4季度到2019年第4季度，

共5个季度，A正确；10个季度中，汽车产能利用率的中位数为，B错误；

由图可知，2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为，C正确；

与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度，与上一季度相差，

而2019年第4季度与上一季度相差，D错误.

故选：AC

10．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（       ）

A．侧面积之比为 B．侧面积之比为

C．体积之比为 D．体积之比为

【解析】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，

所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，

所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，

即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为.

故选：BD.

11．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（       ）

A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限

B．当时，为纯虚数

C．最大值为

D．的共轭复数为

【解析】对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；

对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；

对于C，，最大值为，故C正确；

对于D，的共轭复数为，故D错误.

故选：BC.

12．在三角形内，下列说法中正确的是（       ）

A．若三角形是锐角三角形，则

B．若O是三角形的内心，且满足，则这个三角形一定是钝角三角形

C．是的必要条件

D．若，则直线一定经过这个三角形的外心

【解析】对于A，若三角形是锐角三角形，，所以，

在锐角三角形中，不妨设，所以，又因为，所以，，得，所以，有，A正确；

对于B，O是三角形的内心，且满足，根据角平分线的性质和奔驰定理（证明见备注），可得，设，

得，所以，该三角形一定是钝角三角形，B正确；

备注：证明过程：已知是内的角平分线，，，的面积分别为，，，求证：.

证明：延长与边相交于点，则，，∵，∴，∴，所以，设内切圆的半径为，，则，整理得，

.

对于C，只证必要性即可，因为，，当，时，，；当，时，，则有，所以，成立，所以，必要性成立；所以，C正确；

对于D，，因为

，所以，

，因此，所以，直线一定经过这个三角形的垂心，故D错误；

故选：ABC

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为________.

【解析】该组数据从小到大排列为85，87，88，90，92，共5个数据,

所以，

所以这组数据的第60百分位数为，

故答案为：89

14．某旅行团查看出游当天的天气情况，某天气预报软件预测出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14:00 ～15:00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5，0.4，0.6，则该旅行团出游当天在12:00～15:00时间段内降雨的概率为______.（用数字作答）

【解析】记出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14：00～15:00这3个时间段降雨分别为事件A，B，C，出游当天在12:00～15:00时间段内降雨为事件D，则，由对立事件与相互独立事件的概率计算公式得.

故答案为：0.88．

15．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，使得．那么这个二面角大小是_______．

【解析】由已知可得为所求二面角的平面角，

设等腰直角的直角边长度为，则，

由余弦定理可得：，

则在中，，

即所求二面角大小是.

故答案为：

16．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=______________．

【解析】由题知，

解得.

故答案为：0.3

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；

(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．

【解析】(1)由题意有，解得.

(2)应聘者笔试成绩的众数为，

应聘者笔试成绩的平均数为．

(3)，所以，面试成绩的最低分为百分位数，

前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，

设百分位数为，则，解得.

因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.

18．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.

(1)求甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；

(2)求甲乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.

【解析】(1)记“甲投篮命中”为事件，“乙投篮命中”为事件, 则，，

由甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以与互为独立事件，

那么，恰好有1人命中的概率.

(2)由（1），两人都没有命中的概率，

所以，至少有1人命中的概率.

19．在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

在中，角，，的对边分别为，，，，，______，求的面积.

【解析】选择①

，

，

即，

化简得：，

又，

，

即，，

，，

由余弦定理得:，

解得:，，

的面积为；

选择②

，

由正弦定理可得，

又，

，

由，

即，

，

即，，

由余弦定理得，

解得：，，

的面积为；

选择③

由及，

得：，

即，

由正弦定理得：，

，即，

，

，

由，得：，，

，

，

的面积为.

20．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：

(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；

(2)由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；

(3)在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.

【解析】(1)∵0.004×50＝，解得n＝100，

∵20＋40＋m＋10＋5＝100，解得m＝25，

完成频率分布直方图如图：

(2)由频率分布直方图知该组数据的平均数为：

＝25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95．

∵[0，50）的频率为0.004×50＝0.2，[50，100）的频率为0.008×50＝0.4，

∴该组数据的中位数为：．

(3)空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分别抽取4天和1天，

在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，

将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．

从中任取2天的基本事件分别为：

（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10天，

其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：

（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6天，

∴事件A“两天空气都为良”发生的概率P（A）＝.

21．如图，在三棱锥中，平面平面,，O为的中点，且是边长为2的等边三角形，点E是棱的中点；

(1)证明；

(2)若二面角的大小为，求点O到平面的距离．

【解析】(1)证明：∵，为的中点

∴

又∵平面平面，平面平面,平面

∴平面

又∵平面

∴

(2)

如图，取的中点，取的靠近端点的四等分点,并连接,,,

∵、分别为、的中点，

∴,且

∴平面,

又∵、分别为、的四等分点，

∴,且

∵O为的中点，且是边长为2的等边三角形，

∴,且为直角三角形，

∴，

又∵

∴

又∵平面，为在平面中的射影,平面

∴

∴即二面角的平面角，即

∴是等腰直角三角形，

∴,

∴,

设点O到平面的距离为，则

∵

∴

∴

故点O到平面的距离为.

22．如图，三棱柱中，侧面为菱形，．

(1)证明：；

(2)若，，，求直线与平面所成的角．

【解析】(1)证明：连接，交于点，连接．

因为四边形为菱形，所以，是的中点，

又因为，所以，

因为，平面，平面，.

(2)因为，所以直线与面所成角等于直线与面所成角．

因为，所以，

又因为，，，所以，，

所以，即，

，，所以面，所以是直线与面所成角．

因为，所以，所以直线与面所成角等于，

所以直线与面所成角等于．