2022-2023学年吉林省吉林市龙潭区亚桥第二九年制学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省吉林市龙潭区亚桥第二九年制学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在以下中国银行、建设银行、工商银行、农业银行图标中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列算式的运算结果正确的是( )
A. m−1=−m(m≠0)B. m3⋅m2=m6
C. m0=1(m≠0)D. (−m2n)3=m6n3
3. 根据分式的基本性质填空：2x+2(x+1)(x−1)=2，括号内应填( )
A. x2−1B. x−1C. x+1D. 2(x+1)(x−1)
4. 如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A. ∠M=∠NB. AB=CDC. AM=CND. AM//CN
5. 如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°，则∠DAE的度数为( )
A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°
6. 在△ABC的BC边上找一点P，使得PA+PC=BC.下面找法正确的是( )
A. 以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
B. 以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
C. 作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
D. 作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 测得某人的头发直径为0.0000635米，“0.0000635”用科学记数法表示为 ．
8. 已知3m=2，3n=5，则3m+n=______．
9. 分解因式2a4−18a2= ．
10. 若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为______°.
11. 如果x+y=5，xy=3，那么x2+y2=______．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次的图形变化(平移、轴对称)得到，请写出一种由△OCD得到△AOB的过程 ．
13. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥AB交BC于点D，BC=30，则AD=______．
14. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，交BD于点E，若AB=12，DE=5，则△ABE的面积为 ．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
15. 计算：2(a−b)2−(a+6b)(a−2b)．
16. 解方程：xx−2−1=2x2−4．
四、解答题（本大题共10小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
已知：如图，AB//CD，AB=DC，BE=CF.求证：AF=DE．
18. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N，连接NB，若∠ABC=65°，求∠NBC的度数．
19. (本小题7.0分)
先化简，再求值：(1x−1−1x+1)÷x+2x2−1，然后从−1，1，3中选择适当的数代入求值．
20. (本小题7.0分)
如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上(小正方形的边长为1)
(1)在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
(2)在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
21. (本小题7.0分)
为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原先生产420万剂疫苗所用的时间少1天．问原先每天生产多少万剂疫苗？
22. (本小题7.0分)
乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是______；如图2，阴影部分的面积是______；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式______；
(2)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①103×97；
②(2x+y−3)(2x−y+3)．
23. (本小题8.0分)
如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P从点B出发以3cm/s速度沿着B→A→C→B向终点B运动，同时动点Q从点C出发以2cm/s速度沿着C→B→A→C向终点C运动，运动时间为t秒．
(1)当P在AB边上运动时，BP=______，BQ=______．
(2)当PQ//AC时，求t的值．
24. (本小题8.0分)
如图，已知点B在线段AE上，分别以AB，BE为边长在AE上方作正方形ABCD，BEFG，点P为AB中点，连接CF，CP，FP，设AB=a，BE=b．
(1)若a=2b，请判断△CPF的形状，并说明理由；
(2)请用含a，b的式子表示△CPF的面积；
(3)若△CPF的面积为6，AE=6，求AB的长．
25. (本小题10.0分)
金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
26. (本小题10.0分)
本学期，我们利用“构造轴对称图形——等边三角形”证明了定理：定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明过程如下：
【知识运用】
(1)如图1−10(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=4，则BC=______；
【类比证明】
(2)如图1，请类比以上证明过程，证明：在Rt△ABC中，若∠C=90°，AB=2BC，则∠A=30°；
【迁移创新】
构造具有特殊性质的轴对称图形(如等边三角形)，从而利用轴对称图形的性质证明结论是几何问题的数学证明中常见的思路．请你尝试解决以下问题．
(3)如图2，等边△ABC中，延长BA，BC，使AD=BE，连接DC，DE.求证：DC=DE．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，建设银行的图标不是轴对称图形．
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析可得答案．
本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
2.【答案】C
【解析】解：A、m−1=1m(m≠0)，故A不符合题意；
B、m3⋅m2=m5，故B不符合题意；
C、m0=1(m≠0)，故C符合题意；
D、(−m2n)3=−m6n3，故D不符合题意；
故选：C．
利用积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，负整数指数幂的法则，零指数幂的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，负整数指数幂，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】B
【解析】解：2x+2(x+1)(x−1)=2(x+1)(x+1)(x−1)=2x−1，
故选：B．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
全等三角形的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，HL，根据三角形全等的判定定理，逐条验证即可。
【解答】
解：A、∠M=∠N，在△ABM与△CDN中，∵∠M=∠N，MB=ND，∠MBA=∠NDC，∴△ABM≌△CDN(ASA)
能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、AB=CD，在△ABM与△CDN中，∵MB=ND，∠MBA=∠NDC，AB=CD ∴△ABM≌△CDN(SAS)
能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；
C、根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故C选项符合题意；
D、AM//CN，得出∠MAB=∠NCD，在△ABM与△CDN中，∵∠MAB=∠NCD，∠MBA=∠NDC，MB=ND， ∴△ABM≌△CDN(AAS)
能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意。
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC=50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−30°=60°，
则∠DAE=∠BAD−∠BAE=10°，
故选：A．
在三角形ABC中，由∠B与∠C的度数求出∠BAC的度数，根据AE为角平分线求出∠BAE的度数，由∠BAD−∠B即可求出∠DAE的度数．
此题考查了三角形内角和定理，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵PA+PC=BC，PB+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故选项D正确，
故选：D．
根据题意得到PA=PB，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可．
本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
7.【答案】6.35×10−5
【解析】解：0.0000635=6.35×10−5．
故答案为：6.35×10−5．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，掌握科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10是关键．
8.【答案】10
【解析】解：当3m=2，3n=5时，
3m+n
=3m×3n
=2×5
=10．
故答案为：10．
利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9.【答案】2a2(a+3)(a−3)
【解析】解：2a4−18a2
=2a2(a2−9)
=2a2(a+3)(a−3)，
故答案为：2a2(a+3)(a−3)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
10.【答案】72
【解析】解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴正多边形的一个外角=360÷5=72°．
故答案为：72．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
11.【答案】19
【解析】解：∵x+y=5，xy=3
∴x2+y2=(x+y)2−2xy
=25−6
=19．
故答案为：19．
首先根据完全平方公式将(x+y)2用(x+y)与xy的代数式表示，然后把x+y，xy的值整体代入求解即可求得答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
12.【答案】把△OCD向上平移三个单位长度，再沿y轴作轴对称得到△AOB(答案不唯一)
【解析】解：把△OCD向上平移三个单位长度，再沿y轴作轴对称得到△AOB，
故答案为：把△OCD向上平移三个单位长度，再沿y轴作轴对称得到△AOB(答案不唯一)．
根据平移和轴对称的性质即可进行解答．
本题主要查了坐标与图形变化轴对称，平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线．
13.【答案】10
【解析】解：∵∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠C=30°，BD=2AD，
∴AD=CD，
∴AD=13BC=10．
故答案为：10．
由三角形的内角和定理可求∠BAC=120°，结合垂直的定义可求得∠CAD=30°，BD=2AD，进而可求得AD=13BC=10，即可求解．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，证明AD=CD是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：作EF⊥BC于F，

∵AE平分∠BAC，BD⊥AC，EF⊥AB，
∴EF=DE=5，
∴S△ABE=12AB⋅EF=12×12×5=30．
故答案为：30．
作EF⊥AB于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=5，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
15.【答案】解：原式=2(a2−2ab+b2)−(a2+4ab−12b2)
=2a2−4ab+2b2−a2−4ab+12b2
=a2−8ab+14b2．
【解析】先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则去括号，然后合并同类项即可．
本题主要考查了完全平方公式和多项式乘多项式，属于基础计算题．
16.【答案】解：去分母，得x(x+2)−(x2−4)=2，
去括号，得x2+2x−x2+4=2，
整理，得2x=−2，
解得x=−1，
检验：将x=−1代入(x+2)(x−2)=−3≠0，
∴x=−1是原方程的解．
【解析】本题考查解分式方程的方程，因为x2−4=(x+2)(x−2)，所以可确定原方程的最简公分母为(x+2)(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意一定要检验．
解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．
17.【答案】证明：如图，∵AB//CD，
∴∠B=∠C．
∵BE=CF，
∴BE−EF=CF−EF，
即BF=CE，
在△ABF与△DCE中，
AB=DC∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴AF=DE．
【解析】由全等三角形的判定定理SAS证得△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△DCE是解题的关键．
18.【答案】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=50°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∴∠ABN=∠A=50°，
∴∠NBC=∠ABC−∠ABN=65°−50°=15°．
【解析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，求得∠A=50°，根据线段的垂直平分线的性质得出AN=BN，进而得出∠ABN=∠A=50°，根据∠NBC=∠ABC−∠ABN解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(1x−1−1x+1)÷x+2(x−1)(x+1)
=(1x−1−1x+1)⋅(x−1)(x+1)x+2
=1x−1⋅(x−1)(x+1)x+2−1x+1⋅(x−1)(x+1)x+2
=x+1x+2−x−1x+2
=x+1−x+1x+2
=2x+2，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，
∴x=3，
∴原式=23+2
=25．
【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：(1)如图甲中，△ABC即为所求(答案不唯一)；

(2)如图乙中，△CBE即为所求(答案不唯一)．
【解析】(1)在图甲中画一个面积为8的等腰三角形；
(2)在图乙中画一个以BC为公共边的三角形与△ABC全等．
本题考查了作图−应用与设计作图，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和三角形的面积，解决本题的关键是借助网格解决问题．
21.【答案】解：设原先每天生产x万剂疫苗，
根据题意得：420x−480(1+20%)x=1，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．
答：原先每天生产20万剂疫苗．
【解析】设原先每天生产x万剂疫苗，由题意：某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原先生产420万剂疫苗所用的时间少1天．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(a+b)(a−b) a2−b2 (a+b)(a−b)=a2−b2
【解析】解：(1)由拼图可知，图形1的长为(a+b)，宽为(a−b)，因此面积为(a+b)(a−b)，图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，
由图形1，图形2的面积相等可得，(a+b)(a−b)=a2−b2，
故答案为：(a+b)(a−b)，a2−b2，(a+b)(a−b)=a2−b2；
(2)①103×97=(100+3)(100−3)
=1002−32
=10000−9
=9991；
②原式=(2x+y−3)[2x−(y−3)]
=(2x)2−(y−3)2
=4x2−(y2−6y+9)
=4x2−y2+6y−9．
(1)由拼图可知，图形1的长为(a+b)，宽为(a−b)，因此面积为(a+b)(a−b)，图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，进而得出答案；
(2)①将103写成(100+3)，将97写成(100−3)，利用平方差公式进行计算即可；
②将y−3看成一个整体，利用平方差公式得出答案．
本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，掌握图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的关键，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的前提．
23.【答案】3t cm (10−2t)cm
【解析】解：(1)∵△ABC是边长为10cm的等边三角形，
∴AB=BC=10cm，
∴当P在AB边上运动时，BP=3t cm，BQ=(10−2t)cm，
故答案为：3t cm；(10−2t)cm；
(2)当点P在AB边上运动时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=∠B=60°，
当PQ//AC时，∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°，
∴△BQP是等边三角形，
∴BQ=BP，
即10−2t=3t，
解得，t=2；
当点P在BC边上时，
同理可得10−(3t−20)=2t−10，
解得，t=8，
综上所述，当PQ//AC时，t的值为2或8．
(1)根据等边三角形的性质得到AB=BC=10cm，于是得到结论；
(2)当点P在AB边上运动时，当点P在BC边上时，根据等边三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)△CPF是等腰三角形，理由如下，
∵AB=a，点P为AB的中点，
∴AP=BP=12AB=12a，
∵BE=b，
∴CG=a−b，EP=b+12a，
由勾股定理得，CF2=FG2+CG2=b2+(a−b)2=2b2−2ab+a2，PF2=EF2+EP2=b2+(b+12a)2=2b2+ab+14a2，CP2=BC2+BP2=a2+(12a)2=54a2，
∵a=2b，
∴CF2=2b2−4b2+4b2=2b2，PF2=2b2+2b2+b2=5b2，CP2=5b2，
∴PF=CP，
∴△CPF是等腰三角形．
(2)由(1)得，CG=a−b，EP=b+12a，AP=12a，
∴S△CFG=12⋅FG⋅CG=12b⋅(a−b)=12ab−12b2，S正方形BEFG=b2，S正方形ABCD=a2，S梯形BEFG=12(AP+CD)⋅AD=12a(a+12a)=34a2，S△EFP=12EF⋅EP=12b⋅(b+12a)=12b2+14ab，
∴S△CPF=S△CFG+S正方形BEFG+S正方形ABCD−S梯形BEFG−S△EFP=12ab−12b2+b2+a2−34a2−(12b2+14ab)=14ab+14a2；
(3)由(2)得，S△CPF=14ab+14a2，
∵△CPF的面积为6，AE=6，
∴14ab+14a2=6，a+b=6，
解得：a=4，
∴AB=4．
【解析】(1)由AB=a，BE=b求得BP、CG的长，得到EP的长，再由勾股定理得到CF、PF、CP的长，最后由a=2b判断△CPF的形状；
(2)由切割法求得△CPF的面积；
(3)结合(2)中△CPF的面积求得a与b之间的关系，然后由AE=6求得a和b的值，得到AB的长．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形和四边形的面积，解题的关键是会用含有a和b的式子求得线段的长度和会用切割法求得三角形的面积．
25.【答案】解：(1)由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：60×0.6a=36a(元)，
即新能源车的每千米行驶费用为36a元；
(2)①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴40×9a−36a=0.54，
解得a=600，
经检验，a=600是原分式方程的解，
∴40×9600=0.6，36600=0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为x km，
由题意得：0.6x+4800>0.06x+7500，
解得x>5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【解析】(1)根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
(2)①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
26.【答案】2
【解析】(1)解：由题意得：BC=12AB=2，
故答案为：2；
(2)证明：如图，延长BC至点D，使CD=BC，连接AD，

∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°，
∵AC=AC，BC=DC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD，
又∵AB=2BC=BD，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
又∵AC⊥BD，
∴∠BAC=12∠BAD=30°；
(3)证明：如图所示，延长BE到M使得BM=BD，连接DM，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BC=BA，
又∵BD=BM，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠B=∠M=60°，BD=MD，
∵BD=BM，AD=BE，
∴AB=ME=BC，
∴△DCB≌△DEM(SAS)，
∴DC=DE．
(1)根据题目所证明的结论即可得到答案；
(2)如图，延长BC至点D，使CD=BC，连接AD，证明△ABC≌△ADC.推出AB=AD 进而证明△ABD是等边三角形，由此即可证明结论；
(3)延长BE到M使得BM=BD，连接DM，证明△BDM是等边三角形，得到∠B=∠M=60°，BD=MD，再证明AB=ME=BC，即可证明△DCB≌△DEM得到DC=DE．
本题为三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确理解题意构造等边三角形是解题的关键．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：40×9a元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
已知：如图1−10(1)，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=12AB．
证明：如图1−10(2)，延长BC至点D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°．
∴∠ACD=90°，∠B=60°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三
角形)．
∴BC=12BD=12AB．