2022-2023学年吉林省第二实验学校八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省第二实验学校八年级（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.5的平方根可以表示为( )
A. ± 5B. ±5C. ±5D. 5
2.下列运算正确的是( )
A. a⋅a2=a2B. (ab)3=ab3C. (a3)2=a6D. a10÷a2=a5
3.多项式8x2y5−12x4y3的公因式是( )
A. x2y3B. x4y5C. 4x4y5D. 4x2y3
4.点(3,−4)到x轴的距离是( )
A. 3B. 4C. 5D. 7
5.若分式x2−4x−2的值为0，则x的值为( )
A. 2B. −2C. 2或−2D. 0
6.若一次函数y=(m−2)x+m+1的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是( )
A. m<−1B. m<2C. −1−1
7.如图，两条直线y=2x+3和y=kx+6相交于点A(1,5)，两直线与x轴所围成的△ABC的面积是( )
A. 754
B. 752
C. 75
D. 15
8.如图，在平面直角坐标系中，A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，D(3,1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2022秒瓢虫在处．( )
A. (3,−2)B. (−1,−1)C. (1,−2)D. (1,1)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算： 6× 2=______．
10.使分式2x+12x−1有意义，则x ______．
11.计算(−4a2+12a3b)÷(−4a2)的结果是______．
12.A(3,y1)，B(1,y2)是直线y=kx+3(k>0)上的两点，则y1______y2(填“>”或“<)．
13.矩形ABCD的面积为48，一条边AB的长为6，则矩形的对角线BD=______．
14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1,1).若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1)(38+ 12− 43)× 3；
(2)( 2−1)2−(1− 2)(1+ 2)．
16.(本小题8分)
计算：
(1)x2y3÷x2y；
(2)a2a+b−b2a+b．
17.(本小题8分)
因式分解：
(1)m(a−3)+2(3−a)；
(2)3x3−12xy2．
18.(本小题7分)
在直角坐标系中，一条直线经过A(−1,5)，P(−2,a)，B(3,−3)三点．
(1)求a的值；
(2)设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．
19.(本小题7分)
一个矩形的长a= 6+ 5，宽b= 6− 5．
(1)该矩形的面积=______，周长=______；
(2)求a2+b2+ab的值．
20.(本小题8分)
问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 5、 10、 13求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需求△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．
(1)请将△ABC的面积直接填写在横线上______；
(2)在图2中画△DEF，使三边DE、EF、DF的长分别为 10、 10，2 5，并判断△DEF的形状，说明理由．
21.(本小题8分)
小玲和小东姐弟俩分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30分钟.小东骑自行车以300米/分钟的速度直接回家，两人离家的路程y(米)与各自离开出发地的时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．
(1)家与图书馆之间的路程为多少米？小玲步行的速度为多少？
(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当两人相遇时，他们离图书馆多远？
22.(本小题12分)
数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形.用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1：______；方法2：______：
(2)观察图2，请你写出代数式(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系：______；
(3)根据(2)中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值：
②已知(2022−a)2+(a−2023)2=5，求(2022−a)(a−2023)的值．
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4与x轴，y轴分别交于点A，点B．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点P在x轴上，且S△BOP=12S△AOB，求点P的坐标．
(3)在y轴是否存在点M，使三角形MAB是等腰三角形，若存在，请直接写出点M坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：5的平方根可以表示为± 5．
故选：A．
根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，由此即可求解．
本题主要考查求一个正数的平方根，掌握求平方根的运算是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A：a⋅a2=a3，故结论错误；
B：(ab)3=a3b3，故结论错误；
C：(a3)2=a6，故结论正确；
D：a10÷a2=a8，故结论错误．
故选：C．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：多项式8x2y5−12x4y3中，
系数的最大公约数是4，
相同字母的最低指数次幂是x2y3，
因此公因式是4x2y3．
故选：D．
根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
本题主要考查公因式的确定，解题的关键是准确掌握公因式的定义以及公因式的确定方法．
4.【答案】B
【解析】解：点(3,−4)到x轴的距离是4．
故选：B．
根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵分式x2−4x−2的值为零，
∴x2−4=0，
∴x=±2，
∵x−2≠0，
∴x≠2，
∴x=−2，
故选：B．
由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2−4=0，x−2≠0，解出x即可．
本题考查分式的性质，熟练掌握分式值为零的条件，注意分母不为零的隐含条件是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=(m−2)x+m+1的图象经过一、二、四象限，
∴m−2<0，m+1>0，
解得−1故选：C．
根据一次函数的图象可知m−2<0，m+1>0，解不等式组即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：将点A(1,5)代入y=kx+6，
得k+6=5，
解得k=−1，
∴y=−x+6，
当y=2x+3=0时，x=−32，
∴点B坐标为(−32,0)，
当y=−x+6=0时，x=6，
∴点C坐标为(6,0)，
∴BC=6+32=152，
∴△ABC的面积为12×152×5=754，
故选：A．
先待定系数法求出k的值，再分别求出B和C点坐标，进一步求出BC的长，再根据三角形面积公式求△ABC的面积即可．
本题考查了一次函数与三角形面积的综合，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，D(3,1)，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∴C矩形ABCD=2(AB+AD)=14，
∵14÷2=7(秒)，
∴瓢虫爬行一周需要7秒，
∴2022÷7=288……6，
∴6×2=12，
∴12−3−4−3=2，
∴第2022秒瓢虫在(1,1)处．
故选：D．
根据点A、B、C、D的坐标可得AB，AD的长，从而求出矩形ABCD的周长，进而求出蚂蚁爬行一周需要7秒，然后再进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，规律型：数字变化类，两点间距离，根据点的坐标求出矩形的周长并求出蚂蚁爬行一周需要的时间是解题的关键．
9.【答案】2 3
【解析】【分析】
本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是明确二次根式乘除法的计算方法．
根据二次根式的乘法可以解答本题．
【解答】
解： 6× 2= 12=2 3，
故答案为：2 3．
10.【答案】≠12
【解析】解：由题意，得：
2x−1≠0，
解得x≠12，
故答案为：≠12．
先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
11.【答案】1−3ab
【解析】解：原式=(−4a2)÷(−4a2)+(12a3b)÷(−4a2)
=1+(−3ab)
=1−3ab．
故答案为：1−3ab．
利用多项式的每一项除以单项式即可．
本题主要考查了整式的除法，利用多项式的每一项除以单项式是解题的关键．
12.【答案】>
【解析】解：∵k>0，
∴y值随x值的增大而增大．
又∵3>1，
∴y1>y2．
故答案为：>．
由k>0，利用一次函数的性质可得出y值随x值的增大而增大．再结合3>1即可得出y1>y2．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质，此题主要涉及的知识点还有：长方形的面积公式和勾股定理的应用．
先根据矩形面积公式求出长方形ABCD另一边的长，再根据勾股定理求出直角三角形斜边长即可．
【解答】
解：∵该长方形ABCD的一边AB长为6，面积为48，
∴另一边BC长为48÷6=8，
∴对角线BD= AB2+AD2= 62+82=10．
故答案为10．
14.【答案】−3【解析】解：∵正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1,1)，
∴D(1,4)，B(4,1)
当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3，
当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=−3．
∴直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是−3故答案是：−3当直线y=x+b过D，B时，求得b，即可得到结论．
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．
15.【答案】解：(1)(38+ 12− 43)× 3
=(2+2 3−23 3)× 3
=(2+43 3)× 3
=2 3+43 3× 3
=2 3+4；
(2)( 2−1)2−(1− 2)(1+ 2)
=(2−2 2+1)−(1−2)
=2−2 2+1−1+2
=4−2 2．
【解析】(1)先根据立方根和二次根式的性质进行计算，再合并同类二次根式，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
(2)先根据完全平方公式，平方差公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=x2y3⋅2yx
=2xy2；
(2)原式=a2−b2a+b
=(a+b)(a−b)a+b
=a−b．
【解析】(1)除法转换为乘法，再约分即可；
(2)根据分式的减法法则计算，再约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17.【答案】解：(1)原式=(a−3)(m−2)；
(2)原式=3x(x2−4y2)
=3x(x+2y)(x−2y)．
【解析】(1)用提取公因式法即可；
(2)用提取公因式法，再用平方差公式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
18.【答案】解：(1)设直线的解析式为y=kx+b，把A(−1,5)，B(3,−3)代入，
可得：−k+b=53k+b=−3，
解得：k=−2b=3，
所以直线解析式为：y=−2x+3，
把P(−2,a)代入y=−2x+3中，
得：a=7；
(2)由(1)得点P的坐标为(−2,7)，
令x=0，则y=3，
所以直线与y轴的交点坐标为(0,3)，
所以△OPD的面积=12×3×2=3．
【解析】此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法解解析式．
(1)利用待定系数法解答解析式即可；
(2)得出直线与y轴相交于点D的坐标，再利用三角形面积公式解答即可．
19.【答案】解：(1)1；4 6；
(2)由(1)得：a+b=2 6，ab=1，
原式=(a+b)2−ab
=(2 6)2−1
=23．
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则和完全平方公式是解题关键．
(1)根据矩形面积公式和周长公式列式计算即可；
(2)先求出a+b和ab的值，再利用完全平方公式将原式变形为：(a+b)2−ab，最后将a+b和ab的值代入计算即可．
【解答】
解：(1)矩形的面积=ab=( 6+ 5)×( 6− 5)=6−5=1；
周长=2(a+b)=2×( 6+ 5+ 6− 5)=4 6．
故答案为1；4 6．
(2)见答案．
20.【答案】72
【解析】解：(1)S△ABC=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=72，
故答案为：72；
(2)由 10= 32+12，2 5= 20= 42+22可确定DE，EF，DF，如图所示，△DEF即为所求：
∵( 10)2+( 10)2=20=(2 5)2，即DE2+EF2=DF2，
∴△DEF是直角三角形．
(1)用割补法把三角形补成一个矩形，用矩形的面积减去3个三角形的面积即可解答；
(2)根据 10= 32+12，2 5= 20= 42+22即可找出线段DE、EF、DF，再利用勾股定理的逆定理即可求解．
本题考查三角形的面积，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
21.【答案】解：(1)由图象可得，
家与图书馆之间的路程为4000米，
小玲步行的速度为：(4000−2000)÷(30−10)
=2000÷20
=100(米/分钟)，
答：家与图书馆之间的路程为4000米，小玲步行的速度为100米/分钟；
(2)点D的横坐标为：4000÷300=403，
∴点D的坐标为(403,0)，
设小东离家的路程y关于x的函数解析式为y=kx+b，
∵点C(0,4000)，D(403,0)在该函数图象上，
∴b=4000403k+b=0，
解得k=−300b=4000，
即小东离家的路程y关于x的函数解析式为y=−300x+4000(0≤x≤403)；
(3)当两人相遇时，设他们走的时间为m分钟，
300m+200m=4000，
解得m=8，
∴当两人相遇时，他们离图书馆距离为：300×8=2400(米)，
答：当两人相遇时，他们离图书馆2400米．
【解析】(1)根据函数图象中的数据，可以得到家与图书馆之间的路程，再根据小玲步行走的时间和路程，可以计算出小玲步行的速度；
(2)根据题目中的数据和图象中的数据，可以计算出点D的坐标，然后即可求出小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)根据题目中的数据，可以计算出当两人相遇时，他们走的时间，然后即可计算出当两人相遇时，他们离图书馆多远．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】(a+b)2 a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+b2+2ab
【解析】解：(1)用两种不同的方法表示图2大正方形的面积，
方法1：(a+b)2；方法2：a2+2ab+b2；
故答案为：(a+b)2；a2+2ab+b2；
(2)观察图2，代数式(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系：(a+b)2=a2+b2+2ab，
故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab，
故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab；
(3)①∵a+b=5，a2+b2=11，
∴2ab=(a+b)2−(a2+b2)
=52−11
=14，
∴ab=7；
②设2022−a=m，a−2023=n，
∴m+n=2022−a+a−2023=−1，
∵(2022−a)2+(a−2023)2=5，
∴m2+n2=5，
∴2mn=(m+n)2−(m2+n2)
=(−1)2−5
=1−5
=−4，
∴ab=−2，
∴(2022−a)(a−2023)=−2．
(1)方法1：根据正方形的面积=边长的平方进行计算，即可解答；方法2：根据正方形的面积=两个正方形的面积+两个长方形的面积进行计算，即可解答；
(2)利用(1)的结论，即可解答；
(3)①利用(2)的结论进行计算，即可解答；
②设2022−a=m，a−2023=n，则m+n=−1，m2+n2=5，然后利用(2)的结论进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，多项式乘多项式，完全平方公式，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵当y=0时，−2x+4=0，解得：x=2，
∴点A的坐标为(2,0)；
∵当x=0时，y=−2x+4=4，
∴点B的坐标为(0,4)．
(2)∵点P在x轴上，且S△BOP=12S△AOB，
∴OP=12OA=1，
∴点P的坐标为(−1,0)或(1,0)．
(3)∵OB=4，OA=2，
∴AB= OA2+OB2=2 5．
分三种情况考虑(如图所示)：
①当AB=AM时，OM=OB=4，
∴点M1的坐标为(0,−4)；
②当BA=BM时，BM=2 5，
∴点M2的坐标为(0,4+2 5)，点M3的坐标为(0,4−2 5)；
③当MA=MB时，设OM=a，则BM=AM=4−a，
∴AM2=OM2+OA2，即(4−a)2=a2+22，
∴a=32，
∴点M4的坐标为(0,32).
综上所述：在y轴上存在点M，使三角形MAB是等腰三角形，点M坐标为(0,−4)，(0,4+2 5)，(0,4−2 5)和(0,32).
【解析】(1)分别代入y=0，x=0，求出与之对应的x，y值，进而可得出点A，B的坐标；
(2)由三角形的面积公式结合S△BOP=12S△AOB，可得出OP=12OA，进而可得出点P的坐标；
(3)由OA，OB的长可求出AB的长，分AB=AM，BA=BM，MA=MB三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点M的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；(2)利用两三角形面积间的关系，找出OP的长；(3)分AB=AM，BA=BM，MA=MB三种情况，利用等腰三角形的性质求出点M的坐标．