吉林省吉林市亚桥中学2022-2023学年九年级上学期质检数学试卷（一）解析版

这是一份吉林省吉林市亚桥中学2022-2023学年九年级上学期质检数学试卷（一）解析版，共26页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题，解答题〔每小题7分，共28分）等内容，欢迎下载使用。

吉林省吉林市亚桥中学2022-2023学年九年级上学期质检数学试卷（一）解析版
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．道路千万条，安全第一条，以下是一些常见的交通标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若二次函数y＝ax2的图象开口向下，则a的值可能是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
3．一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
4．如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转65°，得到△AED，若∠E＝35°，AD∥BC，则∠EAC的度数为（　　）

A．35° B．25° C．15° D．5°
5．若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
6．如图，一块长方形绿地长10m，宽5m．在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的78%，则可列方程为（　　）

A．（10﹣2x）（5﹣x）＝10×5×78%
B．（10﹣2x）（5﹣x）+2x2＝10×5×78%
C．（10﹣2x）（5+x）＝10×5×78%
D．（10﹣2x）（5﹣x）﹣2x2＝10×5×78%
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的常数项是 　 　．
8．（3分）关于x的方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　．
9．（3分）点P（5，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
10．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　 　．
11．（3分）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝　 　．

12．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝4，若点（1，y1），点（3，y2）在抛物线上，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为（4，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是　 　．

三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：3x2＝2（2﹣x）．
16．（5分）解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
17．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0无实数根，求k的取值范围．
18．（5分）如图所示是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取三个涂上阴影，使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（只需要填涂三种不同情况）

四、解答题〔每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于点C对称的点B′的坐标：　 　；
（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

20．（7分）某核酸自检试剂盒生产厂生产的核酸自检试剂盒1月份平均日产量为20000盒，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对核酸自检试剂盒需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到24200盒．
（1）求核酸自检试剂盒日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
21．（7分）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为7米，求BC＝　 　米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为192平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到198平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．

22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与数轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A，B．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴下方时，结合图象，直接写出m的取值范围；
（3）当m＝5时，直接写出△ABP的面积．

五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．


24．（8分）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图①所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上一点（0＜BD＜BC），连接AD，将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到△ACE．
【操作探究】
（1）试判断△ADE的形状，并说明理由；
【深入探究】
（2）希望小组受此启发，如图②，在线段CD上取一点F，使得∠DAF＝45°，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
（3）智慧小组在图②的基础上继续探究，发现CF，FD，DB三条线段也有一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系．

六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝2cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发，以3cm/s的速度沿BC﹣CD向终点D匀速运动，连接PQ．设点P的运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2）．
（1）当PQ∥BC时，求t的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当△BPQ的面积是矩形ABCD面积的时，直接写出t的值．

26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，与y轴交点的坐标为（0，﹣2），点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为1﹣2m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式．
（2）当点A、点B关于此抛物线的对称轴对称时，连结AB，求线段AB的长．
（3）将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
①当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式，并写出h的取值范围．
②设点E的坐标为（﹣2﹣2m，1），点F的坐标为（﹣2﹣2m，﹣3﹣2m），连结EF，当线段EF和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围．

参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．道路千万条，安全第一条，以下是一些常见的交通标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．若二次函数y＝ax2的图象开口向下，则a的值可能是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】由抛物线开口方向可求得a的取值范围，可求得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向由a的正负决定是解题的关键．
3．一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣5）
＝24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转65°，得到△AED，若∠E＝35°，AD∥BC，则∠EAC的度数为（　　）

A．35° B．25° C．15° D．5°
【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝65°，∠E＝∠B＝35°，由三角形内角和定理可得∠AOB的度数，再由平行线的性质得∠EAD＝∠AOB＝80°，最后由角的和即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，

∴∠BAE＝∠CAD＝65°，∠E＝∠B＝35°，
∴∠AOB＝180°﹣65°﹣35°＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AOB＝80°，
∴∠EAC＝80°﹣65°＝15°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
5．若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），
∴坐标原点可能是点A，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6．如图，一块长方形绿地长10m，宽5m．在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的78%，则可列方程为（　　）

A．（10﹣2x）（5﹣x）＝10×5×78%
B．（10﹣2x）（5﹣x）+2x2＝10×5×78%
C．（10﹣2x）（5+x）＝10×5×78%
D．（10﹣2x）（5﹣x）﹣2x2＝10×5×78%
【分析】根据图知，绿地面积＝原来绿地面积﹣道路面积列出方程并解答．
【解答】解：根据题意，可列方程（10﹣2x）（5﹣x）＝10×5×78%，
故选：A．
【点评】考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的常数项是 　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的常数项是﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
8．（3分）关于x的方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　25　．
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
解得：m＝25．
故答案为：25．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
9．（3分）点P（5，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 　（﹣5，2）　．
【分析】根据两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．
【解答】解：∵两点关于原点对称，
∴这两点对应的横、纵坐标均互为相反数
∴点P（5，﹣2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣5，2）．
故答案为：（﹣5，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．
10．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 　14　．
【分析】利用配方法把一元二次方程变形，进而求出m、n，计算即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣8＝0，
移项，得x2﹣4x＝8，
配方，得x2﹣4x+4＝8+4，
∴（x﹣2）2＝12，
∴m＝2，n＝12，
∴m+n＝2+12＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
11．（3分）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝　2　．

【分析】由直角三角形的性质可得AC＝2AB＝2，由旋转的性质可得AE＝AC＝2．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2，
∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AE＝AC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝4，若点（1，y1），点（3，y2）在抛物线上，则y1　＞　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】因为抛物线的对称轴为直线x＝4，根据二次函数的性质即可判断y1＞y2．
【解答】解：抛物线y＝x2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝4，
∴当x＜4时，y随x的增大而减小，
∵1＜3＜4，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为（4，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　x1＝4，x2＝﹣2　．

【分析】根据函数的对称轴和点P的坐标可以得出另一交点坐标，从而得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝4，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是　3≤S≤15　．

【分析】根据坐标先求AB的长，所以△PAB的面积S的大小取决于P的纵坐标的大小，因此只要讨论当0≤m≤3时，P的纵坐标的最大值和最小值即可，根据顶点坐标D（1，4），由对称性可知：x＝1时，P的纵坐标最大，此时△PAB的面积S最大；当x＝3时，P的纵坐标最小，此时△PAB的面积S最小．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0），
∴AB＝3，
y＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
∴顶点D（1，10），
由图象得：当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，
当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，即m＝3，P的纵坐标最小，
y＝﹣2（3﹣1）2+10＝2，
此时S△PAB＝×2AB＝×2×3＝3，
当x＝1时，即m＝1，P的纵坐标最大是10，
此时S△PAB＝×10AB＝×10×3＝15，
∴当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15；
故答案为：3≤S≤15．
【点评】本题考查了二次函数的增减性和对称性，及图形和坐标特点、三角形的面积，根据P的纵坐标确定△PAB的面积S的最大值和最小值是本题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程：3x2＝2（2﹣x）．
【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：3x2+2x﹣4＝0，
∵Δ＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
16．（5分）解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．
【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：2（x﹣3）＝3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
解得：x1＝3、x2＝．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，避免两边同除以x﹣3，这样会漏根．
17．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0无实数根，求k的取值范围．
【分析】关于x的一元二次方程无实根，只需Δ＜0即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0无实数根，
∴Δ＜0，即（﹣2）2﹣4（k+2）＜0，
解得k＞﹣1．
即k的取值范围是k＞﹣1．
【点评】本题主要考查根的判别式，根据方程的根的情况得出关于k的不等式是解题的关键．
18．（5分）如图所示是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取三个涂上阴影，使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（只需要填涂三种不同情况）

【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据定义画图即可．
【解答】解：如图：

【点评】本题主要考查了利用中心对称图形的定义设计图案，掌握定义是解题的关键．
四、解答题〔每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于点C对称的点B′的坐标：　（0，3）　；
（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可写出点B关于点C对称的点B′的坐标；
（2）根据平移的性质即可平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），进而画出平移后的△A1B1C1；
（3）根据旋转的性质即可画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
【解答】解：（1）点B关于点C对称的点B′的坐标为（0，3）；
故答案为：（0，3）；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
20．（7分）某核酸自检试剂盒生产厂生产的核酸自检试剂盒1月份平均日产量为20000盒，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对核酸自检试剂盒需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到24200盒．
（1）求核酸自检试剂盒日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【分析】（1）设核酸自检试剂盒日产量的月平均增长率为x，则2月份平均日产量为20000（1+x）个，3月份平均日产量为20000（1+x）2个，根据“3月份平均日产量达到24200盒”可得相应方程；
（2）利用4月份平均日产量＝1月份平均日产量×（1+增长率）3，即可预计出4月份平均日产量．
【解答】解：（1）设核酸自检试剂盒日产量的月平均增长率为x，依题意得：
20000（1+x）2＝24200，
解得：x1＝﹣2.1（不合题意，舍去），x2＝0.1＝10%，
答：核酸自检试剂盒日产量的月平均增长率为10%；
（2）20000×（1+10%）3＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（7分）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为7米，求BC＝　27　米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为192平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到198平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．

【分析】（1）根据各边之间的关系，可求出当CD＝7米时，BC的长；
（2）设CD的长为x米，则BC的长为（45﹣3x+3）米，根据饲养场的面积为192平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）饲养场的面积不能达到198平方米，设CD的长为y米，则BC的长为（45﹣3y+3）米，根据饲养场的面积为198平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣8＜0，可得出该方程无实数根，进而可得出饲养场的面积不能达到198平方米．
【解答】解：（1）45﹣3×7+3×1
＝45﹣21+3
＝27（米）．
故答案为：27．
（2）设CD的长为x米，则BC的长为（45﹣3x+3）米，
依题意得：x（45﹣3x+3）＝192，
整理得：x2﹣16x+64＝0，
解得：x1＝x2＝8，
当x＝8时，45﹣3x+3＝45﹣3×8+3＝24＜27，符合题意．
答：边CD的长为8米．
（3）饲养场的面积不能达到198平方米，理由如下：
设CD的长为y米，则BC的长为（45﹣3y+3）米，
依题意得：y（45﹣3y+3）＝198，
整理得：y2﹣16y+66＝0，
∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×66＝﹣8＜0，
∴该方程无实数解，
即饲养场的面积不能达到198平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与数轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A，B．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴下方时，结合图象，直接写出m的取值范围；
（3）当m＝5时，直接写出△ABP的面积．

【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，然后通过待定系数法求解．
（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解；
（3）过P作PC⊥y轴于C，首先根据已知条件求出P的坐标，然后利用面积的割补法即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣3x+3与数轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝1，
∴A（1，0），B（0，3），
将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得 ，
解得 ，
∴y＝x2﹣4x+3；
（2）令x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴1＜m＜3时，点P在x轴下方；
（3）当m＝5时，y＝25﹣4×5+3＝8，
∴P（5，8），
过P作PC⊥y轴于C，
∴PC＝5，OC＝8，OB＝3，CB＝5，OA＝1，
∴S△ABP＝S四边形OACP﹣S△BCP﹣S△OAB＝24﹣﹣＝10．

【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
销售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．


【分析】（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；
（2）①根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
②根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，

设y＝kx+b，
把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+50；
（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，
∵﹣1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；
②当w＝240时，﹣（x﹣34）2+256＝240，
（x﹣34）2＝16，
∴x1＝38，x2＝30，
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
24．（8分）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图①所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上一点（0＜BD＜BC），连接AD，将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到△ACE．
【操作探究】
（1）试判断△ADE的形状，并说明理由；
【深入探究】
（2）希望小组受此启发，如图②，在线段CD上取一点F，使得∠DAF＝45°，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
（3）智慧小组在图②的基础上继续探究，发现CF，FD，DB三条线段也有一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系．

【分析】（1）由旋转的性质可得∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，可得结论；
（2）由“SAS”可证△AFE≌△AFD，可得EF＝DF；
（3）证明∠ECF＝90°，利用勾股定理可得结论，即可求解．
【解答】解：（1）结论：△ADE为等腰直角三角形．
理由：由旋转得∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝90°，
∴△ADE为等腰直角三角形；

（2）结论：EF＝DF．
理由：∵∠DAE＝90°，∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠DAE﹣∠DAF＝45°．
∴∠EAF＝∠DAF，
又∵AF＝AF，AD＝AE，
∴△AFE≌△AFD（SAS），
∴EF＝DF；

（3）结论：DF2＝CF2+DB2．
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
由性质的性质可知∠ACE＝∠B＝45°，BD＝CE，
∴∠BCE＝90°，
∴EF2＝CE2+CF2，
∴DF2＝CF2+DB2．

【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝2cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B匀速运动；同时动点Q从点B出发，以3cm/s的速度沿BC﹣CD向终点D匀速运动，连接PQ．设点P的运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2）．
（1）当PQ∥BC时，求t的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当△BPQ的面积是矩形ABCD面积的时，直接写出t的值．

【分析】（1）当PQ∥BC时，点Q在CD上，此时BP＝CQ，由此构建方程求解即可．
（2）分两种情形：当0＜t≤时，S＝•BP•BQ，当＜t≤2时，S＝•BP•BC，分别求解即可．
（3）分两种情形分别构建方程求出t的值即可．
【解答】解：（1）当PQ∥BC时，点Q在CD上，此时BP＝CQ，
∴4﹣2t＝3t﹣2，
解得t＝．
∴t＝时，PQ∥BC．

（2）当0＜t≤时，S＝•BP•BQ＝•（4﹣2t）×3t＝﹣3t2+6t．
当＜t≤2时，S＝•BP•BC＝×（4﹣2t）×2＝4﹣2t，
综上所述，S＝．

（3）当﹣3t2+6t＝×2×4时，解得t＝或（舍弃），
当4﹣2t＝×2×4，解得t＝1，
综上所述，t＝或1时，△BPQ的面积是矩形ABCD面积的．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，与y轴交点的坐标为（0，﹣2），点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为1﹣2m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式．
（2）当点A、点B关于此抛物线的对称轴对称时，连结AB，求线段AB的长．
（3）将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
①当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式，并写出h的取值范围．
②设点E的坐标为（﹣2﹣2m，1），点F的坐标为（﹣2﹣2m，﹣3﹣2m），连结EF，当线段EF和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据函数对称轴和与y轴交点可直接得到结论；
（2）根据题意可知，点A的横坐标与点B的横坐标的中点在对称轴上，由此列出方程，可得出m的值，进而得出结论；
（3）①根据题意，m＜1＜1﹣2m，需要分两种情况：当1﹣2m﹣1≥1﹣m时，m≤﹣1；2）当1﹣2m﹣1≤1﹣m时，﹣1≤m＜0，再对于每部分最高点和最低点进行讨论，从而得出结论；
②根据题意可知，m≤﹣2﹣2m≤1﹣2m，将x＝﹣2﹣2m代入抛物线的解析式，得出y＝4m2+12m+6，对于4m2+12m+6，1，﹣3﹣2m三者的大小关系进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∵抛物线与y轴交于点（0，﹣2），
∴c＝﹣2．
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣2．
（2）∵点A、点B关于此抛物线的对称轴对称，
∴m+1﹣2m＝1×2，解得m＝﹣1，
∴A（﹣1，1），B（3，1）．
∴AB＝4．
（3）①∵图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，
∴图象G的最低点的纵坐标为（1，﹣3）．
根据题意，最高点有两种情况：
当m＜1＜1﹣2m时，m＜0，
1）当1﹣2m﹣1≥1﹣m时，m≤﹣1，
此时图象G的最高点为（1﹣2m，4m2﹣3），
h＝4m2﹣3﹣（﹣3）＝4m2．
2）当1﹣2m﹣1＜1﹣m时，﹣1＜m＜0，
此时函数G的最高点为（m，m2﹣2m﹣2）．
此时h＝m2﹣2m﹣2﹣（﹣3）＝m2﹣2m+1．
∴h＝，h＞1；
②根据题意可知，若线段EF和图象G有公共点，则m≤﹣2﹣2m≤1﹣2m，即m≤﹣．
当x＝﹣2﹣2m时，y＝4m2+12m+6．
∴﹣3﹣2m≤4m2+12m+6≤1或1≤4m2+12m+6≤﹣3﹣2m，
解得：≤m≤﹣或≤m≤﹣．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，分类讨论思想等相关知识，根据二次函数的性质进行分类讨论是解题关键．