2022-2023学年吉林省吉林市船营区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省吉林市船营区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列式子中，是最简二次根式的是( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
2. 甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射箭成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 1.5，2.5，3D. 1， 2， 3
4. 如图，四边形ABCD中，AD=BC，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AD//BCB. ∠A+∠B=180°
C. ∠A=∠CD. AB=CD
5. 如图，已知直线y=−x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于点C，则点C的坐标为( )
A. (−1,0)
B. (−2 2,0)
C. (2 2−2,0)
D. (2−2 2,0)
6. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，△OAB沿x轴向右平移后得到的△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y=34x上，则点B与其对应点B′间的距离为( )
A. 94
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 若 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8. 计算 (−2)2= ______ ．
9. 某灯泡厂为测试一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，若抽出的50只灯泡的平均使用寿命为1680h，则这批灯泡的平均使用寿命大约是______h.
10. 已知直线y=x−3与y=2x+2的交点为(−5,−8)，则方程组x−y−3=02x−y+2=0的解是______．
11. 若一次函数y=−2x+b(b为常数)的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以是______(写出一个即可)．
12. 自由落体的公式是h=12gt2(g为重力加速度，g=9.8m/s2)，若物体下落的高度h为176.4m，则下落的时间为______s.
13. 如图，△ABC的周长为26cm，中位线EF=3cm，中位线DF=6cm，则中位线DE的长为______cm．
14. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.如果AB= 3，那么BC的长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
15. 计算：( 24+ 0.5)−( 18− 6)．
四、解答题（本大题共11小题，共79.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
计算： 48÷( 12× 12)+ 32．
17. (本小题5.0分)
若函数y=(2m−1)x+m+3的图象平行于直线y=3x−3．
(1)求函数解析式；
(2)将该函数的图象向下平移3个单位，则平移后的图象与x轴的交点的横坐标为______ ．
18. (本小题5.0分)
如图，一块湿地边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m.求A，B两点间距离.(结果保留整数)
19. (本小题7.0分)
如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于12MN长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF//BC交AB于点F．
(1)求证：四边形ADEF是菱形；
(2)若AD=10，△AED的周长为36，则菱形ADEF的面积是______ ．
20. (本小题7.0分)
如图，在4×4的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图．
(1)在图①中，以AB为一边画平行四边形ABCD，使其面积为6；
(2)在图②中，以AB为一边画菱形ABEF；
(3)在图③中，以AB为一边画正方形ABGH，且与图②中所画的图形不全等．
21. (本小题7.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,4)，且与正比例函数y=−23x的图象交于点B(m,2)．
(1)求一次函数y=kx+b的解析式；
(2)若直线AB与x轴交于点C，若连接AO后，请直接写出△OAB的面积是______．
22. (本小题7.0分)
每年4月23日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取20名学生，对每人每周用于课外阅读的平均时间(单位：分钟)进行调查，结果填入下表：
整理数据：
分析数据：
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，m= ______ ，n= ______ ；
(2)已知该校学生1200人，若每人每周用于课外阅读的平均时间不少于80分钟为达标，请估计达标的学生数；
(3)设阅读一本课外书的平均时间为260分钟，请选择适当的统计量，估计该校学生每人一年(按52周计)平均阅读多少本课外书？
23. (本小题8.0分)
小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动.如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y(单位：千米)与时间x(单位：小时)之间的函数关系.根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)求小王的骑车速度，点C的横坐标；
(2)求线段AB对应的函数表达式；
(3)当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？
24. (本小题8.0分)
综合与实践课上，数学老师准备了下面数学活动供同学们探究：
【问题提出】如图①，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，点D在AC上，求证：AD2+CD2=DE2，通过连接EC，得AD=CE，∠ACE=90°，从而得出△DCE为直角三角形，使问题得证．
【问题深入】如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点D在对角线EG上，若DG=2，DE=6，求正方形ABCD的面积．
【问题拓展】如图③，△ABC和△DBE都是等边三角形，点A在DE上，连接DC，则∠ADC= ______ °；若AD=6，AE=2，则△ACD的面积为______ ．
25. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，∠C=60°，AD=24cm，CD=8cm.点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动；点Q从点B同时出发，以3cm/s的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q的运动时间为x(s)．
(1)BC=______cm，AB=______cm；
(2)当PQ=CD时，x=______；
(3)当四边形ABQP为矩形时，求x的值．
26. (本小题10.0分)
因为四边形具有不稳定性，故将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD(如图①).在菱形ABCD中，设∠A=α，面积为S．

(1)请补全表：
(2)填空：由(1)可以发现边长是1的正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化.不妨把边长为1，∠A=α的菱形面积S记为S(α)．
例如：当α=30°时，S=S(30°)=12，当α=135°时，S=S(135°)= 22．
由表可以得到S(60°)=S(______ °)，S(30°)=S(______ °)，…，由此可以归纳出S(α)=S(______ ).
(3)将两块相同的等腰直角三角形按图②的方式放置，若AO=1，∠AOB=α.求证：S△DOC=S△AOB．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A选项， 4=2，故该选项不符合题意；
B选项， 6是最简二次根式，故该选项符合题意；
C选项， 8=2 2，故该选项不符合题意；
D选项， 12=2 3，故该选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义即可得出答案．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，
丁的方差最小，
∴射箭成绩最稳定的是：丁．
故选：D．
根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最稳定．
此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．在解题时要能根据方差的意义和本题的实际，得出正确结论是本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、32+22≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、1.52+2.52≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+( 2)2=( 3)2，能构成直角三角形，故符合题意．
故选：D．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4.【答案】C
【解析】解：A.∵AD=BC，AD//BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
B.∵∠A+∠B=180°，
∴AD//BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
C.根据∠A=∠C，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项错误，符合题意；
D.∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可．
本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：当x=0时，y=−x+2=2，
∴点B的坐标为(0,2)，OB=2；
当y=0时，−x+2=0，解得：x=2，
∴点A的坐标为(2,0)，OA=2．
∴AB= OA2+OB2=2 2，
∴点C的坐标为(2−2 2,0)．
故选：D．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，利用勾股定理求出AB的长度，再结合点A的坐标即可找出点C的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
由平移的性质可求得O′A′的长，则可求得A′点的坐标，得OO′的长，由平移的性质可得到BB′=OO′，可求得答案．
本题主要考查函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，求出点A′的坐标是解题的关键．
【解答】
解：
∵点A的坐标为(0,3)，
∴OA=3，
由平移的性质可得O′A′=OA=3，
∴点A′的纵坐标为3，
∵A′在直线y=34x上，
∴3=34x，解得x=4，
∴点A′的横坐标为4，
∴OO′=4，
又由平移的性质可得BB′=OO′=4，
故选：C．
7.【答案】x≥3
【解析】
【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件．
根据被开方数为非负数列不等式求解即可．
【解答】
解：根据题意得x−3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
8.【答案】2
【解析】解： (−2)2= 22=2．
故答案为：2．
直接利用算术平方根化简得出答案．
此题主要考查了算术平方根的化简，正确化简算术平方根是解题关键．
9.【答案】1680
【解析】解：∵抽出的50只灯泡的平均使用寿命为1680h，
∴这批灯泡的平均使用寿命大约是1680h，
故答案为：1680
根据题目中的数据，可以写出这批灯泡的平均使用寿命大约是多少小时．
本题考查算数平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，根据样本估计总体．
10.【答案】x=−5y=−8
【解析】解：直线y=x−3与y=2x+2的交点为(−5,−8)，即x=−5，y=−8满足两个解析式，
则x=−5y=−8是y=x−3y=2x+2即方程组x−y−3=02x−y+2=0的解．
因此方程组x−y−3=02x−y+2=0的解是x=−5y=−8．
由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此点P的横坐标与纵坐标的值均符合方程组中两个方程的要求，因此方程组的解应该是x=−5y=−8．
方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
11.【答案】2
【解析】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
k=−2，
∴b>0，
∴b>0的任意实数．
故答案为：2.(b>0的任意实数)
根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数与坐标轴的交点特点及其增减性是解答此题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：把g=9.8m/s2，h=176.4m代入h=12gt2，得
176.4=12×9.8×t2，
解得t=6或t=−6(舍去)，
故答案为：6．
把g=9.8m/s2，h=176.4m代入h=12gt2可求出t的值即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
13.【答案】4
【解析】解：∵△ABC的周长为26cm，
∴AB+AC+BC=26cm，
∵中位线EF=3cm，中位线DF=6cm，
∴BC=2EF=6cm，AB=2DF=12cm，
∴AC=26−6−12=8(cm)，
∴中位线DE=12AC=4cm，
故答案为：4．
根据三角形的周长公式得到AB+AC+BC=26cm，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，
∴EA=EC，∠BCE=∠ACE，
∴∠ACE=∠CAE，
而∠CEB=∠CAE+∠ACE，
∴∠CEB=2∠BCE，
∴∠BCE=30°，
∴∠CAE=30°，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB= 3，
∴BC=AB 3=1．
故答案为1．
根据折叠的性质得到EA=EC，∠BCE=∠ACE，则∠ACE=∠CAE，利用三角形外角性质有∠CEB=∠CAE+∠ACE，所以∠CEB=2∠BCE，则可计算出∠BCE=30°，
所以∠CAE=30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系计算出BC．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了含30°的直角三角形三边的关系．
15.【答案】解：( 24+ 0.5)−( 18− 6)
=2 6+12 2−14 2+ 6
=3 6+14 2．
【解析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
16.【答案】解： 48÷( 12× 12)+ 32
= 48÷ 6+4 2
= 8+4 2
=2 2+4 2
=6 2．
【解析】先计算括号内二次根式的乘法，再计算二次根式的除法，进行化简，最后合并即可得到答案．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】−23
【解析】解：(1)∵函数y=(2m−1)x+m+3的图象平行于直线y=3x−3，
∴2m−1=3，
解得 m=2，
∴所求函数解析式为y=3x+5；
(2)将该函数的图象向下平移3个单位，则平移后的解析式为：y=3x+5−3，
即y=3x+2，
令y=0，得3x+2=0，
解得：x=−23，
故平移后的图象与x轴的交点的横坐标为−23，
故答案为：−23．
(1)根据两直线平行的问题，得到2m−1=3，求出m，即可得解；
(2)根据平移规则，上加下减，得到平移后的解析式，继而得解．
本题考查了一次函数上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，也考查了一次函数的性质以及两直线平行的问题．
18.【答案】解：∵CB=60m，AC=20m，∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，
∴AB= BC2−AC2= 602−202=40 2≈57(m)．
答：A，B两点间距离约为57m．
【解析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是正确的从实际问题中发现直角三角形并对应好直角边和斜边．
19.【答案】96
【解析】(1)证明：由作法可得，AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴DE//AF，∠AED=∠BAE，
∵EF//BC，
∴AD//EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=AE，
∴四边形ADEF是菱形．
(2)解：连接DF，交AE于点O，

∵四边形ADEF是菱形，
∴DF⊥AE，AD=DE=EF=10，
∵△AED的周长为36，
∴AE=16，
∴EO=12AE=8，
在Rt△EOF中，OF= 102−82=6，
∴DF=2OF=12，
∴S菱形ADEF=12DF×AE=12×16×12=96，
故答案为：96．
(1)根据角平分线的作法可知，AE平分∠BAD，再根据平行四边形的性质可得AD//EF，从而证明四边形ADEF是平行四边形，再利用角平分线的定义证明∠AED=∠DAE，即AD=AE，即可证明结论；
(2)连接DF，交AE于点O，根据菱形的性质可得DF⊥AE，AD=DE=EF=10，再由△AED的周长为36，求得AE=16，即EO=8，利用勾股定理求得OF=6，即DF=12，再利用菱形的面积公式计算即可．
本题考查作图−角平分线、平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、勾股定理及菱形的面积公式，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图②中，菱形ABEF即为所求；
(3)如图③中，正方形ABGH即为所求．

【解析】(1)画出底为3，高为的平行四边形ABCD即可；
(2)根据菱形的定义，画出图形即可；
(3)根据正方形的定义画出图形即可．
本题考查作图−应用与设计作图，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】4
【解析】解：(1)把点B(m,2)代入y=−23x得，2=−23m，
∴m=−3，
∴B(−3,2)，
把A(−2,4)，B(−3,2)代入y=kx+b得4=−2k+b2=−3k+b，
解得：k=2b=8，
∴一次函数的解析式为：y=2x+8；
(2)在y=2x+8中，令y=0，则x=−4，
∴C(−4,0)，
∵A(−2,4)，B(−3,2)，
∴S△OAB=S△OAC−S△OCB=12×4×4−12×4×2=4．
故答案为：4．
(1)把点B(m,2)代入y=−23x得，得到B(−3,2)，把A(−2,4)，B(−3,2)代入y=kx+b即可得到结论；
(2)求得C(−4,0)，根据S△OAB=S△OAC−S△OCB即可得到结论．
本题考查了两条直线平行和相交问题，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
22.【答案】8 81 81
【解析】解：(1)由统计表收集数据可知a=8，m=81，n=81．
故答案为：8；81；81；
(2)1200×8+420=720(人)．
答：估计达标的学生有720人；
(3)80×52÷260=16(本)．
答：估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读16本课外书．
(1)根据统计表收集数据可求a，再根据中位数、众数的定义可求m，n；
(2)达标的学生人数=总人数×达标率，依此即可求解；
(3)本题需先求出阅读课外书的总时间，再除以平均阅读一本课外书的时间即可得出结果．
此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数(平均数、中位数、众数)和理解样本和总体的关系是关键．
23.【答案】解：(1)由图可得，
小王的骑车速度是：(27−9)÷(2−1)=18(千米/小时)，
点C的横坐标为：1−9÷18=0.5；
(2)设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵A(0.5,9)，B(2.5,27)，
∴0.5k+b=92.5k+b=27，
解得：k=9b=4.5，
∴线段AB对应的函数表达式为y=9x+4.5(0.5≤x≤2.5)；
(3)当x=2时，y=18+4.5=22.5，
∴此时小李距离乙地的距离为：27−22.5=4.5(千米)，
答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米．
【解析】(1)根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标；
(2)用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式；
(3)将x=2代入(2)中的函数解析式求出相应的y的值，再用27减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．
本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】120 3 3
【解析】[问题深入]
证明：∵四边形AEFG是正方形，∴∠AEG=∠AGE=45°，
连接BE，由问题提出可知△AGD≌△AEB，

∴EB=GD=2，∠AEB=∠DGA=45°，
∴∠DEB=90°，
在Rt△BDE中，ED2+BE2=BD2，
∵BE=2，DE=6，
∴BD2=40．
SABCD=AB2=( 22BD)2=20，
∴正方形ABCD的面积为20；
[问题拓展]
解：
类比问题深入的过程得△BDC≌△BEA，
∴CD=AE=2，
∠BEA=∠BDC=60°，
又∠EDB=60°，
∴∠ADC=∠EDB+∠BDC=60°+60°=120°，
过点C作ED延长线的垂线CF，交ED的延长线于点F，

∴∠DFC=90°，
∵∠ADC=120°，
∴DF=12DC=1，
∴CF= 3DF= 3，
∴S△ADC=12AD⋅CF=12×6× 3=3 3，
故答案为：120； 3 3．
问题深入：类比问题提出的过程，得到BE2+ED2=BD2，根据SABCD=AB2=( 22BD)2，代入数值计算即可；
问题拓展：类比问题深入的过程得△BDC≌△BEA，易得∠ADC=120°，过点C作ED延长线的垂线，构造直角三角形求出CF，代入面积公式计算即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，类比思想的运用是解题关键．
25.【答案】28 4 3 5或7
【解析】解：(1)如图1，作DE⊥BC于点E，则∠DEC=∠DEB=90°，
∵AD//BC，∠B=90°，
∴∠A=180°−∠B=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=24，
∵∠C=60°，
∴∠CDE=30°，
∴CE=12CD=12×8=4，
∴BC=BE+CE=24+4=28(cm)，AB=DE= CD2−CE2= 82−42=4 3(cm)
故答案为：28，4 3．
(2)如图2，PQ=CD=8，且PQ与CD不平行，作DE⊥BC于点E，PF⊥BC于点F，
∵∠PFB=∠B=∠A=90°，
∴四边形ABFP是矩形，
∴AP=BF；
∵∠PFQ=∠DEC=90°，PF=DE，
∴Rt△PFQ≌Rt△DEC(HL)，
∴∠QPF=∠CDE=30°，
∴QF=12PQ=4；
∴24−x=3x+4，
解得，x=5；
如图3，PQ=CD=8，且PQ//CD，作DE⊥BC于点E，作PF⊥BC于点F，
∵∠PFB=∠B=∠A=90°，
∴四边形ABFP是矩形，
∴AP=BF；
∵∠PFQ=∠DEC=90°，PF=DE，
∴Rt△PFQ≌Rt△DEC(HL)，
∴∠QPF=∠CDE=30°，
∴QF=12PQ=4；
∴24−x=3x−4，
解得，x=7，
故答案为：5或7．
(3)如图4，∵AP//BQ，∠B=90°
∴当AP=BQ时，四边形ABQP时矩形，
∴24−x=3x，
解得，x=6．
(1)作DE⊥BC于点E，得到矩形ABED和Rt△DEC，由∠C=60°，得∠CDE=30°，可求得CE的长，再用勾股定理求DE的长，可求得AB、BC的长；
(2)按PQ=CD=8，且PQ与CD不平行，或PQ=CD=8，且PQ//CD分类讨论，由AP=BQ+4或AP=BQ−4列方程求出x的值；
(3)当四边形ABQP时矩形时，则AP=BQ，列方程求出x的值即可．
此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将已知所给的四边形转化为矩形和直角三角形，解第(2)题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的x的值．
26.【答案】 22 32 12 120 150 180°−α
【解析】解：(1)当α为锐角时，菱形ABCD的面积S=1×1×sinα=sinα；
当α=90°时，S=1；
当α为钝角时，S=1×1×sin(180°−α)=sinα；
∴α=45°时，S= 22；
α=60°，S= 32；
α=150°，S=12；
故答案为： 22， 32，12；
(2)由表格可知，S(60°)=S(120°)；S(30°)=S(150°)；…，S(α)=S(180°−α)；
故答案为：120，150，180°−α；
(3)证明：将△AOB沿AB翻折，将△COD沿CD翻折，如图：

∵∠AOD=∠COB=90°，
∴∠COD+∠AOB=180°，
∴S△AOB=12S菱形AMBO=12S(α)，
S△CDO=12S菱形OCND=12S(180°−α)，
由(2)中结论S(α)=S(180°−α)，
∴S△AOB=S△CDO．
(1)根据菱形面积公式可得答案；
(2)根据表格观察规律即得答案；
(3)将△AOB沿AB翻折，将△COD沿CD翻折，证明S菱形AMBO=S菱形OCND，即可得到结论．
本题属于四边形的综合应用，涉及知识点有菱形的性质和面积、解直角三角形及转化思想等．在(1)中求得菱形的高是解题的关键，在(2)中利用好(1)中的结论即可，在(3)中把三角形的面积转化成菱形的面积是解题的关键．本题考查知识点较基础，难度不大．
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
课外阅读平均时间(x分钟)
0≤x<40
40≤x<80
80≤x<120
120≤x<160
人数
3
5
a
4
平均数
中位数
众数
80
m
n
α
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
S
12
______
______
1
32
22
______