北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线第2课时教案及反思

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设

情境

【复习回顾】

教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.

问题1：线段的垂直平分线的性质定理是什么？它有哪些应用？

预设：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

几何语言:

如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的点，则PA=PB.

应用:

经常用来证明两条线段相等.

问题2：线段的垂直平分线的判定定理是什么？它有哪些应用？

预设：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

几何语言：如图，线段AB，PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)．

应用:

经常用来证明点在直线上或直线经过某一点.

问题3：如何作已知线段的垂直平分线？

预设：

已知:线段AB，如图.    

求作:线段AB的垂直平分线.

作法:

1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D.

2. 作直线CD.

则直线CD就是线段AB的垂直平分线.

回忆上节课学过的知识并回答问题.

思考并回答问题

思考并回答问题

通过复习前面学习过的线段的垂直平分线的相关知识，为新课的探究学习打下基础.

环节二

典例

探究

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.   

例1 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

分析：两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.证明前要先将题目转化为几何语言，画出图形.然后结合前面学过的线段垂直平分线的判定定理和性质定理进行证明.

求解过程：

已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.

求证：点P在边AC的垂直平分线上，且PA＝PB＝PC.

证明：∵点P在边AB的垂直平分线上，

∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).

同理，PB＝PC.

∴PA＝PB＝PC.

∴点P在边AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).  

【议一议】

分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现.

① 锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点；

② 直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处.

③ 钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.

【归纳】

教师活动：结合上面的例题讲授及作图内容，鼓励学生先自主思考并讨论总结三角形外心的相关内容，然后做整体归纳总结.

三角形的外心：

三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点称为三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

三角形外心的位置：

(1)锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点；

(2)直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处；

(3)钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.

【议一议】

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能做出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?

预设：能作出无数个，所作出的三角形不都全等.

(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗?

分析：先作出底边的垂直平分线，再截取已知长度的高，即可作出满足条件的三角形.

预设：

能作出两个三角形，所作出的两个三角形全等.

【典型例题】

教师活动：先帮学生回忆前面学习的尺规作图的基本内容，然后和学生一起分析具体作图方法，在学生作图过程中，引导学生体会每一作图步骤的作用及其理论依据.

例2 已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.

已知：如图，线段a，h.

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD= h.

作法：

(1)作线段BC=a.

(2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.

(3)在l上截取DA= h.

(4)连接AB，AC.

△ABC就是所求作的等腰三角形.

【做一做】

已知直线l和l上一点P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢.

小明的作法如下，你能明白他的作法吗？

分析：先在直线l上截取A、B两点，且这两点到点P的距离相等；接着分别以点A、B为圆心，大于线段AB的一半的长为半径画弧，交于两点；最后连接得到的两个交点，得到直线m即为所求.

你是怎样作的？和同学们交流讨论一下.

【议一议】

如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢?说说你的作法，并与同伴进行交流.

分析：应先依据题意写出已知、求作.可以在直线 l 的另一侧取点 K，过 P 点以 PK 长为半径作弧，与直线 l 相交于两点，即构造出等腰三角形，则问题就转化为等腰三角形作底边垂直平分线的问题，得以解决.

已知：直线 l，及 l 外一点 P .

求作：直线m垂直于直线l，且经过点 P.

作法：

1. 任取一点 K，使点 K 与点 P在直线l两旁；

2.以点 P为圆心，以 PK的长为半径作弧，交直线 l于点A和点 B；

3.作线段 AB 的垂直平分线m.

直线 m 垂直于直线 l，且经过点 P.

教师活动：进行总结说明，给出简要证明，因为PA=PB，根据线段垂直平分线的判定定理可证得.

学生思考，交流反馈，提出问题并尝试用自己的方法解决验证

学生尝试写出已知和证明并书写完整的证明过程.

按照要求做出不同三角形三边的垂直平分线，注意观察他们的位置.

和老师一起总结归纳三角形外心的性质.

尝试作图，思考并给出答案.

学生思考并尝试作图，通过作图给出答案.

学生观察思考并实际操作画图.

思考并尝试通过作图给出答案.

结合上面的作图方法，尝试独立完成作图后讨论交流.

通过解决例题，让学生理解线段垂直平分线性质定理及判定定理，注意引导学生阅读、理解题意.

引导学生通过作图，发现不同形状的三角形的外心位置的不同，为后续研究外心的具体内容铺垫.

总结介绍三角形的外心的相关知识，为后续学习三角形的外接圆做铺垫.

这里设置的三个问题，为学生进行尺规作图的探索提供了思考空间，同时也为下面“做一做”的学习奠定基础.

教学时让学生先回忆基本的作图方法，并引导学生体会每一步作图的作用和理论依据.

在前面探究的基础上，完成尺规作图.因为用尺规作线段的垂直平分线是七年级上册学习过的内容，因此教学时要让学生先回忆这些基本尺规作图的具体作法.

综合考察学生的作图能力和作图方法的掌握情况.

环节三

方法

归纳

【归纳】

教师结合上面的例题讲授，鼓励学生先自主思考并讨论总结与线段垂直平分线有关的尺规作图问题，然后做整体归纳总结．

线段垂直平分线有关的尺规作图问题有哪些？

         已知底边及底边上的高作等腰三角形；

         经过直线上一点作已知直线的垂线；

         经过直线外一点作已知直线的垂线．

学生思考，自主交流反馈，后和老师一起总结归纳

结合例题学习内容对与线段垂直平分线有关的尺规作图问题方法的归纳总结，便于学生形成一定的作图方法论.

环节四

巩固

新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

【随堂练习】

1.三角形三边的垂直平分线的交点(　　)

A．到三角形三边的距离相等

B．到三角形三个顶点的距离相等

C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等

D．不能确定

2. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是(　　)

A．10°     B．20° 

C．30°     D．40°

3.如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5 cm，则AO+BO+CO=　　cm.

4.如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝______．

5.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.

答案：

1.B   

2.A    

3.15    

4.38°

5.解：如果设AB的中点为D，AC的中点为G，那么图中相等的线段有：AD=BD(已知)，AG=CG(已知)，

BE＝AE(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，    

同理AF＝CF.

∴△AEF的周长为AE＋EF＋AF＝BE＋EF＋FC＝BC＝2.

学生自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.

环节五

课堂

小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置

作业

教科书 习题1.8  第1、2、3题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.