初中数学第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.3 整数指数幂课后测评

分式的混合运算，整数指数幂（提高）

【学习目标】

1．掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律．

2．能正确进行分式的四则运算．

3. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义．

4．掌握科学记数法．

【要点梳理】

要点一、分式的混合运算

与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.

要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..

（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.

（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.

要点二、零指数幂

任何不等于零的数的零次幂都等于1，即.

要点诠释：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到.

要点三、负整数指数幂

任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.

引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.

     要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.

要点四、科学记数法的一般形式

（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，

（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.

用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.

【典型例题】

类型一、分式的混合运算

1、先化简，再求值．

，其中满足．

【思路点拨】带有括号的分式的混合运算，应先算括号里的，同时在化简后应把看成一个整体来处理．

【答案与解析】

解：  原式

．

当时，．所以原式．

【总结升华】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，注意整体代入的思想.

2、 （1）；

（2）．

【答案与解析】

解：（1）原式

．

（2）原式

【总结升华】在分式的混合运算中，加减应先通分；乘除运算，除法应转化为乘法，有括号时，先算括号内的．

举一反三：

【变式】（2020春•东台市期中）计算：

（1）；           

（2）．

【答案】

解：（1）原式=﹣•=﹣=﹣；

（2）原式=[﹣]•=•=．

类型二、负整数次幂的运算

3、 已知，，则的值＝________．

【思路点拨】先将变形为底数为3的幂，，，然后确定、的值，最后代值求．

【答案与解析】

解：  ∵  ，∴  ．

∵  ，，∴  ，．

∴  ．

【总结升华】负整数指数幂的性质，在整数指数幂的范围内依然适用，解决本题的关键是运用负整数指数幂的定义确定、的值.

举一反三：

【变式】计算：（1）；（2）；

【答案】

解：（1）原式．

（2）原式．

类型三、科学记数法

4、（2020春•扬州校级月考）若5万粒芝麻的质量总共是200克，则一粒芝麻的质量是多少千克？（列式计算，结果用科学记数法表示）

【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【答案与解析】

解：200×10﹣3÷（5×104）=4×10﹣6，

答：一粒芝麻的质量是4×10﹣6千克．

【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

举一反三：

【变式】计算：（1）；（2）；

（3）；（4）．

【答案】

解：（1）原式；

（2）原式；

（3）原式；

（4）原式．