初中数学9 弧长及扇形的面积教案

这是一份初中数学9 弧长及扇形的面积教案，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程.
2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题.
3.经历探索弧长公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力.
4.通过探究活动，体会数学源于生活而服务于生活，渗透“用数学”的理念和转化的数学思想.
二、教学重难点
重点：理解并掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式.
难点：应用弧长计算公式及扇形面积计算公式解决问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设
情境
【复习回顾】
教师活动：提出问题，学生思考后，回答问题.
问题1：如图，已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？面积是多少？
预设：
周长：C=2πR
面积：S=πR²
问题2：什么叫圆心角？什么叫弧？
预设：
顶点在圆心的角叫圆心角，如∠AOB.
圆上任意两点间的部分叫做弧，如.
【情境导入】
如图，在田径200米跑步比赛中，每位运动员的起跑位置不同，你知道为什么吗？
预设：保证两个跑道的弯道“展直长度”是一样的.
追问：怎样计算弯道的“展直长度”？
学生思考并回答问题
思考问题并尝试回答
通过复习旧知，为新知的学习做知识铺垫.
创设情境，引出新课，激发学习兴趣.
环节二
探究
新知
教师活动：引导学生通过解决实际问题，探究圆中的弧长和扇形面积的计算方法.
【探究】
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?
预设：
转动轮转一周，传送带上的物品A被传送的距离等于转动轮的周长.
.
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?
预设：
.
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?
预设：
【归纳】
教师活动：引导学生归纳总结计算弧长的公式，并通过动画直观的展示，给学生深刻的印象.
(1) 圆的周长2πR可以看作360度的圆心角所对的弧．
(2) 1°的圆心角所对的弧长是．
(3) 2°的圆心角所对的弧长是．
(4) 3°的圆心角所对的弧长是．
(5) n°的圆心角所对的弧长是．
弧长的计算公式：
在半径为R的圆中，n°的弧的弧长计算公式为：

【延伸】
问题：弧长与哪些因素有关？

圆心角大小不变时，对应的弧长大小与半径有关，半径越大，弧长越大.
圆的半径不变时，对应的弧长大小与圆心角有关，圆心角越大，弧长越大.
【想一想】
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.
这只狗的最大活动区域有多大？
预设：以柱子为圆心，3m长的绳子为半径画圆，此圆的面积就是这只狗能活动的区域.

所以狗的最大活动区域有9πm².
提示：圆的面积=圆心角为360°的扇形面积
(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°，那么它的最大活动区域有多大？
预设：绕柱子转过n°，可以看成是圆心角为n°的扇形，它的面积等于圆面积的
所以狗此时的最大活动区域有m².
【归纳】
教师活动：引导学生归纳总结计算扇形的面积公式，体会从特殊到一般的思想.
(1) 圆的面积πR²可以看作360度的圆心角所对的扇形面积．
(2) 1°的圆心角所对的扇形面积是．
(3) 2°的圆心角所对的扇形面积是．
(4) 3°的圆心角所对的扇形面积是．
(5) n°的圆心角所对的扇形面积是．
扇形的面积公式
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形的面积计算公式为：
【思考】
比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？
预设：
用弧长表示扇形的面积计算公式为：

【延伸】
问题：扇形面积与哪些因素有关？

圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越大，扇形面积越大.
圆的半径不变时，对应的扇形面积与圆心角有关，圆心角越大，扇形面积越大.
理解题意，观看动画，思考并回答问题
观察动画、自主计算后，组内交流并反馈
与教师一起归纳总结
思考并与同学交流
自主计算后，组内交流并反馈
与教师一起归纳总结
比较两个公式，自主推导得到新公式，并反馈
通过生活中传送带的实例，让学生感受到传送的距离与圆的周长间的关系，从而初步感受到在半径一定时，圆心角的大小决定了弧长的长短，为探究圆中的弧长公式做知识的铺垫.
通过合作、计算、观察、归纳得到圆中的弧长公式，锻炼学生的逻辑思维，培养学生总结概括的能力.
以填空的形式让学生加深对弧长公式的理解，明确弧长与圆心角和半径的关系.
通过具体的生活情境，让学生感受到狗活动的区域与圆的面积间的关系，从而初步感受到在半径一定时，圆心角的大小决定了圆的面积的大小，为探究扇形的面积做知识的铺垫.
通过组内合作、计算、观察、归纳得到扇形面积计算公式，锻炼学生的逻辑思维，培养学生总结概括的能力.
引导学生知道这一公式与扇形面积公式和弧长公式之间的联系，也提供了一种计算扇形面积公式的方法.
进一步熟悉影响扇形面积的因素.
环节三
应用
新知
【典型例题】
教师活动：学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如下图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1 mm).
分析：要求管道的展直长度实际上求图纸上的中心线的长.
由图可知，R=40 mm，所对的圆心角为110°，利用弧长公式即可求出的长，即管道的展直长度.
解：R=40 mm，n=110，
所以的长==
≈76.8(mm).
因此，管道的展直长度约为76.8mm.
例2 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB=120°，求的长(结果精确到0.1m)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm²).
分析：根据弧长公式和扇形面积公式计算即可.
解：的长


因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm².
学生认真思考并作答，明确例题的做法.

通过例题，让学生学会运用弧长计算公式和扇形的面积公式解决问题，培养学生的应用意识，提高学生解决问题的能力.
环节四
巩固
新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【随堂练习】
1.已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，求该圆的半径.
解：设该圆的半径为R cm
由题意得：
解得：
答：该圆的半径为7.2cm.
2.如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12cm，其中油的部分油面高6cm，求截面上有油部分的面积(结果精确到0.1cm²).
解：如图，连接OA，OB，

由题意可知，OA=OB=OD=12cm，CD=6cm，OD⊥AB
∴OC=OD- CD=6cm
在Rt△AOC中，OC=6cm，OA=12cm
∴∠OAC=30°，AC=6cm，∠AOC=60°
∴∠AOB=2∠AOC=120°，AB=12 cm
∴截面上有油部分的面积
=S扇形AOB-S△AOB


3.如图，某田径场的周长(内圈)为400m，其中两个弯道内圈(半圆形)共长200m，直线段共长200m，而每条跑道宽约1m(共6条跑道).
(1)内圈弯道的半径为多少米？
(2)一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差多少米？(结果精确到0.1m).

解：(1)设内圈弯道的半径为r米，
由内圈的两个弯道共长200米，得2πr=200(米)
计算，得
答：内圈弯道的半径约为31.8米.
(2)设内圈弯道的半径为r米，则外圈弯道的半径为(r+6)米.
一个内圈弯道长πr米
一个外圈弯道长为π(r+6)米
所以π(r+6)-πr≈18.8(米)
答：一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差约18.8米.
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.
环节五
课堂
小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置
作业
教科书
习题3.11 第1、2、3题
课后完成练习
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.