《锐角三角函数》第1课时示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情景

【复习回顾】

教师活动：教师提出问题，学生思考后回答.

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°.

(1) 斜边=_____；

(2) ∠A的对边=_____；∠B的对边= _____；      　        　

(3) ∠A的邻边=_____ ；∠B的邻边=_____；

(4)

预设：（1）5 （2）3，4（3）4，3

【情境导入】

梯子是我们日常生活中常见的物体.那么我们怎么才能知道图中哪个梯子陡，哪个梯子缓呢？

回忆并尝试回答

自行判断后说一说理由.

复习巩固直角三角形中的对边、邻边和斜边，并通过创设情境从学生熟悉的梯子问题，引出新问题，为新课的学习做准备.

环节二

探究新知

【合作探究】

教师活动：引导学生从不同的情况，通过探究梯子的倾斜程度引出正切的概念.

介绍与梯子有关概念：

梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角.

从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度.

从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.

问题1：如图，梯子AB和EF哪个更陡些？你是怎样判断的？你有几种判断方法？

测量法：通过测量，观察发现倾斜角∠ABC＞∠EFD，所以梯子AB比梯子EF更陡.

叠合法：因为铅直高度AC＝ED，所以只要比较水平宽度BC和FD的长度即可．因为BC＜FD，所以梯子AB比梯子EF更陡.

比值法：梯子AB比梯子EF更陡.

探究的大小.

梯子AB比梯子EF更陡.

问题2：如图，梯子AB和EF哪个更陡些？你是怎样判断的？你有几种判断方法？

预设：观察发现度量的角度非常接近，且水平宽度和铅直高度都不同，所以测量法和叠合法都不适合.

比值法：

∴梯子EF比梯子AB更陡.

【想一想】

 如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB的倾斜程度.你同意他们的看法吗？

(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?

(2)

(3) 如果改变点B2在AB上的位置并保持B2C2⊥AC(垂足是点C2)呢？由此你能得出什么结论？

预设：

(1)∵∠A=∠A，∠AC1B1=∠AC2B2=90°，

∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.

(2)∵Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.

(3)如图，当B2在B3位置时，

∵∠A=∠A，

∠AC1B1=∠AC2B2=∠AC3B3=90°，

∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3.

.

结论：当∠A大小固定时，其对边与邻边的比值不变．

【归纳】

如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A ，即

注意：①tan A是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角(注意数形结合，构造直角三角形).

②tan A是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号(注意tan A不表示tan乘以A).

③tan A没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.

④tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.

【议一议】

你发现梯子的倾斜程度与tan A有怎样的关系?

总结：当锐角A变化时，相应的tan A的值越大，梯子越陡；反之，相应的tan A的值越小，梯子越平缓.

理解相关概念，并记住.

动手操作，思考交流讨论，尝试计算.

思考后，交流讨论，并尝试计算.

合作探究，交流讨论.

熟悉正切的概念及注意事项.

学生思考并积极回答问题.

通过介绍与梯子有关的概念知识，为接下来探究梯子的倾斜程度做好准备.

通过三种不同的判断方法，判断在铅直高度一定时，倾斜角越大的梯子越陡，并引出用比值法也可以来判定梯子的陡.

判断当铅直高度与水平宽度都不一样时，只能用比值法来判定，即用倾斜角的对边与邻边的比刻画梯子的倾斜程度.

通过想一想环节，当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形的大小无关.这是用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义正切的基础.

明确正切的概念及注意事项.

通过议一议活动，让学生进一步了解倾斜度与正切值之间的关系

环节三

应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例1如图，表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

分析：要判断自动扶梯哪个更陡，只需比较tan α和tan β 的大小.根据正切的定义，求出tan α和tan β的值，再比较两个值的大小.

解: 甲梯中，

乙梯中，

∵tan α＞tan β,           

∴甲梯更陡.

【延伸】

    正切也经常用来描述山坡的坡度.

如图，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度就是

相关概念：

1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角.

2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.

3.坡度越大，坡面越陡.

明确例题的做法

理解坡度的概念

通过例题的分析、解答，即检测了学生对正切的掌握情况，又让学生感受到正切的应用的乐趣！

补充坡度的概念，让学生理解坡度就是坡面的铅直高度与水平宽度的比，为后续的学习打下基础.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tan C 吗？

2.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山坡的坡度. (结果精确到0.001m)

3.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，求tan A的值．

答案：

1.解：由图可知，D为AC的中点，则DC=2.

2.解：由图可知，AB=200m，BC=55m.

答：山坡的坡度为0.286.

3.解：当∠C=90°，

     则

当∠A=90°，则BC为斜边，这种情况不成立；

当∠B=90°，

则

∴tan A的值为

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五

课堂小结

以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

回顾本节课所讲的内容

通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

环节六

布置作业

教科书第4页习题1.1  第2、4题.

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.