新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第26讲曲线系问题(教师版)

第26讲  曲线系问题

一、问题综述

利用“曲线系”解题，主要是为了简化解析几何中繁杂的计算，例如与单位圆相切的直线系可以设为

二、典例分析

类型1：直线合成二次曲线型

【例1】（2017年新课标卷）已知椭圆，四点，，，

中恰有三点在椭圆上.

（1）求的方程；

（2）设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点.

【解析】（1）略  

（2）由题可设斜率分别为，其中。

令曲线：，可表示为。

联立可以得到如下方程组

                        （其方程组的解为三点）

化简得         

进而

                 ，

解得        

  或  （即 点 或）

即 

： 恒过

类型2：过直线与曲线交点型

【例2】圆，；于。以为直径的圆过原点，求方程。

【解析】设以为直径的圆的方程为

（圆心）

由，上，那么代入可得

解得

或

进而

或

类型3：混搭型

【例3】在直角坐标系中,曲线与轴交于两点,点的坐标为. 当变化时,证明：过三点的圆在轴上截得的弦长为定值.

【解析】过与交点的曲线系可以设为

：

因为表示圆，且过则 

解得，

：

令可以求得弦长为

【方法小结】 此类问题关键点在于曲线系的设法。

三、巩固练习

1．设直线与椭圆交于两点，过两点的圆与交于另两点，则直线的斜率为（    ）

2． 圆过，且与相切与点。

（1）求圆的方程。

    （2）圆上两点关于对称，且以为直径的圆过，求直线的方程

3．（2016年全国联赛题）  如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点.以F为焦点，O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切.求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值.

4．椭圆，圆，过作圆的两条切线分别与椭圆交于，证明与圆相切。

四、巩固练习参考答案

1．解析：设，所以

，

则过四点的曲线系为

。

表示为圆，则系数相等，且无项。化简得

解得

2．解析： （1）设与相切与点的圆系方程为

又过，那么带入求得，所以所求圆的方程为

（2）易得过圆心，那么，进而设，考虑用曲线系

设过的曲线系方程为，

  过，且圆心在上，那么可得

进而求得或，所以所求方程为

或者

3．解析： 设抛物线为，那么，设由极点极线

，进而

那么至此，点满足，设与相切于点的圆系方程为

由与轴相切，那么令可得，那么

进而可得

，

由曲线系方程得圆的半径为，那么面积之和为

进而求得最小时，，进而求得，

4.解析    设，由相切得

进而求得

，

联立与

可以得到

由此