2023届新高考数学解析几何专题讲义 第23讲 曲线系问题

这是一份2023届新高考数学解析几何专题讲义 第23讲 曲线系问题

第23讲 曲线系问题问题综述利用“曲线系”解题，主要是为了简化解析几何中繁杂的计算，例如与单位圆相切的直线系可以设为二、典例分析类型1：直线合成二次曲线型【例1】（2017年新课标卷）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点.【解析】（1）略 （2）由题可设斜率分别为，其中。令曲线：，可表示为。联立可以得到如下方程组 （其方程组的解为三点）化简得 进而 ，解得 或 （即 点 或）即 ： 恒过 类型2：过直线与曲线交点型【例2】圆，；于。以为直径的圆过原点，求方程。【解析】设以为直径的圆的方程为（圆心）由，上，那么代入可得解得或进而或类型3：混搭型【例3】在直角坐标系中,曲线与轴交于两点,点的坐标为. 当变化时,证明：过三点的圆在轴上截得的弦长为定值.【解析】过与交点的曲线系可以设为：因为表示圆，且过则 解得，：令可以求得弦长为 【方法小结】 此类问题关键点在于曲线系的设法。三、巩固练习1．设直线与椭圆交于两点，过两点的圆与交于另两点，则直线的斜率为（ ） 2． 圆过，且与相切与点。（1）求圆的方程。 （2）圆上两点关于对称，且以为直径的圆过，求直线的方程3．（2016年全国联赛题） 如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点.以F为焦点，O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切.求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值. 4．椭圆，圆，过作圆的两条切线分别与椭圆交于，证明与圆相切。四、巩固练习参考答案1．解析：设，所以，则过四点的曲线系为。表示为圆，则系数相等，且无项。化简得解得2．解析： （1）设与相切与点的圆系方程为又过，那么带入求得，所以所求圆的方程为易得过圆心，那么，进而设，考虑用曲线系设过的曲线系方程为， 过，且圆心在上，那么可得进而求得或，所以所求方程为或者3．解析： 设抛物线为，那么，设由极点极线，进而那么至此，点满足，设与相切于点的圆系方程为由与轴相切，那么令可得，那么进而可得，由曲线系方程得圆的半径为，那么面积之和为进而求得最小时，，进而求得，4.解析 设，由相切得进而求得，联立与可以得到由此