新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第27讲圆锥曲线上四点共圆问题(教师版)

第27讲 圆锥曲线上四点共圆问题

一、问题综述

四点共圆问题本属于平面几何内容，是数学竞赛中的高频考点，近年来，圆锥曲线中的四点共圆问题也频繁出现在高考试题中.这类试题将圆锥曲线与四点共圆有机地结合在一起，重点考查数学运算能力和推理论证能力，由于问题综合性强，运算量打，大多考生望而生畏，或者在计算时半途而废.

    解决四点共圆问题，主要涉及的知识有（1）由圆的定义，利用圆心到圆上各点的距离相等; (2)利用相交弦定理  （3）利用圆的弦心距，半弦长和和半径构成直角三角形 （4）利用直径所对的圆周角为直角，既可以用勾股定理，也可以用斜率方法。当然，如果利用曲线系方程或者参数方程，则可减少计算量，甚至起到事半功倍的效果.

下面先用曲线系方程给出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的统一证明：

圆锥曲线上四点共圆定理1：

若两条直线与圆锥曲线有四个交点，则四个交点共圆的充要条件是

证明：两直线组成的曲线方程为，则过四个交点的曲线方程可设为  ①

必要性： 若四点共圆，则方程 ①表示圆，那么①式左边展开式中项的系数为零，即有 .

充分性：当时，令①式左边展开式中项的系数相等，得，联立解得，，将其代入①式，整理得   ②

下面参数方程给出圆锥曲线上四点共圆的另一个充要条件的统一证明：

圆锥曲线上四点共圆定理2：

若为有心圆锥曲线上四个不同的点，且直线与交于点，与的倾斜角分别为，则四点共圆的充要条件是

证明：设，则直线参数方程为（为参数），代入

整理得

则，同理得

因为四点共圆的充要条件是

所以

即

因为，所以，又，所以

而直线与相交，所以，由得

综上所述，四点共圆的充要条件是，

当直线与斜率均存在时，即直线与斜率互为相反数.

利用上述定理，则在选填中可以“秒杀”圆锥曲线上四点共圆的高考难题.下面不加证明地给出以下结论：

结论1  已知抛物线的焦点为点，过点的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相交于两点，则四点在同一圆上，则的方程为或

结论2若是标准圆锥曲线上的两点，线段的垂直平分线与该圆锥曲线相交于两点，则两点，则四点共圆的充要条件是或

结论3 若是标准圆锥曲线上的顺次四点，则四点共圆的充要条件是四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中直线中一对直线的倾斜角互补.

二、典例精析

例1.（2014全国大纲卷文数22理数21）已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)过的直线与相交于，两点，若的垂直平分线与相交于，两点，且四点在同一个圆上，求直线的方程.

解析：（1）设，代入中得，

所以，，由题设得，解得（舍去）或

所以的方程为.

（2）解法一：通法

依题意知直线与坐标轴不垂直，故可设直线的方程为，代入中得.

设，，则，. 故的中点为，

又的斜率为，且过的中点为，故直线的方程为：，

将上式代入中，并整理得

设，则，

故的中点为，.

由于垂直平分，故四点在同一个圆上等价于,从而

，即

化简得，

解得或，所以所求直线的方程为或.

解法二：曲线系方程

设点，，直线与的交点为，则，两式相减整理得

，即，从而

直线的方程为，直线的方程为，从而过四点的曲线系方程为

上述方程表示圆，则，的系数相等且的系数为零

则，得，，所求直线的方程为或.

解法三：参数方程

设点，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）

代入抛物线方程，整理得

设两点对应的参数分别为，则

由于是的垂直平分线，则的倾斜角为，则点对称的参数分别为，则

因为四点共圆，所以由相交弦定理得，即

解得，所以的方程为

即直线的方程为或.

【方法感悟】解法一中，的中点就是四点所在圆的圆心，故可将四点共圆的条件转化为圆心到四点的距离相等，从而得到，进而把问题转化为先求线段的中点、线段的中点的坐标以及和，这是解析几何中的常规问题，通常是联立方程组后结合韦达定理来处理，但计算量较大.

解法二利用曲线系，使得计算量大大地简化.  利用曲线系方程解决四点共圆问题的步骤如下：①找出两条直线，则两条直线上的四个点在某条曲线上.②找出过这四个点的曲线构造等式,③通过已知条件对比某些项的系数，从而求解出未知数.

解法三利用参数方程，并结合相交弦定理，让人耳目一新.

例2（武汉市2016届高中毕业生二月调研测试理数12题）设直线与椭圆交于两点，过点的圆与交于另外两点，则直线的斜率等于（    ）

1.        B.         C.          D.

解析：由定理知，故选B.

例3（2016四川文数21）已知椭圆：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，直线与椭圆交于，，证明：．

解析：（I）由已知，，又椭圆过点，故，解得.所以椭圆E的方程是.

(Ⅱ)解法一：常规方法

设直线的方程为，，

由方程组联立得   ①

方程①的判别式为，由，即，解得

由①得，

所以点坐标为，直线方程为

由方程组解得，

所以.

又

.

所以.

解法二：同解法一，求出直线方程为 

则易知直线的斜率互为相反数，由定理知四点共圆，

再由相交弦定理得

【方法感悟】（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用在椭圆上，可解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）解法一：首先设出直线方程为，同时设交点，把方程与椭圆方程联立后消去得的二次方程，利用根与系数关系，得，由求得（用表示），由方程具体地得出坐标，也可计算出，从而证得相等．解法二：利用圆锥曲线上四点共圆的充要条件，求出方程后，知直线的斜率互为相反数，于是四点共圆，再由相交弦定理得，这样减少了计算量。

例4. (2011全国大纲卷理21) 已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.

(I)证明：点在上；

(II)设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上.

【解析】(I),的方程为,代入并化简得

.                 

设,则

   由题意得

所以点的坐标为.

经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上

(II)解法一：

由和题设知，，的垂直平分线的方程为

.                        ①

设的中点为,则,的垂直平分线的方程为

.                       ②

由①、②得、的交点为.     

,

,

,

,

,

故     ,

又      , ,

所以    ,

由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上.

（II）解法二：

同理

所以互补，

因此、、、四点在同一圆上.

解法三:由(I）知道，因为三点共线，易求得直线的方程为，又直线的方程为，两直线斜率互为相反数，由定理知、、、四点在同一圆上.

【方法感悟】本题涉及到平面向量，有一定的综合性和计算量，完成有难度.方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用、两点的横坐标表示出来.从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点在上；

(II)此问题证明有两种思路：思路一：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心，然后证明到四个点、、、的距离相等即可.

思路二：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用到角公式.

思路三：运用关于圆锥曲线上四点共圆的充要条件的定理.

三．巩固练习

1. （2018届武昌5月调研理数12）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为(   )

1. 或   B.或     C.或    D.或

解析：依题意得A、B、C、D四点共圆，则，即解得，故选B.

2.设直线与抛物线交于两点，过的圆与抛物线交于另外两点，则直线的斜率

解析：依题意得A、B、C、D四点共圆，则，即

3（2002年高考广东、广西、江苏、河南卷理科第20题）设是双曲线上的两点，点是线段的中点.

(1)    求直线的方程；

(2)    如果线段的垂直平分线与双曲线相交于点两点，那么在同一个圆上，为什么?

解析：（1）由点差法知直线的方程为 （2）因为直线的方程为 ，则线段的垂直平分线的斜率为，两直线斜率互为相反数，由定理知四点在同一个圆上.

4（2005年湖北文数22）设、是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于、两点.

   （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得四点在同一个圆上？并说明理由.

解析：（1）的取值范围是，直线的方程为.

(2)直线的斜率为 ，则线段的垂直平分线的斜率为，两直线斜率互为相反数，由定理知对任意的，得四点在同一个圆上.