新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第28讲仿射变换(教师版)

第28讲  仿射变换

一、问题综述

设椭圆，作变换得单位圆，记点在变换下的对应点分别为，设直线和的斜率分别为（斜率存在且非零），和的面积分别为．

则变换有以下性质：

性质1：共线结合性，即；；．

性质2：或．

证明：．

性质3：线段中点变成线段中点．

性质4：直线与曲线的位置关系保持不变．

性质5：直线上线段成比例，则变成直线上对应的线段仍成比例．

性质6：或，

证明：因为，即证之．

性质7：设线段在伸缩变换下的像为，显然在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系，但是我们可以利用斜率的不变关系（性质2）寻找的关系：

即设线段所在直线斜率为，则．

二、典例分析

类型1：取值范围型

【例1】设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范围．

解析：令，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，

要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切．

由直线和圆相切的充要条件可知，即，

故得，

即，

解得．

【方法小结】转化到直线与圆相切，建立参数关系式，利用二次函数最值求解．

类型2：三角形面积最值型

【例2】若是椭圆上的三点，求面积的最大值．

解析：对椭圆做伸缩变换，椭圆就变成圆．

此时椭圆的内接就变成圆的内接，

而圆的内接三角形以内接正三角形面积最大，

从而的最大值是，

还原到椭圆中，由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可知，

的最大值是．

【例3】已知椭圆，面积为的椭圆内接四边形有（   ）．

A．个           　　　　　B．个      　　　　　   C．个     　        D．个

解析：对椭圆做伸缩变换，椭圆就变成圆，

此时相应的椭圆内接四边形就变成圆的内接四边形，

当椭圆的内接四边形的面积时，

其对应的圆内接四边形的面积就是，

由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为，

而这样的内接正方形有无数个，

还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个，

故选D．

【例4】（2014年高考全国新课标1卷理第20题）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

(Ⅰ)求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．

解析：（Ⅰ）椭圆的方程为．

（Ⅱ）由伸缩变换，椭圆（如下图）变成了单位圆，

变为，设直线的方程为．

原点到直线的距离为，

圆与直线相交，则需要满足，

从而易得，

则，

则

当且仅当，即时，，

此时直线的斜率为，

且．

又直线过点，

所以直线的方程为或．

【方法小结】对于求三角形面积和直线方程问题，可以用性质2和6求解．

类型3：四边形面积型

【例5】（2013年高考全国新课标2卷理科第20题）平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形的最大值．

解析： 在伸缩变换下，椭圆（如下图）变成圆，

（Ⅰ）由伸缩变换性质知，

又在椭圆中为的中点，则在单位圆中为的中点，

则，故，

即，

又因为直线过椭圆的右焦点，

则，于是，

则椭圆的方程为．

（Ⅱ）由知，则在单位圆中，

．

设与间的夹角为，则，

则，

又直线变换为直线，其方程为，

则到直线的距离，

则

又，

当为圆的直径时取等号，

由伸缩变换的性质知，

．

【方法小结】对于四边形面积问题，在单位圆中利用三角函数的有界性和性质6求解．

类型4：距离型

【例6】在椭圆上求一点，使它到直线的距离最短，并求此距离．

解析：作仿射变换，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，

从而所求问题变为：在圆上求一点到直线的距离的最短问题，

由平面几何知识可知，

过圆的圆心作直线的垂线段，交圆于点，

点到垂足的距离最短，由直线的垂线和圆相交，

解方程可求得点为，

则相应椭圆所求的点为，

所求最短距离为．

【方法小结】距离最短，转化为单位圆中的垂线段最短，联立方程后得到点的坐标，用点到直线的距离求解即可．

类型5：证明型

【例7】如图，椭圆（其中）与过点的直线有只且只有个公共点，且椭圆的离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设分别为椭圆的焦点，为线段的中点，求证：．

解析：

（Ⅰ）如下图

利用伸缩变换，椭圆上的点变换为圆上的点，因为切线的方程为，

所以切线的方程为，

由点到切线距离，

得，又，解得，

从而椭圆方程为．

（Ⅱ）由点可变换得，

因为，

所以．

由性质2可知，

在椭圆中易得，

从而，即，

又，从而，得．

【方法小结】用坐标伸缩变换将椭圆问题化作圆处理，解答过程完全退去了代数运算的成分，而是通过图形的几何性质进行解答，化繁为简，事半功倍

类型6：相切轨迹型

【例8】（2014年广东省数学高考理科试题第20题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线互相垂直，求点的轨迹方程．

解析：

（Ⅰ）

（Ⅱ）如图，

设点在伸缩变换下的像分别为，可知，

从而

，

直线与圆相切，设过点的圆的切线方程为，

即，

从而圆心到切线的距离为，即

，

根据韦达定理知，

，

化简得，

故点的轨迹方程为．

【方法小结】在单位圆中得到切线方程，用点到直线的距离建立二次方程，用韦达定理得到，即可求得轨迹方程为．

类型7：定值型

【例9】（2011年重庆卷理科第20题） 如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

解析：

（Ⅰ）所求椭圆的方程为

（Ⅱ）在伸缩变换的作用下（如下图）

椭圆变为圆：，

变为，

点变为点．

在圆中，由，知，

设，

即，因为，

所以，

两式平方相加，得，

即点的轨迹为圆，

由伸缩变换知，

在椭圆中，点的轨迹为椭圆，

所以存在两个定点，使得．

【方法小结】利用单位圆的参数方程得到点的轨迹为圆，通过伸缩变换得到点的轨迹为椭圆，所以存在两个定点，使得．

三、巩固练习

1.（2014年浙江省数学高考理科试题第21题）如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限．

（Ⅰ）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；

（Ⅱ）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线距离的最大值为．

2、（2011年江苏卷理科第18题）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．

（Ⅰ）当直线平分线段时，求的值；

（Ⅱ）当时，求点到直线的距离；

（Ⅲ）对任意，求证：．

3.（2013年山东高考理文科第22题）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长是2，离心率为．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)，是椭圆上满足三角形的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆于点.设，求实数的值.

参考答案：

1.第1小题的伸缩变换解法如下：

解析：（Ⅰ）如图，设切点，在伸缩变换的作用下，椭圆变换为圆，

椭圆上的点变换为圆上的点，

过点的切线变换为过点的切线，且，

由点在圆上得 ① ，

由得，

从而，

即，

代入①式可得点．

2.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略．

（Ⅲ）在伸缩变换的作用下，椭圆（如图）变成了单位圆，

变为，

在圆中，由，得

，

得，

得，

即，

即，故．

3. 解析：(Ⅰ)略

(Ⅱ)将椭圆伸缩变换成，

设分别对应于点，

考虑到

则

由，有

设，由于，

故

又，

故，

又为三角形内角，

故或，则或，

综上，或，

即，或．