新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第24讲蒙日圆及其证明和应用(教师版)

第24讲  蒙日圆及其证明和应用

高考题 （2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

答案：(1)；(2)．

这道高考题的背景就是蒙日圆．

普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G．Monge，1745-1818)作了介绍．以上高考题第(2)问的一般情形是

定理1  曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆．

定理1的结论中的圆就是蒙日圆．

先给出定理1的两种解析几何证法：

定理1的证法1  当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或．

当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设曲线的过点P的切线方程是．

由，得

由其判别式的值为0，得

因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以

     由此，得

进而可得欲证成立．

定理1的证法2  当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或．

当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设两个切点分别是．

得直线，切线．所以：

    因为点既在曲线上又在直线上，所以

所以                 

由此，可得

进而可得欲证成立．

再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理．

引理1  (椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示)．

证明  如图2所示，设为椭圆(其左、右焦点分别是)上任意给定的点，过点作的外角平分线所在的直线．先证明和相切于点，只要证明上异于的点都在椭圆的外部，即证：

图2

在直线上选取点，使，得≌，所以，还得

再过点作的平分线，易得，入射角等于反射角，这就证得了引理1成立．

引理2  过椭圆(其中心是点O，长半轴长是)的任一焦点F作椭圆的任意切线的垂线，设垂足是H，则．

证明  如图3所示，设点分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的切线上的切点，又设直线交于点．

图3

由引理1，得(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得≌，所以点H是FB的中点，得OH是的中位线．又，所以．

引理3  平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和．

证明  由余弦定理可证(这里略去过程)．

引理4  设点是矩形所在平面上一点，则．

证明  如图4所示，设矩形的中心是点．

图4

由引理3，可得

即欲证成立．

注  把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等．

定理1的证法3  可不妨设．当时，易证成立．下面只证明的情形．

如图5所示．设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是．

图5

连结，作，垂足分别是．过点作，垂足为，由引理2得．

再作于．记，得．

由Rt，得．

又作，垂足分别为．在Rt中，同理可得．

    (1)若，得矩形，所以

(2)若，得

由，得，所以．

同理，有，所以四边形是平行四边形，进而得四边形是矩形，所以．

    由(1),(2)得点P的轨迹方程是．

定理1的证法4  可不妨设．当时，易证成立．下面只证明的情形．

如图6所示．设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是，两切点分别为．

   分别作右焦点关于切线的对称点，由椭圆的光学性质可得三点共线(用反射角与入射角的余角相等)．同理，可得三点共线．

图6

由椭圆的定义，得，所以．

由是的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得

    (1)若，得，即三点共线．

又，所以，进而得

(2)若，得

所以．

同理，可得．所以三点共线．

得，即．

    由(1),(2)得点P的轨迹方程是．

定理1的证法5  (该证法只能证得纯粹性)

可不妨设．当时，易证成立．下面只证明的情形．

如图7所示，设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是，切点分别是．

设点关于直线的对称点分别为，直线与切线交于点，直线与切线交于点．

图7

得，再由椭圆的定义，得，所以．

因为四边形为矩形，所以由引理4得，所以，得点P的轨迹方程是．

读者还可用解析几何的方法证得以下结论：

定理2  (1)双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆；

(2)抛物线的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线．

定理3  (1)椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是；

(2)双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是．

定理4  过椭圆上任一点作椭圆的两条切线，则

(1)当时，所作的两条切线互相垂直；

(2)当时，所作的两条切线斜率之积是．

定理5  (1)椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是：

①当时，即圆(但要去掉四个点)；

②当且时，即椭圆(但要去掉四个点)；

③当时，即两条直线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)；

④当时，即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)；

⑤当时，即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)．

(2)双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是：

①当时，即圆；

②当时，即双曲线；

③当或时，即椭圆；

④当时，不存在．

(3)抛物线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是：

①当时，即直线；

②当时，的方程为．

    例  (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题)已知． 若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是_________．

    解  ．在图8中，若小圆(其圆心为点，半径为)的过点的两条切线互相垂直(切点分别为)，得正方形，所以，即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．

图8

由此结论可得：在本题中，点在圆上．所以本题的题意即直线与圆有公共点，进而可得答案．

注  本题的一般情形就是蒙日圆．

2．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，，其短轴上的一个端点到的距离为．

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线，交“准圆”于点，．

（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线，的方程并证明；

（ⅱ）求证：线段的长为定值并求该定值．

解：（1），，，

椭圆方程为，准圆方程为；

（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得．

因为直线与椭圆相切，所以△，解得，

所以直线、的方程为和；且，．

（ⅱ）①当直线，中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则，当时，与准圆交于点，和，，

此时为（或，显然直线，垂直；

同理可证当时，直线，垂直；

②当，斜率存在时，设点，，其中；

设经过点，与椭圆相切的直线为，

所以由，

得；

由△化简整理得，

因为，所以有；

设，的斜率分别为和，因为，与椭圆相切，

所以，满足上述方程，所以，即，垂直；

综合①②知：因为，经过点，，又分别交其准圆于点、，且， 垂直；

所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值．

3．已知椭圆，该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，若矩形的四条边都与该椭圆相切，求矩形面积的最大值．

解：（1）由题意可得：，，，

联立解得，，．椭圆的方程为．

（2）令，，当斜率为0或不存在时，可得．

当斜率存在且不为0时，设方程：．

代入椭圆方程可得：，

化为：，

与椭圆相切，可得△，

化为：，①

同理可得与椭圆相切，可得，化为：

．②

①②可得：．即点在以原点为圆心，为半径的圆上．

为以原点为圆心，为半径的圆的内接矩形，只有当为正方形时面积最大．

可得．

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4．(2019届永康5月模拟第17题)已知椭圆，若存在过点且互相垂直的直线，使得与椭圆均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是           ．

解：依据蒙日圆，椭圆相对应的蒙日圆为，只需点在圆外即可，

故，即，故椭圆的离心率范围是．

5．已知椭圆，为圆上的一个动点，过的切线于椭圆相切与两点，与圆相交于两点。求证：。

【解答】由得，则，由椭圆的垂径定理得经过的中点。又由蒙日圆性质可知，，所以。同理。

因此有，所以 ．

6.   已知椭圆的两条切线相互垂直，则从中心到切点弦的距离，与二切线交点到切点弦的距离之积为常数．

【解析】设两条垂直切线交于点，则由蒙日圆得点的轨迹方程为，切点弦的方程为，即，

则中心到切点弦的距离为，点到切点弦的距离为，

于是为常数．

7．已知点是椭圆两垂直切线的交点，点是椭圆上一点，过点的一条直线与点轨迹相交于，两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围为        ．

解：根据题意得点的轨迹为椭圆的蒙日圆，

其方程为，

于是,

可得，于是，

因存在点，可得，化简得，

又，所以．