新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第18讲范围与最值问题(教师版)

第18讲 范围与最值问题

一、问题综述

圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题，实质是探求运动变化中的特殊值或临界值，可以与函数、不等式等知识相结合。通常有两类：一类是有关角度、长度或面积的最值或取值范围问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值或取值范围问题。

二、典例分析

类型1：化折为直--圆锥曲线的定义转化法

【例1】抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（   ）

A．                   B．                  C．            D．

【解析】如图作出抛物线，点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义知 ，

则点到直线的距离与到点的距离之差

当、、三点共线时，由三角形三边之间的关系可知，

当点为射线与抛物线的交点时，

故选D

方法总结：化折为直--圆锥曲线的定义转化法

第一步  根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等；

第二步  利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件，进而求出最值．

          类型2：距离的最值与范围问题

【例2】求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．

【解析】

解法1切线法  设与直线平行，且与椭圆相切的直线为

将代入，得

所以 ，解得

当时，代入中得切点坐标为，此时

当时，代入中得切点坐标为，此时

解法2 参数法  设椭圆上的点， ，则点到直线的距离 （其中 ）

当时，得，即点，此时

当时，得，即点，此时

【方法总结】

1．切线法 

第一步  设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线，

第二步  切线方程与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且，求出的值，即可求出切线方程；

第三步  两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点．

2．参数法

  第一步  根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；

第二步  将目标函数表示成关于参数的函数；

第三步  把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法．

【例3】如图，已知抛物线，点， ，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为

（I）求直线斜率的取值范围；

（II）求的最大值．

【解析】（Ⅰ）设直线的斜率为 ,则

因为，所以直线斜率的取值范围是 。

（Ⅱ）联立直线与的方程得，

解得点的横坐标是

因为  |PA|=

|PQ|= ，

所以  

令         因为

所以 在区间 上单调递增，上单调递减，

因此当时，取得最大值

【方法总结】  函数法

第一步：把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；

第二步：通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法．

【例4】定长为的线段的两个端点在上移动，中点为，求点到轴的最短距离。

【解析】解法1 函数思想+基本不等式法

设，，中点，则

由得

即    （4）

由（2）（3）得

代入（4）得，所以，

，所以

当  即 时，此时

解法2抛物线定义+化折为直

如图，

所以 ， 即，

所以， 当经过焦点时取得最小值。

所以 点到轴的最短距离为

【方法总结】

（1）可直接利用抛物线设点，如设，，又设中点为用弦长公式及中点公式得出关于的函数表达式，再利用基本不等式或函数思想求出最短距离。

（2）到轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑到准线的距离，想到用定义法。

类型3：面积的最值问题

【例5】抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 ，两点．

 (1)若，求直线AB的斜率；

(2)设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．

【解析】(1)依题意知，设直线的方程为．

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得．设，，

所以， ①

因为，所以 ②

联立①和②，消去，得．

所以直线的斜率是．

(2) 原点关于点的对称点为，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于．因为，

所以当 时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．

【例6】已知抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，直线交抛物线于另一点，的最小值为．

（Ｉ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）记、的面积分别为，，求的最小值．

【解析】（Ⅰ）由已知及抛物线的几何性质可得＝4

           抛物线的方程为．                                 　　　　　　

（Ⅱ）设直线，  

  由

同理可得，从而，                                           

点到的距离

又=                                           

==

当且仅当，即时有最小值．     

【方法总结】

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

 （1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

 （2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

类型4：面积的取值范围

【例7】已知椭圆的左、右焦点分别是,离心率,过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程;

（2）若直线过椭圆的右焦点,且与轴不重合, 交椭圆于两点, 过点且与垂直的直线与圆交于两点, 求四边形面积的取值范围．

【解析】（1）略

（2）当直线与轴不垂直时, 设的方程 ,

由,得,则

,

,过点且与垂直的直线,

圆心到的距离是,所以．

故四边形面积．

可得当与轴不垂直时, 四边形面积的取值范围为．

当与轴垂直时, 其方程为,四边形面积为,

综上, 四边形面积的取值范围为．

【例8】如图，已知直线，，分别与抛物线交于点，，，与轴的正半轴分别交于点，，，且，直线方程为．

　（Ⅰ）设直线，的斜率分别为，，求证：；

（Ⅱ）求的取值范围．

【解析】（Ⅰ）联立，解得，由图象可知，  

易知，由题意可设，

∴  （），，所以，故．                                        

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，

 联立，得，

同理，得   

设点到的距离为，点到的距离为，

∴ ，

所 以

因为 ，所以的取值范围是．               

类型5：斜率的取值范围

【例9】若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围．

【解析】

解法1：当时，显然满足．

当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，

且的中点为，则，又，．

中点在直线上，，于是．

中点在抛物线区域内

，即，解得．

综上可知，所求实数的取值范围是．

解法2：当时，显然满足．

当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，

且的中点为，设直线的方程为

直线与抛物线联立得

   ①

所以 ，，

所以，由点在直线上，得

，即  ②

②代入①得，解得．

综上可知，所求实数的取值范围是．

【方法总结】

解法1：利用抛物线上存在不同的两点的中点在不等式所表示的区域内，建立不等式，从而得到结果．

解法2：利用直线与抛物线联立，转化为一元方程根的个数，利用判别式建立不等式．

类型6：向量的数量积的取值范围

【例10】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线相交于， 两点．设

直线是抛物线的切线，且，为上一点，则的最小值为_____．[来源:学#

【解析】设：，代入抛物线方程，得，

因为与抛物线相切，所以，解得，

所以：．由抛物线的方程，知，所以：．

设，由，得，

所以，

所以．设，则 ， ，

所以，

所以的最小值为 ．

【方法总结】

在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；

(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

三、巩固练习

1．已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上动点，则的最小值

为       ．

2． 是椭圆的右焦点，为椭圆内一定点，为椭圆上一动点，则的最小值

为        ．

3．已知是椭圆的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为          

4．设双曲线的左右焦点分别为、，过的直线交双曲线左支于、，则的最小值为________．

5．设实数、满足，若，则的最小值为________．

6．在平面直角坐标系中，是椭圆上动点，则的最大值是________．

7．设，求的最大值，并求取得最值时的值．

8．如图，设椭圆的左右焦点为，上顶点为，点 关于对称，且

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知是过三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值．

9．已知点，在抛物线上，点是抛物线的焦点，线段的中点为

（1）若点的坐标为，且是的垂心，求直线的方程；

（2）若点是直线上的动点，且，求的最小值；

10．对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，是椭圆的两条切线，则切点所在直线的方程是．利用此结论解答下列问题：

已知椭圆和点，过点作椭圆的两条切线，切点是，记点到直线（是坐标原点）的距离是．

（1）当时，求线段的长；

（2）求的最大值． 

11．如图，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为左焦点，分别为的右顶点，上顶点，且， ．

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点做斜率为的直线，交于两点，求四边形面积的最大值． 

12．已知点在抛物线上，过作圆 的切线，且切线段长最短为．

（Ｉ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设点，（为正常数），直线，分别交抛物线于、两点，求面积取最小值时点的坐标．

13．已知椭圆两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，求与的面积之差的绝对值的最大值．（为坐标原点）

14．已知抛物线内有一点，过的两条直线分别与抛物线交于和两点，且满足，已知线段的中点为，直线的斜率为

（1）求证：点的横坐标为定值；

（2）如果，点的纵坐标小于，求的面积的最大值

15．如图所示，已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两点，线段的中垂线交轴于点，若．

（1）求点的坐标；

（2）求面积的最大值．

16．过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，抛物线在、处的切线交于．

   （1）求证：；

   （2）设，当时，求的面积的最小值．

17．已知抛物线，是其焦点，是上异于原点的点，过作的切线与的准线的准线相交于，点满足，

（1）求证：，

（2）设直线与抛物线相交于两点，求面积的取值范围．

18．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．

（1）当时，求的面积；

（2）当时，求的取值范围．

19．设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．

20．已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是 (   )

（A）    （B）   （C）     （D）

巩固练习答案

1．答案

解：设双曲线右焦点为，由双曲线的定义知，，则所以

2．解：（1）答案 

  设另一焦点为，则连，

当是的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为。

3．答案：4

解法：（利用椭圆定义转化）

由，已知点在椭圆内部，的周长

==

当三点、、共线且点在线段上时，周长最小，此时直线的方程为：

与椭圆联立得，此时，

4．答案：

解法：根据双曲线定义，，所以

所以

易知当垂直于轴时，，所以的最小值为

5．答案：2

解法：（数形结合）

由设,则

易知为上焦点在椭圆内，在椭圆外，所以当运动到三点共线时候最小，

6．答案：

解：设点，，则

当时，

7．答案：当时，

解：点，，

则

当时，此时，

8．答案：（1）   （2）

解：（1）由已知条件可得 ，即

（2）由（1）可知为正三角形， ，解得

过三点的圆为 ，即点在圆为上

因为圆心到直线距离为

故该圆与直线相切，所以点到直线距离的最大值为

9．解：（Ⅰ）由题意思，则，

因为是的垂心，所以，则

设直线的方程为，联立抛物线，得

则由

由题意由，即-化简得．

化简得，故，解得

经检验满足题意，不符合题意．

故直线的方程．

（Ⅱ）显然要使的最小，必须垂直于直线，

 分别过点作垂直于直线，

等号成立当且当直线过焦点，且直线轴．因此的最小值为．

10．答案：（1）    （2）

解：（1）因为点，直线的方程是： ，当时，直线的方程是，此时

（2）由（1）知直线的方程是：，直线的方程是，

，设，

则，另

所以，令，

则，

所以当时，即时，有最大值为．

11．解（1）

（2）直线：，设到直线的距离分别为

将直线代入椭圆得 或

由， 得

直线的方程为

，

当且仅当时取等号，所以当时，四边形 的面积取得最大值 ．

12解：（1）因为，

所以，即       所以抛物线的方程是

（2）设，

设，代入，得，则

同理可得，

又，所以

到直线的距离是

所以

＝

设，则

所以当单调递减，

当单调递增

所以当取到最小值，同理

所以当时，取得最小值，

此时

13．答案（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为．

解（Ⅰ）由题意得，又，则，所以．

又，故椭圆的方程为．

（Ⅱ）设的面积为，的面积为．

当直线斜率不存在时，直线方程为，此时不妨设，，且，面积相等，．

当直线斜率存在时，设直线方程为，设，，

和椭圆方程联立得，消掉得．

显然，方程有根，且．

此时．

因为，所以上式（时等号成立）．

所以的最大值为．

14．解析：（1）设中点为，则由 可推得 ，这说明， 且和三点共线

对使用点差法，可得

即，同理，于是

即轴，所以为定值

（2）由得到，设，联立，

得

所以

于是，当时，有最大值

15解：（Ⅰ）因为，

设，

所以，即

设直线的方程是：，

代入得，，

所以，故，因为，所以中点坐标为

又因为的中垂线方程是，令，得，

（Ⅱ）因为中点在直线上

所以，且，解得

所以

令，，则，

设，则，

易得，在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以

16．答案：（1）详见解析；（2）

解：（1）设，，把抛物线看成函数求导得，

     则：即，：

     解得，所以，所以．

     设：与抛物线联立得：，所以，，

     从而，所以，所以；

（2）由（1）得，，，，

     因为，所以，，所以，

     ，所以．

     ，因为，所以点到直线的    

     距离，所以，

     令，则有，所以．

17．解：（1）设，则点处的切线方程为

令，则，故

从而

所以，所以．

（2）由（1）可知直线的方程为，代入抛物线方程

得，设，则

因为， 所以，，所以．

18．解（1）

（2）由题意，，．

将直线的方程代入得．

由得，故

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由得，即．

当时上式不成立，

因此．等价于，

即．由此得，或，解得．

因此的取值范围是．

19．答案：（Ⅰ）（Ⅱ）

解：（1）

（2）设直线的斜率为（），则直线的方程为．设，

由方程组，消去，整理得．

解得，或，由题意得，从而．

由（Ⅰ）知，，设，有，．

由，得，所以，解得．

因此直线的方程为．

设，由方程组消去，解得．

在中，，即，

化简得，即，解得或．

20．答案 A．

解析：由题知及，

所以，解得．