新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第25讲调和点列-极点极线(教师版)

第25讲  调和点列—极点极线

一、问题综述

（一）概念明晰（系列概念）：

1.调和点列：如图，在直线上有两基点，则在上存在两点到两点的距离比值为定值，即

，则称顺序点列四点构成调和点列（易得调和关系）。

同理，也可以为基点，则顺序点列四点仍构成调和点列。所以称和称为调和共轭。

2.调和线束：如图，若构成调和点列，为直线外任意一点，则直线称为调

和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点仍构成调和点列。

3.阿波罗尼斯圆：如图，为平面中两定点，则满足 的点的轨迹为圆，互为反

演点。由调和点列定义可知，圆与直线交点满足四点构成调和点列。

5.极点极线：如图，互为阿圆反演点，则过作直线垂直，则称为的极点， 为的极线.

6.极点极线推广（二次曲线的极点极线）：

（1）.二次曲线极点对应的极线为

（半代半不代）

（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程

①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为

则极线为切点弦；

②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，

则极线为切线；

③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，

分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线；

（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.

（二）重要性质

性质1：调和点列的几种表示形式

如图，若四点构成调和点列，则有

性质2：调和点列与极点极线

如图，过极点作任意直线，与椭圆及极线交点则点成调和点列（可由阿圆推广）

性质3：极点极线配极原则

若点的极线通过另一点，则的极线也通过．一般称、互为共轭点．

推广：如图，过极点作两条任意直线，与椭圆分别交于点，则的交点必在极线上，反

之也成立。

二、典例分析

类型1：客观题中结论的直接运用

例1（2013•山东）过点作圆的两条切线，切点分别为、则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

解析：直线是点对应的极线，则方程为，即．故选A．

例2（2010•湖北）已知椭圆的两个焦点，点满足，则

的取值范围为       ，直线与椭圆的公共点个数是        ．

解析：由题知，点在椭圆内部且与原点不重合．则当点在线段上除原点时，，当在椭圆上时，，则的取值范围为．

点和直线恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点在椭圆内，所以极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为0．

点评：因客观题不需要严格证明，所以一些高观点的运用，往往能达到秒解的效果，从这两个高考题也可看出，用普通方法也可解出结果，但用极点极线理论基本秒解，这就拉开了尖子生和普通生的差距，达到了高考选拔人才的功能。

类型2：解答题中高观点分析

——记2010年江苏卷一题多解（硬解/整体代换/仿射变换/调和点列/曲线系/极点极线）

例3（2010江苏18）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点（）的直线与椭圆分别交于点，，其中,.

（1）设动点P满足, 求点P的轨迹；

（2）设，求点的坐标；

（3）设,求证：直线必过轴上的一定点.（其坐标与无关）

解析：方法一（高考标准答案1）：

直线，直线，设，

联立与椭圆，则

得，即，同理★

处理一（特殊+验证）：

当（垂直轴），解得，方程为，过定点；

当，，及三点共线，即过定

点

处理二（硬解直线方程）：由★得方程为： ，

令，解得，即过定点

方法二（多元未知数整体处理 此法适用于过椭圆两顶点问题）：

直线，直线，设，

带入直线消去得 ①

由椭圆可得：，即 ，带入①得

，即②，①可变形（取倒）为③

（②+③）/3得：（对比直线两点式或与（1，0）斜率），即过定点

方法三（伸缩（仿射）变换+调和点列）：

补充知识.（1）放射变换为另一专题

（2）如图，在中，三条高交于点，高的垂足交于，则成调和点列，即

本题证明：

如图，可将椭圆伸缩变换为，因为，则为高的交点，

由上述性质运用知成调和点列，即，设 ，则，解得，即过

定点

方法四（二次曲线系）：

补充：二次曲线系性质：若三个二次曲线系 过4个相同的点，则一定存在两实数

，使得.（可根据六个单项式系数关系求解问题）

本题证明：如图，本题过四点的二次曲线有

抛物线；

直线和；

直线和直线

所以，观察与的系数有

，则，所以，则过定点

方法五（极点极线）：

补充：性质3

本题证明（利用性质3）：如图，点的轨迹方程为，

即，又交点在上，由性质2知，

为极点, 为对应的极线，即交点为，

即过定点

点评：2010年江苏高考题被公认为史上最难高考之一，又一次把葛军老师推向风口浪尖，此题官方解答

为常规解法，看似简洁，其实其中计算量很大，据说当年没有考生在考场上将此题拿到满分，难度可想而

知，但通过高观点（仿射变换/调和点列/二次曲线系/极点极线）分析，我们会发现原来如此“简单”（直

接是结论的考察），所以在平时教学中渗透高观点下的解题思路十分必要，特别是对尖子生的培养。

三、巩固练习

1.已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，

直线过定点，该定点的坐标是．

2．（2014•辽宁）已知点在抛物线的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点

，记的焦点，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

3.（2011•希望杯）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为         ．

4.（2009•安徽）已知点在椭圆上，，，

直线与直线垂直，为坐标原点，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为．

（I）证明: 点 是椭圆与直线的唯一交点；        

（II）证明:构成等比数列.

5.（2011•四川）椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于、两点，并与轴交于点．直线与直线交于点．

（1）当时，求直线的方程；

6.（2008•安徽）设椭圆过点，且左焦点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足

，证明：点总在某定直线上． 

参考答案

1. 解析：设点的坐标是，则切点弦的方程为，化简得

，令，可得，故直线过定点．

2．解析：由题知，，则抛物线方程为，设过点作直线与抛物线相切与另一

点，则经过这两个切点的连线就是点对应的极线，其方程是。由于点

在抛物线的准线上，则焦点在点的极线上，三点共线，故选D．

3.解析：设，易知的极线方程为，即可得弦必过，易得圆上，过的最短的弦长为．

4. 分析：（Ⅰ）由题知，与直线是椭圆的一对极点极线，则直线与椭圆相切，点为切点，

6.解析：（1）由题意得，解得，所求椭圆方程为．

（2）解法：已知，说明点关于椭圆调和共轭，根据定理3，点在点对应的极线上，此极线方程为，化简得．故点总在直线．