新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第20讲双曲线的离心率问题(教师版)

第20讲  双曲线的离心率问题

离心率是圆锥曲线的一个特别重要的性质，求离心率的值或者取值范围是解析几何中的重点，难点，也是高考中考查的高频考点。圆锥曲线的诸多性质都与离心率息息相关，离心率的变化直接导致圆锥曲线的类型与形状的变化，它也是圆锥曲线统一定义中三要素之一。求解圆锥曲线离心率，可以直接利用定义，方程思想或者几何性质

一：利用渐近线与离心率的关系求解

例1：双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率

为       。

解析：依题意可知，所以

        例2：是双曲线的一个焦点，过且与一条渐近线平行的直线与双曲线交于点，与轴交于点,若，求双曲线的离心率      

解析：设直线与渐近线平行，则有，令得，又，所以，因为在双曲线上，故代入得，即

        例3：是双曲线的一个焦点，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线一条渐近线垂直，那么该双曲线的离心率为      

解析：设双曲线的方程为，则渐近线，又，所以

      因为直线与渐近线垂直，所以，所以，即，所以

点评：双曲线的渐近线出现的形式，与离心率的值相关，将其转化为，求得其离心率

二：焦点三角形求解离心率

    例4：设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限交于点,,若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为      

解析：如图：

     设,则

     可得 ,,所以

例5：设为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，且满足，则该双曲线的离心率为      

解析：由焦点三角形面积公式：，可得，即

      所以双曲线的离心率

点评：在焦点三角形中，对于椭圆，对于双曲线 （其中 ）

三：不等式求离心率取值范围

例6：双曲线的焦距为，直线过点和，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，求双曲线离心率的取值范围      

解析：直线的方程为，点到直线的距离与点到直线的距离之和，即为原点到直线距离的倍，，由，得，即，于是，所以的取值范围：

例7：已知点在双曲线的右支上，为左右焦点，，求双曲线离心率的取值范围     

解析：，由均值不等式可知：当且仅当时取得最小值，又，所以，则

四：存在性问题

例8：已知双曲线的右顶点为,抛物线的焦点为，若的渐近线上存在点使得,则双曲线的离心率取值范围是     

解析：双曲线的右顶点为

抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为：

设点,即有，,由,所以

即，,即，所以

例9：已知点在双曲线的右支上，为左右焦点，,若，则该双曲线离心率的取值范围是     

解析：由，

在中，由正弦定理得：

可得，又,联立可得，即

又,化简可得,即，解得

五：双曲线与圆综合

例10：已知双曲线与圆没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是     

解析：由双曲线和圆的对称性可知：

      则

例11：已知双曲线的右焦点，其渐近线与圆有公共点，则双曲线离心率的取值范围为     

解析：双曲线渐近线方程为

      圆的圆心为，半径

      其渐近线与圆有公共点，可得

      ,即有

      可得

      所以

巩固练习:

 1.点在双曲线的右支上，为双曲线的左右焦点,求双曲线离心率的取值范围     

2.设，则双曲线离心率的取值范围为     

3.已知双曲线存在两点关于对称，求该双曲线离心率取值范围     

4.已知分别是双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，线段的垂直平分线过坐标原点,若，则双曲线的离心率为     

 5.已知分别是双曲线的左右焦点，双曲线上存在，，则此双曲线离心率的取值范围是     

6.已知分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于，若点在以为直径的圆外，则双曲线的取值范围是     

参考答案:

1.由双曲线定义：，又,所以，由

三角形性质：，得，即

2.由题意得：，由

得，所以

3.设，弦的中点为，由点差法求得，当点

在双曲线内部时，，整理得，无解；当点

在双曲线外部时，点应在两渐近线相交的上下区域内，由线性规划可知，即，则，所以

4.,由双曲线定义：,可得，如图

垂直平分,则，可得，即为.即

5.由为的中线，可得,由,可得

,由，，可得

6.设,双曲线的渐近线为，过点与双曲线一条渐近线平行的直线方程为，联立渐近线方程，可得，点在以线段为直径的圆外，可得，即有