初中数学人教版七年级下册5.1.1 相交线教案及反思

这是一份初中数学人教版七年级下册5.1.1 相交线教案及反思，共23页。教案主要包含了知识梳理，课堂精讲，课堂练习，课后巩固练习等内容，欢迎下载使用。

考点1 邻补角与对顶角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
要点诠释：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.
2. 对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
要点诠释：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：
①相等的两个角；
②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
3. 邻补角与对顶角对比：
考点2 垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．

要点诠释：
(1)记法：直线a与b垂直，记作：；
直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
要点诠释：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
要点诠释：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
要点诠释：
点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
考点3 同位角、内错角、同旁内角的概念
1. “三线八角”模型
如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.
图1

要点诠释：
⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．
⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．
2. 同位角、内错角、同旁内角的定义
在“三线八角”中，如上图1，
（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.
（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.
（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.
要点诠释：
(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.
(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
考点4 同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征
要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：
(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.
(2)借助方位来识别
根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．

二、课堂精讲：
（一）对顶角和邻补角的概念与性质
例1．（1）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3

（2）已知∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，那么∠1与∠3的关系是（ ）.
A、对顶角 B、相等但不是对顶角 C、邻补角 D、互补但不是邻补角
【随堂演练一】【A类】
1、下列语句错误的有（ ）个.
（1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角
（2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
（3）如果两个角相等，那么这两个角互补
（4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
A、1 B、2 C、3 D、4
2、如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝∠2．则∠1的对顶角是_____，∠4的邻补角是______．∠2的补角是_________．

【B类】
3、如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线。
4、如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求．
（二）垂线
例2．（1）下列语句：其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。
②一条直线的垂线有无数条。
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。
（2）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：
①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；
②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。
【随堂演练二】【A类】
1、下列说法中正确的是（ ）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线。
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。
C．互相垂直的两条直线一定相交。
D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm。
2、点到直线的距离是指这点到这条直线的（ ）
A、垂线段 B、垂线的长 C、长度 D、垂线段的长
3、如图，∠1=30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．

【B类】
4、如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.
（三）同位角、内错角、同旁内角的辨别
例3．如图，
(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角?
(2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？
(3)∠B和∠E是同位角吗?为什么?

【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析.
【随堂演练三】【A类】
1、下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然.
【B类】
2、如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？
3、分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.
三．小结：
1、对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
2、如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
3、如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
4、两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
5、两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直；垂线的性质：⑴过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短。
6、在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析．
四、课堂练习
1、已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数.
2、如图，107国道上有一个出口M，想在附近公路旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？
3、直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝40°，求∠BOD的度数
4、如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角．
五、课后巩固练习
【A类】
一、选择题
1． a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（ ）
A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个
C．1个或2个D．都不对
2．下列说法正确的有 ( )
①因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2；
②因为∠1与∠2是邻补角，所以∠1＝∠2；
③因为∠1和∠2不是对顶角，所以∠1≠∠2；
④因为∠1和∠2不是邻补角，所以∠1+∠2≠180°．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，∠PQR＝138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT等于（ ）
A．42° B．64° C．48° D．24°
4．已知关于距离的四种说法： ①连结两点的线段长度叫做两点间的距离；
②连结直线外的点和直线上的点的线段叫做点到直线的距离；
③以直线外一点所引的这条直线的垂线叫做点到直线的距离；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离．
其中正确命题的个数 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D． 3个
5. 已知图（1）—（4）：





在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（ ）.
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（1）
6.如图，下列结论正确的是（ ）.
A．∠5与∠2是对顶角； B．∠1与∠3是同位角；
C．∠2与∠3是同旁内角；D．∠1与∠2是同旁内角.
7.在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是 （ ）.

【B类】
1．如图，直线AD、BC被直线AC所截，则∠1和∠2是( ).
A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角
2．如图，能与构成同位角的有( ).
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．如图，下列说法错误的是( ).
①∠1和∠3是同位角； ②∠1和∠5是同位角；
③∠1和∠2是同旁内角； ④∠1和∠4是内错角.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4.如图，∠1和∠2是内错角，可看成是由直线( )．
A.AD，BC被AC所截构成 B.AB，CD被AC所截构成
C.AB，CD被AD所截构成 D.AB，CD被BC所截构成
5.如图所示，OA⊥OB，OC⊥OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=17°．求∠AOC的度数．
【C类】
1、如图，

(1)∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角；
(2)∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；
(3)∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；
(4)∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线 所截得的________角；
(5)∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线 所截得的________角．
2.如图，已知A、O、B三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE分别是∠AOC，
∠BOC的平分线．
(1)判断OD与OE的位置关系；
(2)当∠AOC大小发生变化时，OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则OD与OE的位置关系是否改变? 请说明理由．
第一讲 相交线【答案】
例1.（1）B
（2）A
【随堂演练一】
1、C
2、∠3；∠1或∠3；∠EOB或∠4
3、解：∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义）。
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代换）。
∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），
∴ OM和ON共线。
4、解：设∠1＝x，则∠2＝4x．
∵ OE平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x．
∵ ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴ x＝30°．
∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴ ∠COE＝150°．
又∵ OF平分∠COE，∴ ∠COF＝∠COE＝75°．
∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．
例2．（1）①②
（2）D
【随堂演练二】
1、D
2、D
3、解：由题意得：
∠3=∠1=30°（对顶角相等）
∵AB⊥CD（已知）
∴∠BOD=90°（垂直的定义）
∴∠3+∠2=90°
即30°+∠2=90°
∴∠2=60°
4、解：如图，
∵OM平分∠AOB
∴∠1=∠2
又∵OM ⊥ON
∴∠3=90°－∠2
由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3
=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2
∴∠3=∠4
∴ ON平分∠BOC
例3．解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角；
（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；
（3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角.
【随堂演练三】
1、C
2、解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3；
内错角：∠2与∠3，∠4与∠1；
同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4.
3、解： 同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD；
内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE；
同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE．
四、课堂练习
1、【答案与解析】
解：∵a⊥b,
∴∠2＝∠1＝90°.
又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°,
又∠3与∠4互为邻补角，
所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°.
所以∠4＝135°.
2、【答案与解析】
解：如图，过点M作MN⊥，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.
3、【答案与解析】
解：分两种情况.
第一种：如图1，直线AB，CD相交后，∠BOD是锐角，
∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°.
∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝50°.
∵∠BOD＝∠AOC ∴∠BOD＝50°
第二种：如图2，直线AB、CD相交后，∠BOD是钝角，
∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°.
∵∠COE＝40°,
∴∠AOC＝90°+40°＝130°，
∴∠BOD＝∠AOC＝130°.
4、【答案】
证明：因为∠AOC+∠COB＝180°(平角定义)，
又因为∠AOC＝∠BOD(已知)，
所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°．
所以C、O、D三点在一条直线上(平角定义)，
即直线AB、CD相交于点O，
所以∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角定义)．
提示：证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°
五、课后巩固练习
【A类】
1.B
2.B
3.A
4.B
5.C
6.D
7.D
【B类】
1.A
2.B
3.C
4.B
5.
解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵OE为∠BOD的平分线，∠BOE=17°，
∴∠BOD=2∠BOE=34°，
∴∠AOC=360°﹣90°﹣90°﹣34°=146°．
【C类】
1. (1)BD(或BC), 同位； (2)AC, 内错； (3)AB, AC, BC, 同旁内;
(4)AB， AC， BC，同位； (5)AB， CE， BC，同旁内．
2. 解：(1)OD⊥OE．
(2)不变，理由如下：
∵ OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴ ∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB．
∴ ∠DOE＝(∠AOC+∠COB)＝×180°＝90°，
∴ OD⊥OE．
课程目标
1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；
2.理解点到直线的距离的概念，掌握垂直的定义及性质；
3.了解“三线八角”模型特征；掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．
课程重点
能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.
课程难点
同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．
角的名称
特 征
性 质
相 同 点
不 同 点
对顶角
①两条直线相交形成的角
②有一个公共顶点；
③没有公共边.
对顶角相等.
①都是两条直线相交而成的角；
②都有一个公共顶点；
③都是成对出现的.
①有无公共边；
②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.
邻补角
①两条直线相交而成；
②有一个公共顶点；
③有一条公共边.
邻补角互补.