初中数学人教版七年级下册6.1 平方根教案

这是一份初中数学人教版七年级下册6.1 平方根教案，共17页。教案主要包含了知识梳理，课堂精讲，利用平方根或立方根解方程，平方根与立方根的综合应用等内容，欢迎下载使用。

要点一：平方根、算术平方根及立方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
3.立方根的定义
（1）如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
（2）立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
要点二：平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三：平方根及立方根的性质
平方根的性质：
立方根的性质：
要点诠释：立方根第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
要点四：平方根及立方根小数点位数移动规律
平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
平方根及立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
二、课堂精讲：
【典型例题】
类型一：平方根、算术平方根及立方根的概念
例1：（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．
（2）、下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4 B．是的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1 D．
【随堂演练1】
【变式1】已知2－1与－＋2是的两个不同的平方根，求的值.
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．一个数的立方根有两个B．一个非零数与它的立方根同号
C．若一个数有立方根，则它就有平方根D．一个数的立方根是非负数
【变式3】下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的立方是64B．0.1的立方根是0.001
C． 4的算术平方根是16D．9的平方根是±3
例2：为何值时，下列各式有意义？
； (2)； (3)； (4)．
【随堂演练2】
【变式1】已知，求的算术平方根．
类型二、平方根及立方根的运算
例3：求下列各式的值．
（1）； (2)． （3）
（4） （5） （6） （7）
【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【随堂演练3】
【变式1】计算：（1）______；（2）______；
（3）______．（4）______.
类型三、利用平方根或立方根解方程
例4：求下列各式中的.
（2）；
（3） （4）（x﹣2）3=﹣125．
【随堂演练4】
【变式1】求出下列各式中的：
（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；
（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．
【变式2】求下列等式中的：
（1）若，则＝______； （2），则＝______；
（3）若则＝______； （4）若，则＝______．
类型四、平方根与立方根的综合应用
例5：已知、是实数，且，解关于的方程．
【随堂演练5】
【变式1】若，求的值．
例6：（1）小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
（2）在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
【随堂演练6】
【变式1】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
【变式2】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)
三、课后作业：
【平方根——巩固练习A组】
一.选择题
1．下列说法中正确的有（ ）．
①只有正数才有平方根． ②是4的平方根． ③的平方根是．
④的算术平方根是． ⑤的平方根是．⑥ ．
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
2．若＝－4，则估计的值所在的范围是（ ）
A．1＜＜2 B. 2＜＜3 C. 3＜＜4 D. 4＜＜5
3. 试题下列说法中正确的是（ ）
A.4是8的算术平方根 B.16的平方根是4
C.是6的平方根 D.－没有平方根
4. 能使－3的平方根有意义的值是（ ）
A. ＞0 B. ＞3 C. ≥0 D. ≥3
5.若=a，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0或1 D．±1
6. 若，为实数，且|＋1|＋＝0，则的值是（ ）
A.0 B.1 C.－1 D.－2011
二.填空题
7. 若，则＝__________.
8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3和5的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 ________.
9. 下列各数：81，，1.44，，的平方根分别是_______________；算术平方根分别是_______________.
10．（1）的平方根是________；
（2）的平方根是________，算术平方根是________；
（3）的平方根是________，算术平方根是________；
（4）的平方根是________，算术平方根是________．
11．已知，求a﹣b= ．
12. 若，则____________.
三.解答题
13．为何值时，下列各式有意义？
（2） （3） （4）
14.已知：|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，求x+y+z值的平方根．
15.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简
【立方根——巩固练习B组】
一.选择题
1．下列结论正确的是（ ）
A．的立方根是B．没有立方根
C．有理数一定有立方根D．的立方根是－1
2．如果－是的立方根，则下列结论正确的是（ ）
A．－＝B．－＝C．＝D．＝
3.下列说法中正确的有（ ）个.
① 负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是
③如果，那么＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1．
A．1 B．2 C．3 D．4
4.是的平方根，是64的立方根，则＝（ ）
A. 3 B. 7 C.3，7 D. 1，7
5.的立方根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
6. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（ ）
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
二.填空题
7．中的的取值范围是______，中的的取值范围是______．
8．－8的立方根与的平方根的和是______．
9．若 则与的关系是______．
10．计算= ．
11. 如果那么的值是______．
12.若，则____________.
三.解答题
13.若和互为相反数，求的值.
14．已知5＋19的立方根是4，求2＋7的平方根．
15.已知M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．
答案解析
例1：（1）解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根为±3．
【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．
【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．
例1（2）【答案】D；【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同； .
随堂演练1：
【变式1答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2互为相反数.
解：当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，
所以＝
【变式2答案】B；提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.
【变式3答案】D.
例2：解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义．
(2)由题意可知：，所以时，有意义．
(3)由题意可知：解得：．所以时有意义．
(4)由题意可知：，解得且．
所以当且时，有意义．
【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．
随堂演练2 【变式1答案】 解：根据题意，得则，所以＝2，∴，
∴的算术平方根为．
例3：解：(1)；
(2)．
（3） （4） （5）

（6）

（7）

【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．
随堂演练3：【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.
例4：【答案与解析】
解：（1）∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴＋1＝±17
＝16或＝－18.
（3）∵
∴
∴
∴
（x﹣2）3=﹣125，
x﹣2=﹣5，
x=﹣3．
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
随堂演练4：【变式1】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．
【变式2】（1）±1.1；（2）±13；（3）；（4）±2.
例5： 解：∵、是实数，，，，∴，．∴－3，．把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6．
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．
随堂演练5：变式1：
解：由，得，，即，．
①当＝1，＝－1时，．
②当＝－1，＝－1时，．
例6：（1）解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得
. . .
∵ ＞0，∴ . ∴ 长方形纸片的长为.
∵ 50＞49, ∴.∴ , 即长方形纸片的长大于20.
由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.
（2）解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为，可列方程解得 ， 设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.
答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 .
【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.
【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.
随堂演练6：【变式1】解：设篮球场的宽为xm，那么长为m，由题意知，所以x2=225，因为x为正数，所以x==15，又因为=900＜1000，所以按规定在这块空地上建一个篮球场．
【变式2】【答案】 .
【平方根巩固练习A组】
一．选择题
1. 【答案】A；
【解析】只有②是正确的.
2. 【答案】B；
【解析】，所以2＜－4＜3 .
3. 【答案】C；
【解析】A.∵4是16的算术平方根，故选项A错误；B.∵16的平方根是±4，故选项B错误；C.∵是6的一个平方根，故选项C正确；D.当≤0时，－也有平方根，故选项D错误．
4. 【答案】D；
【解析】要使－3的平方根有意义，∴－3≥0，即≥3．
5. 【答案】C；
【解析】解：∵=a，
∴a≥0．
当a=0时，=a；
当0＜a＜1时，＞a；
当a=1时，=a；
当a＞时，＜a；
综上可知，若=a，则a的值为0或1．
故选C．
6. 【答案】C；
【解析】＋1＝0，－1＝0，解得＝－1；＝1．＝－1.
二.填空题
7. 【答案】1.02；
【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位.
8. 【答案】 ；
【解析】这个正方形的边长为.
9. 【答案】±9；±；±1.2；±；±3；9；；1.2；；3.
10.【答案】（1）±5；（2）±5；5；(3）±，||；（4）±（＋2）,| ＋2|；
【解析】.
11.【答案】－8；
【解析】解：根据题意得，a+3=0，b﹣5=0，
解得a=﹣3，b=5，
所以，a﹣b=﹣3﹣5=﹣8．
故答案为：﹣8．
12.【答案】；
【解析】，＝.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）2≥0，解得≥0；
（2）－≥0，解得≤0；
（3）解得为一切实数；
（4）－1≥0，解得≥1.
14.【解析】
解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，
∴，
解得x=1，y=2，z=3，
∴x+y+z=1+2+3=6，
∴x+y+z的平方根为．
15.【解析】根据
∵
∴原式＝－＋－(－)－(＋) ＝－＋－＋－－＝－－.
【立方根巩固练习B组】答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】 C；
【解析】的立方根是；的立方根是1. 一个非零数与它的立方根符号相同.
2. 【答案】A；
【解析】由题意.
3. 【答案】A；
【解析】只有①正确. 算术平方根等于立方根的数有0和1．
4. 【答案】D；
【解析】∵是的平方根，y是64的立方根，∴＝±3，＝4则＝3＋4＝7或＝－3＋4＝1.
5.【答案】A；
【解析】解：∵=﹣1，
∴的立方根是=﹣1，
故选A．
6. 【答案】B；
【解析】①负数有立方根；②一个实数的立方根是正数、0、负数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0．
二.填空题
7.【答案】任意实数；＝1;
【解析】开立方时被开方数可以为任意实数，第二题需1－≥0，－1≥0，
解得＝1.
8.【答案】1或－5；
【解析】注意＝9，9的平方根是±3.
9. 【答案】；
【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数.
10.【答案】；
【解析】解：，
故答案为：．
11.【答案】－343；
【解析】＋4＝64，＝60，－67＝－7，.
12.【答案】；
【解析】－1＝－2，＝－1.
三.解答题
13.【解析】
解：∵和互为相反数
∴＋＝0，
∴＝－，
∴＝，
∴2－1＝3－1, 2＝3，
∴＝.
14.【解析】
解：∵5＋19的立方根是4
∴5＋19，即64＝5＋19，解得＝9
∴2＋7＝25
∴2＋7的平方根＝.
15.【解析】
解：因为M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，
所以可得：m﹣4=2，2m﹣4n+3=3，
解得：m=6，n=3，
把m=6，n=3代入m+3=9，n﹣2=1，
所以可得M=3，N=1，
把M=3，N=1代入M﹣N=3﹣1=2．
课程目标
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
3. 了解立方根的含义；
4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
课程重点
会用根号表示数的平方根，并会用开方运算求某些非负数的平方根
课程难点
开方运算求某些非负数的平方根
教学方法建议
熟悉掌握概念，熟练各种题型变换