人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第2课时教学设计

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八年级第四讲“勾股定理的逆定理”.（第二课时）
［教学目标］
知识技能
1.理解并能证明勾股定理的逆定理；
2.掌握勾股定理逆定理，并能判定一个三角形是不是直角三角形.
数学思考
1.会用勾股定理解决简单的实际问题.
2.通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体会数形结合的思想.
解决问题
体会数形结合方法在解决问题中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题.
情感态度
1.学生通过适当训练，逐步体验数学说理的重要性.
2.在活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神.
[教学重点、难点]
重点：会用勾股定理解决简单的实际问题
难点：应用勾股定理解决简单的实际问题
[教学准备]
动画多媒体课件
第二课时
教学路径
师:上节课我们学习了勾股定理的逆定理，这节课我们继续探讨逆定理,重点学习一些解决几何问题的技巧和方法.
初步性问题
探究类型之四 勾股定理的逆定理与图形变换的综合运用
如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则
∠BE′C=___________度．
解析：
（每一个颜色代表一步）先动画将△ABE到△CBE′（第一步与蓝色的字一起出）
BE′=BE
△ABE绕点B △ABE≌△CBE′ CE′=AE BE′=2
顺时针旋转 BE=2 CE′=1
90°到△CBE′ AE=1
∠E′BE=90°
连接EE′ , (动画在图中作出)（下一步）
（下一步）（每一个颜色代表一步）
△EBE′中，∠E′BE=90° ∠BE′E=45°
B E′=BE=2 EE′= △CE′E为直角三角形
CE=3 ∠EE′C=90°
CE′=1
（最后突出黄色阴影部分，方法你自己决定）
答案：135
学生独立审题，思考由题中的条件都得到什么信息？
师：如何求角的度数，显然要先分析条件,请同学来说一说.
生：旋转的性质可得对应边相等，旋转角∠E′BE=90°，已知线段的长度，可知△EBE′等腰直角三角形，∠BE′E=45°，再由勾股定理的逆定理知△CE′E为直角三角形，∠EE′C=90°，也就是说我们把要求得角表示成了两个角的和.
3.师：求角的大小的方法也很多，很显然，我们是从条件出发，即综合法：由因导果，在解决问题时，我们也可以用分析法：执果索因，当然对于比较复杂的问题，我们可以综合法与分析法相结合来解决问题.
类似性问题
5.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作
∠PBQ=60°,且BQ=BP，连接CQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.
师：根据图示，我们不妨猜想AP=CQ， 数形结合是重要的数学解题方法.
学生独立证明想AP=CQ
解析：
（1）猜想AP=CQ，证明△ABP≌△CBQ.（下一步）
（2）猜想△PQC是直角三角形，利用勾股定理逆定理证明PQ2+QC2=PC2.
答案：解：
（1）AP=CQ，证明如下：
∵∠ABC=∠PBQ=60°,
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.
在△ABP和△CBQ中，
∵AB=CB，∠ABP=∠CBQ， BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ,
∴AP=CQ.（下一步）
（2）△PQC是直角三角形，证明如下：
由PA∶PB∶PC=3∶4∶5,
可设PA=3a,PB=4a,PC=5a,
由（1）知PA=CQ=3a.
∵PB=BQ且∠PBQ=60°,
∴△PBQ为正三角形，
∴PQ=4a.
∵在△PQC中， PQ+QC=16a+9a=25a=PC,
∴△PQC是直角三角形.
复习：
基本型：两个等腰三角形共顶角的顶点，且顶角相等（两个共顶角顶点且相似的等腰三角形），则有全等三角形.
初步性问题
探究类型之五 勾股定理的探究型问题
例5 在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时，△ABC为___________三角形；当△ABC三边长分别为6,8,11时，△ABC为_______三角形．
(2)猜想：当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，
△ABC为钝角三角形．
(3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
解析：
(1)利用勾股定理计算出两直角边长分别为6,8时的斜边的长.
（下一步）
（2）根据（1）的判断对应猜想；（下一步）
（3）先根据三角形三边关系确定出c的取值范围，然后分情况讨论.
答案：
（1）锐角；钝角 （直接填在横线上）（下一步）
（2）>；< （直接填在横线上）（下一步）
（3）解：∵c为最长边，2+4=6，∴4≤cc2，即c2