北师大版 (2019)2.1 从平面向量到空间向量导学案

这是一份北师大版 (2019)2.1 从平面向量到空间向量导学案，共15页。

[笔记教材]
知识点一 空间向量的夹角
(1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，OB＝b，则________叫作向量a，b的夹角，记作________．

(2)范围：a，b∈________.特别地，当a，b＝0时，两向量a，b同向共线；当a，b＝________时，两向量a，b反向共线，所以若a∥b，则a，b＝________；当a，b＝eq \f(π,2)时，两向量a，b互相________，记作________．
答案：(1)∠AOB a，b (2)[0，π] π 0或π 垂直 a⊥b
知识点二 空间向量的数量积及其性质
答案：非零 |a||b|csa，b |a||b|csa，b 0 0 a·b＝0 |a|2 a2 λ(a·b) a·b＋a·c
知识点三 投影向量与投影数量
(1)投影向量
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量eq \(OB1,\s\up6(→))为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于________．
当a，b为锐角时，|b|csa，b>0(如图1)；
当a，b为钝角时，|b|csa，b<0(如图2)；
当a，b＝eq \f(π,2)时，|b|csa，b＝0(如图3)．
(2)投影数量
向量b在向量a方向上的投影数量为________．
答案：(1)||b|csa，b| (2)|b|csa，b
[重点理解]
1．对空间两向量夹角的理解
(1)由空间向量夹角的定义知两个非零向量才有夹角，零向量与其他向量之间不定义夹角；并约定零向量与任意向量共线．
(2)对任意两个非零的空间向量a，b，有〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；
〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉；
〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))〉＝π－〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))〉．
2．对空间向量数量积定义的理解
(1)两向量的数量积，其结果为数量而不是向量，数量积的正负由两向量夹角的余弦值决定．
(2)两向量的数量积是两向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法有区别，在书写时要把它们区别开来，数量积只能写成a·b，而不能写成ab，也不能写成a×b的形式．
(3)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的模与b在a上的投影|b|csa，b的乘积，也等于b的模与a在b上的投影|a|cs〈a，b〉的乘积．
(4)求向量的数量积问题，要利用定义找出向量的模及夹角，夹角在题目中没有直接给出时，要根据几何关系进行分析，从而求出夹角．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.()
(2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．()
(3)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√)
(4)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)
(5)若a，b均为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.(√)
(6)空间向量数量积运算的结果是一个实数．(√)
2．对于向量a，b，c和实数λ，下列说法正确的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
答案：B
3．(2022广东珠海模拟)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，〈eq \(A′B,\s\up6(→))，eq \(B′D′,\s\up6(→))〉等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案：D
4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A．eq \r(97) B．97 C．eq \r(61) D．61
答案：C
5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
答案：eq \r(2)
研习1 空间向量的数量积的求解
[典例1] (2022安徽舒城中学开学考试)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为( )
A．8 B．4
C．2 D．1
[答案] D
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BPi,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→)).∵AB⊥平面BP2P8P6，∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BPi,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))＝0，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))2＝1.则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为1个．故选D．
[巧归纳] 在几何体中求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；(3)利用a·b＝|a||b|·csa，b求解．
[练习1](2022北京中关村中学模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A．1 B．2
C．3 D．eq \f(\r(6),3)
答案：A
解析：由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，
eq \(BD1,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))，所以eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0＋eq \(BC,\s\up6(→))2＋0＝1.故选A．
研习2 求空间向量的模(长度或距离)
[典例2] (2022陕西商丹高新学校月考)如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝( )
A．2eq \r(2) B．eq \r(10)
C．2eq \r(3) D．eq \r(14)
[答案] B
[解析] 因为底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，
则eq \(AB,\s\up6(→))2＝1，eq \(AD,\s\up6(→))2＝1，eq \(AA1,\s\up6(→))2＝4，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AA1,\s\up6(→))))·cs∠A1AB＝1，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AA1,\s\up6(→))))·cs∠A1AD＝1，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC1,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))＋\(AA1,\s\up6(→))))＝eq \r(\a\vs4\al(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))＋\(AA1,\s\up6(→))))2))
＝eq \r(\a\vs4\al(\(AB,\s\up6(→))2＋\(AD,\s\up6(→))2＋\(AA1,\s\up6(→))2＋2\(AB,\s\up6(→))·\(AA1,\s\up6(→))＋2\(AB,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→))＋2\(AD,\s\up6(→))·\(AA1,\s\up6(→))))
＝eq \r(1＋1＋4＋2＋0＋2)＝eq \r(10).故选B．
[巧归纳] 求向量的模或两点间的距离的方法：(1)将此线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)由|a|＝eq \r(a·a)，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式可以推广为|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2).(3)可用|a·e|＝|a||csa，e|(e为单位向量)来求一个向量在另一个向量上的投影数量．
[练习2](2022北京人大附中月考)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则AC′＝________.
答案：eq \r(97)
解析：由平行六面体的特征可知eq \(AC′,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC′,\s\up6(→))))2＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→)))2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AA′,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA′,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA′,\s\up6(→))＝9＋16＋25＋2×3×4×eq \f(1,2)＋2×3×5×eq \f(1,2)＋2×4×5×eq \f(1,2)＝50＋12＋15＋20＝97，所以AC′＝eq \r(97)，
故答案为eq \r(97).
研习3 求空间向量的夹角
[典例3] 已知点A(0,1,2)，B(1，－1,3)，C(1,5，－1)．
(1)若D为线段BC的中点，求线段AD的长；
(2)若eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，a,1)，且eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝1，求a的值，并求此时向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))夹角的余弦值．
[解] (1)由题意，知点B(1，－1,3)，C(1,5，－1)，且点D为线段BC的中点，可得D(1,2,1)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))＝eq \r(1＋1＋1)＝eq \r(3)，即线段AD的长为eq \r(3).
(2)由点A(0,1,2)，B(1，－1,3)，得eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－2,1)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝2－2a＋1＝1，解得a＝1，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝(2,1,1)，则cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→)))))＝eq \f(1,\r(6)×\r(6))＝eq \f(1,6)，即向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq \f(1,6).
[巧归纳] 空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．
[练习3](2022河南商丘九校联考)已知空间向量a，b，|a|＝1，|b|＝eq \r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( )
A．60° B．30°
C．135° D．45°
答案：D
解析：∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|·cs〈a，b〉
＝1－1×eq \r(2)×cs〈a，b〉＝0，∴cs〈a，b〉＝eq \f(\r(2),2).
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.故选D．
研习4 利用数量积解决向量垂直的简单问题
[典例4] (2022北京海淀教师进修学校附属实验学校模拟)已知长方体ABCD－A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A．eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD1,\s\up6(→)) B．eq \(AD1,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(→))
C．eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)) D．eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
[答案] C
[解析] 当长方体ABCD－A1B1C1D1为正方体时，如下图，根据正方体的性质，可知
AB⊥AD1，AD1⊥B1C，BD1⊥AC，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD1,\s\up6(→))＝0，eq \(AD1,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(→))＝0，eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0.
根据长方体的性质，可知BC⊥CD1，所以BD1与BC不垂直，即eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))一定不为0.故选C．
[巧归纳] 利用数量积证明垂直关系的方法
(1)由数量积的性质a⊥b＝a·b＝0可知，要证两直线垂直，只要证明两直线的方向向量的数量积为0即可．
(2)用向量法证明线面(面面)垂直，离不开线面(面面)垂直的判定定理，需将线面(面面)垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．
[练习4](2022福建龙岩高中模拟)(多选题)设a，b，c是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·a)c－(c·a)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
答案：BD
解析：根据空间向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b一定不相等，故A错误；因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故C错误；由向量两两不共线，可得B正确；由运算律可得D正确．故选BD．
研习5 空间向量与投影数量的简单应用
[典例5] (2022甘肃武威八中模拟)已知e1，e2，e3是空间单位向量，且满足e1·e2＝e2·e3＝e1·e3＝eq \f(1,2).若向量b＝3λe1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－λ))e2，λ∈R，则e3在b方向上的投影的最大值为( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),3)
[答案] D
[解析] 易得e1，e2，e3是空间中两两夹角为60°的单位向量．
如下图，
构造棱长为1的正四面体O－ABC，使得eq \(OA,\s\up6(→))＝e1，eq \(OB,\s\up6(→))＝e2，eq \(OC,\s\up6(→))＝e3，在射线OA上取点D，使得eq \(OD,\s\up6(→))＝3eq \(OA,\s\up6(→))＝3eq \(e1,\s\up6(→)).设b＝eq \(OP,\s\up6(→))，则b＝eq \(OP,\s\up6(→))＝teq \(OD,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－t))eq \(OB,\s\up6(→))，t∈R，由三点共线知P在直线BD上．
由定义知e3在b方向上的投影为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(e3))cs〈b，e3〉＝cs〈b，e3〉＝cs〈eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉．作点C在平面OAB上的射影G.由最小角定理，得当且仅当向量eq \(OP,\s\up6(→))与向量eq \(OG,\s\up6(→))同向时，〈eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉最小，cs〈eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉最大，即cs〈eq \(OP,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉max＝cs〈eq \(OG,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(3),3).故选D．
[巧归纳] 本题考查向量的三点共线定理、向量的投影，解题的关键是根据共线定理得到P在BD上，结合图示，分析求解即可．对基础知识要求较高，考查分析化简、空间想象能力、计算求值能力等核心素养．
[练习5](2022四川德阳模拟)如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD．则向量eq \(CS,\s\up6(→))在向量eq \(SA,\s\up6(→))上的投影的数量为________．
答案：－1
解析：连接AC，∵SA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC，故向量eq \(CS,\s\up6(→))在向量eq \(SA,\s\up6(→))上的投影的数量为|eq \(CS,\s\up6(→))|cs(π －∠ASC)＝－|eq \(CS,\s\up6(→))|cs∠ASC＝－|SA|＝－1.
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都可能
答案：A
解析：由题意知|a|＝|b|，∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
2．(2022福建厦门质量检测)如图，在正四面体A－BCD中，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
答案：D
解析：两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量eq \(DA,\s\up6(→))的起点平移到A点处，因为△BAD为正三角形，所以∠BAD＝60°，所以〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°，故选D．
3．在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
答案：0
解析：原式＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＋eq \(AD,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0.
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2eq \r(2)，|b|＝eq \f(\r(2),2)，a·b＝－eq \r(2)，则〈a，b〉＝________.
答案：eq \f(3π,4)
解析：cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(2),2)，∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq \f(3π,4).
5．如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝________.
答案：14
解析：eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＝4×3×cs 60°＋0＋eq \f(1,2)×42＝14.
[误区警示]
混淆向量夹角与异面直线所成角的取值范围致错
[示例] 已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列四个数量积中结果为a2的序号有________．
①2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))；②2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))；
③2eq \(GF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))；④2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→)).
[错解] 如图，2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|·cs 60°＝2a·acs 60°＝a2；
2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs 60°＝2a·acs 60°＝a2；
2eq \(GF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2|eq \(GF,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs 0°＝2·eq \f(a,2)·acs 0°＝a2；
2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝2|eq \(EF,\s\up6(→))||eq \(CB,\s\up6(→))|cs 60°＝2·eq \f(a,2)·acs 60°＝eq \f(a2,2).
故结果为a2的式子的序号是①②③.
[错因分析] 本题错误的原因在于对两个向量夹角的概念理解不清，两个向量必须是首首相连或尾尾相连时，所成的角才是它们的夹角．对于平行向量要看它们的方向是相同的还是相反的，若是相同的，则夹角为0°；若是相反的，则夹角为180°.而上述解答没有考虑向量的方向，把异面直线所成角当作向量夹角，显然是错误的．
[正解] 如图，2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|·cs 120°＝2a·acs 120°＝－a2；
2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝2|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(BD,\s\up6(→))|cs 60°＝2a·acs 60°＝a2；
2eq \(GF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2|eq \(GF,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs 180°＝2·eq \f(a,2)·acs 180°＝－a2；
2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝2|eq \(EF,\s\up6(→))||eq \(CB,\s\up6(→))|cs 120°＝2·eq \f(a,2)·acs 120°＝－eq \f(a2,2).
故结果为a2的序号有②.
[题后总结] (1)异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，而空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．
(2)特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线．所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，两向量垂直，记作a⊥b.
(3)利用向量的数量积求异面直线所成的角时，要注意求得的向量的夹角与异面直线所成的角的区别，向量的夹角是锐角或直角时，就是异面直线所成的角；向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
新课程标准
新学法解读
掌握空间向量的数量积运算.
1．掌握空间向量的夹角的概念.
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3．能用向量的数量积解决立体几何问题.
定义
已知两个________向量a，b，则________叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝________，零向量与任意向量的数量积为________，即0·a＝________
性质
a⊥b⇔________；
a·a＝|a||a|csa，a＝________＝________
运算律
(λa)·b＝________
a·b＝b·a(交换律)
a·(b＋c)＝________(分配律)