北师大版高中数学选择性必修第一册3-3-1空间向量基本定理学案

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示

  3.1　空间向量基本定理

 [笔记教材]

知识点　空间向量基本定理

(1)空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个________，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝________.

(2)基：如果向量a，b，c是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是________________________．这个集合可以看成是由向量a，b，c生成的，这时{a，b，c}叫作空间的一组________，其中a，b，c都叫作基向量．

答案：(1)不共面的向量　xa＋yb＋zc　(2){p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}　基

[重点理解]

特别提醒：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基．基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同．

(2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．

(3)空间向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．

(4)任意三个不共面向量都可以作为一组基将空间中任一向量表示出来，但具体解题时，基要恰当选取．如：四面体选取过同一顶点的三条棱的方向向量作为基；正方体(长方体、平行六面体)选取过同一顶点的三条棱的方向向量作为基；有三条棱两两垂直的三棱锥，选取这三条棱的方向向量作为基．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．()

(2)若{a，b，c}为空间的一组基，则a，b，c全不是零向量．(√)

(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一组基，则一定有a与b共线．(√)

(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一组基．()

2．已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基的向量是(　　)

A．2a   B．2b

C．2a＋3b   D．2a＋5c

答案：D

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)

A．x＝1，y＝   B．x＝，y＝1

C．x＝1，y＝   D．x＝1，y＝

答案：D

4．(2022广西南宁三中月考)在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C共面，则λ＝(　　)

A．   B． 

C．   D．

答案：A

研习1  空间基向量的理解与判定

[典例1]　(1)下列能使向量，，成为空间的一组基的关系式是(　　)

A．＝＋＋

B．＝＋

C．＝＋＋

D．＝2－

(2)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基的有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．0个

(1)[答案]　C

[解析]　对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，可知，，共面，故选C．

(2)[答案]　B

[解析]　②③均可以作为空间的基，故选B．

[巧归纳]　基判断的基本思路及方法

(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基；若不共面，则能构成基．

(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基；若无解，则不共面，能作为基．

[练习1]以下四个命题中正确的是(　　)

A．基{a，b，c}中可以有零向量

B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基

C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0

D．空间向量的基只能有一组

答案：B

解析：使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；基可以有无数多组，故D不正确.

研习2  用基向量表示向量

[典例2]　如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量和.

[解]　因为＝＋，而＝，＝－，又D为BC的中点，所以＝(＋)，所以＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)－＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．又因为＝－，＝＝×(＋)＝(b＋c)，所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.

所以＝(a＋b＋c)，＝－a.

[巧归纳]　用基表示向量时，若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．

[练习2]在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

(1)用向量a，b，c表示，；

(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．

解：(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，

＝＋＝－＋－＝a－b－c，

＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．

(2)＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，∴x＝，y＝－，z＝－1.

研习3  空间向量基本定理的应用

[典例3]　在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足＝x＋y－(x＋y－1)，点N满足＝λ＋(1－λ)，当AM，BN最短时，·＝(　　)

A．－   B． 

C．－   D．

[答案]A

[解析]　因为点M满足＝x＋y－(x－y－1)，所以M∈平面BCD．

因为点N满足＝λ＋(1－λ)，所以N∈直线AC，若AM，BN最短，则AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，此时||＝，∵AM⊥平面BCD，MC⊂平面BCD，∴AM⊥MC，∴||＝＝＝.

又＝(＋)，∴·＝(·＋·)＝－||2＝－.故选A．

[巧归纳]　1.在空间图形中，一般选取共点但不共面的三条直线的方向向量作为基．

2．用基表示空间某一向量的步骤：(1)找到以指定向量为一边的封闭图形；(2)结合平行四边形法则或三角形法则，用基表示封闭图形的各边所对应的向量；(3)写出向量的表达式．

3．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量(基)表示，只要基选定，这一向量用基表示的形式是唯一的．

[练习3]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为BB1，BC的中点．

(1)求D1C和B1C的夹角；

(2)求证：AC1⊥EF.

(1)解：设＝a，＝b，＝c，

则＝＝－＝a－c，||＝，

＝＝－＝b－c，||＝.

·＝(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1.

cos〈，〉＝＝＝.

又〈，〉∈[0，π]，

∴〈，〉＝.

∴D1C与B1C的夹角为.

(2)证明：∵＝a＋b＋c，＝＝＝(－)＝(b－c)，

∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)

＝(a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2)＝(0－0＋1－0＋0－1)＝0，

∴AC1⊥EF.

1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成基的向量是(　　)

A．   B．

C．   D．或

答案：C

解析：∵＝a－b且a，b不共线，∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组基．

2．{a，b，c}为空间的一组基，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为(　　)

A．0,0,1   B．0,0,0

C．1,0,1   D．0,1,0

答案：B

解析：若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面．这与{a，b，c}是基矛盾，故x＝y＝z＝0.

3．已知空间的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于(　　)

A．2　   B．－2 

C．1　   D．0

答案：D

解析：∵m与n共线，∴xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．

∴∴∴x＋y＝0.

4．(2022天津第五十五中学月考)下列说法错误的是(　　)

A．设a，b是两个空间向量，则a，b一定共面

B．设a，b是两个空间向量，则a·b＝b·a

C．设a，b，c是三个空间向量，则a，b，c一定不共面

D．设a，b，c是三个空间向量，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c

答案：C

解析：A，设a，b是两个空间向量，则a，b一定共面，正确，因为向量可以平移；

B，设a，b是两个空间向量，则a·b＝b·a，正确，因为向量的数量积满足交换律；

C，设a，b，c是三个空间向量，则a，b，c可能共面，可能不共面，错误．

D，满足向量运算律，正确．

[误区警示]

对基理解不清致错

[示例]　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，试用基向量a，b，c表示向量.

[错解]　本题易错的地方是向量分解不彻底，如在解题过程中可能会得到如下错解：＝－＝＋－(＋)＝c＋－a－b.上式中含有AM这一非基向量的向量．

[正解]　如图，连接A1M，A1C1，则＝－＝＋－(＋)＝＋(＋)－(＋)＝－(＋)＝－a－b＋c.

[题后总结]　基可以表示空间内任一向量，用基表示向量时，最后结果应只含基向量．