高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何2 空间向量与向量运算2.1 从平面向量到空间向量学案

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2.2 空间向量的运算
第1课时 空间向量的加减法与空间向量的数乘运算
[笔记教材]
知识点一 空间向量的概念
(1)空间向量
①定义：在空间中，我们把具有________和________的量叫作空间向量．
②长度或模：向量的________叫作向量的长度或模．
③表示法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(几何表示法：空间向量用 ,表示,字母表示法：用字母 表示，,若向量a的起点是A，终点是B，,则向量a也可以记作 ，,其模记为 ))
(2)几类常见的空间向量
答案：(1)①大小 方向 ②大小 ③有向线段 a，b，c…
eq \(AB,\s\up6(→)) |eq \(AB,\s\up6(→))|
(2)0 1 1 1 相等 相反 －a 平行 重合 平行 平行 相同 相等
知识点二 空间向量的线性运算
1．空间向量的加减法
2.空间向量的数乘
(1)定义
(2)运算律
①交换律：λa＝________(λ∈R)．
②分配律：a.λ(a＋b)＝________(λ∈R)．
b．(λ＋μ)a＝________(λ∈R，μ∈R)．
③结合律：(λμ)a＝________(λ∈R，μ∈R)．
(3)空间向量共线定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝________.
答案：1.eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)) eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)) (1)b＋a (2)a＋(b＋c)
2．(1)向量 λa |λ||a| 相同 相反 ＝0 (2)①aλ ②a.λa＋λb b．λa＋μa ③λ(μa) (3)λb
[重点理解]
1．关于向量加减法则的说明
(1)两个向量相加减的三角形法则与平行四边形法则在空间仍然成立．因此，当求首尾相接的两向量之和时，可考虑用三角形法则；当求共起点的两向量之和时，可考虑用平行四边形法则．
(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2A3,\s\up6(→))＋eq \(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq \(A1An,\s\up6(→)).
(3)首尾顺次相接的若干向量，若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
如图，eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))＋eq \(HO,\s\up6(→))＝0.
2．对于向量数乘运算的两点强调说明
(1)对于任意一个非零向量a，当λ＝eq \f(1,|a|)时，λa＝eq \f(a,|a|)表示与向量a同方向的单位向量．
(2)根据空间向量数乘运算的定义，λa是与向量a共线的向量，因此，对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，若存在实数λ，使得a＝λb，则a与b共线．反之，由共线向量的定义，若向量a与b共线且b≠0，则一定存在实数λ使得a＝λbeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中|λ|＝\f(|a|,|b|)，若向量a，b方向相同，则λ>0；若向量a，b方向相反，则λ<0；若a＝0，则λ＝0)).也就是说，平面中两个向量共线的充要条件，对于空间向量同样成立．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()
(2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0.()
(3)两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行．(√)
2．化简eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))所得的结果是( )
A．eq \(PM,\s\up6(→)) B．eq \(NP,\s\up6(→))
C．0 D．eq \(MN,\s\up6(→))
答案：C
3．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))为( )
A．eq \(AD,\s\up6(→)) B．eq \(BD,\s\up6(→))
C．eq \(AC,\s\up6(→)) D．0
答案：3.A
4．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则用向量a，b，c可表示向量eq \(BD,\s\up6(→))1为( )
A．a＋b＋c B．－a＋b＋c
C．a－b＋c D．－a＋b－c
答案：B

研习1 空间向量的加法与减法运算
[典例1] (2022南平第八中学模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式：
①eq \(A1D1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(D1C1,\s\up6(→))；③eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(→))；④eq \(B1D1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(DD,\s\up6(→))1，其中运算结果为eq \(BD1,\s\up6(→))的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案] A
[解析] eq \(A1D1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→))，①对；
eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(D1C1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))－eq \(D1C1,\s\up6(→))＝eq \(BC1,\s\up6(→))＋eq \(C1D1,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→))，②对；
eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(B1D1,\s\up6(→))＋eq \(D1D,\s\up6(→))＝eq \(B1D,\s\up6(→))，③错；
eq \(B1D1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))，显然不等于eq \(BD1,\s\up6(→))，④错．
故选A．
[巧归纳] 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，在化简过程中遇到减法时可灵活运用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，同时要注意eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))的逆用．
[练习1](2022北京八一中学模拟)已知三棱锥A－BCD中，E是BC的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝( )
A．eq \(BD,\s\up6(→)) B．eq \(DB,\s\up6(→))
C．eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→)) D．eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))
答案：D
解析：如下图，取CD的中点F，连结AF，EF，∵三棱锥A－BCD中，E是BC的中点，∴eq \(AE,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→)).故选D．
研习2 空间向量的数乘运算及线性运算
[典例2] 如下图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))＋xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))，求x，y的值．
[解] 因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝－eq \f(3,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
所以x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(3,2).
[巧归纳] (1)灵活利用空间向量加、减、数乘运算的几何定义，注意向量平移．(2)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
[练习2](1)在平行六面体ABCD－EFGH中，若eq \(AG,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))－2yeq \(BC,\s\up6(→))＋3zeq \(DH,\s\up6(→))，则x＋y＋z等于( )
A．eq \f(7,6) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(5,6) D．eq \f(3,4)
(2)在四面体O－ABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．
(1)C
解析：由于eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DH,\s\up6(→))，对照已知式子可得x＝1，－2y＝1,3z＝1，
故x＝1，y＝－eq \f(1,2)，z＝eq \f(1,3)，从而x＋y＋z＝eq \f(5,6).
(2)eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(c,4)
解析：如图，eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))．又因为eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，所以eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.
研习3 空间共线向量基本定理的应用
[典例3] (2022北京东城检测)满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是( )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)) B．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)) D．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))
[答案] C
[解析] 对于空间中的任意向量，都有 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，选项A错误；若eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，则eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，而eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，据此可知eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，即B，C两点重合，选项B错误；eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线，选项C正确；eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误．故选C．
[巧归纳] 本题主要考查空间向量基本定理，三点共线的充分必要条件等知识，由题意结合向量共线的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果，意在考查学生的转化能力和计算求解能力等核心素养．
[练习3](2022北京平谷区第五中学月考)如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq \(CF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，eq \(CG,\s\up6(→))＝2eq \(GD,\s\up6(→)).证明：四边形EFGH是梯形．
证明：因为E，H分别是边AB，AD的中点，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→)).又eq \(CF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，eq \(CG,\s\up6(→))＝2eq \(GD,\s\up6(→))，所以eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))，所以eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→))－eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CD,\s\up6(→))－\(CB,\s\up6(→))))＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))，
所以eq \(EH,\s\up6(→))∥eq \(FG,\s\up6(→))且|eq \(EH,\s\up6(→))|＝eq \f(3,4)|eq \(FG,\s\up6(→))|≠|eq \(FG,\s\up6(→))|，又点E不在FG上，所以四边形EFGH是梯形.
研习4 共线(共面)问题的证明
[典例4] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq \(A1E,\s\up6(→))＝2eq \(ED1,\s\up6(→))，F在对角线A1C上，且eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→)).求证：E，F，B三点共线．
[证明] 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，因为eq \(A1E,\s\up6(→))＝2eq \(ED1,\s\up6(→))，eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→))，所以eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(A1D1,\s\up6(→))，eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(A1C,\s\up6(→)).所以eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)b，eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→)))＝eq \f(2,5)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→)))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(2,5)b－eq \f(2,5)c.所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(A1F,\s\up6(→))－eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)a－eq \f(4,15)b－eq \f(2,5)c＝eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b－c)).又eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(EA1,\s\up6(→))＋eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)b－c＋a＝a－eq \f(2,3)b－c，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(EB,\s\up6(→)).所以E，F，B三点共线．
[巧归纳] (1)证明P，A，B三点共线的方法：①存在实数t，使得eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，即eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))；②存在实数t，使得eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))；③存在有序实数对(x，y)，使得eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)．
(2)证明P，M，A，B四点共面的方法：①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；②对空间任意一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；③对空间任意一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋zeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；④eq \(PM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))(或eq \(PB,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))或eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→)))．
[练习4]设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面．
证明：由题意可知eq \(NM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1B1,\s\up6(→))，所以eq \(BA,\s\up6(→))＝2eq \(NM,\s\up6(→))，eq \(A1B1,\s\up6(→))＝2eq \(NP,\s\up6(→))，又因为eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(→)))，(*)
A，B，C及A1，B1，C1分别共线，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＝2λeq \(NM,\s\up6(→))，eq \(B1C1,\s\up6(→))＝μeq \(A1B1,\s\up6(→))＝2μeq \(NP,\s\up6(→))，代入(*)式得eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(2λeq \(NM,\s\up6(→))＋2μeq \(NP,\s\up6(→)))＝λeq \(NM,\s\up6(→))＋μeq \(NP,\s\up6(→))，所以eq \(PQ,\s\up6(→))，eq \(NM,\s\up6(→))，eq \(NP,\s\up6(→))共面，所以M，N，P，Q四点共面．
1．(2022北京平谷区第五中学月考)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，化简eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝( )
A．eq \(AC1,\s\up6(→)) B．eq \(CA1,\s\up6(→))
C．eq \(BC1,\s\up6(→)) D．eq \(CB1,\s\up6(→))
答案：A
解析：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，连接AC，AC1，如图，
则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(CC,\s\up6(→))1＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AA,\s\up6(→))1＝eq \(AC1,\s\up6(→))，故选A．
2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0，则eq \(OC,\s\up6(→))等于( )
A．2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)) B．－eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))
C． eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)) D．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))
答案：A
解析：因为2eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq \(CB,\s\up6(→))＝－2eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(CA,\s\up6(→))，所以eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，故eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)).
3．已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案：A
解析：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))，由于eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))有一个公共点B，所以A，B，D三点共线．
4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A．eq \(OM,\s\up6(→))＝3eq \(OA,\s\up6(→))－2eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))
B．eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0
C．eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0
D．eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))
答案：C
解析：因为eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，所以M与A，B，C必共面．
5．设e1，e2是空间两个不共线的向量，若eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq \(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.
答案：1
解析：eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝6(e1＋e2)，因为A，B，D三点共线，所以可令eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，即e1＋ke2＝6λ(e1＋e2)，又e1，e2不共线，故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6λ＝1，,6λ＝k，))所以k＝1.
[误区警示]
进行向量运算时忽略图形的性质致错
[示例] 如图，点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(DA,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq \(EF,\s\up6(→))，则eq \(EF,\s\up6(→))＝________.
[错解] 本题易由所画的图形误认为连接BE并延长，交CD于点G，E是BG的中点，从而得到如下解析：
如图，连接AG，由于点E是AC的中点，所以四边形ABCG是平行四边形，所以eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝b＋a.又EF是△BGD的中位线，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(DG,\s\up6(→)).所以eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(a＋b)．
[错因分析]事实上，四边形ABCD只是一般的四边形，所以E为AC的中点，但并不一定为BG的中点，所以四边形ABCG不一定是平行四边形，所以eq \(AG,\s\up6(→))不一定等于eq \(BC,\s\up6(→)).
[正解] 方法一：如图，连接FA，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(a＋b)．
方法二：如图，取AB的中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，FP是中位线，所以eq \(PF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a.
在△ABD中，EP是中位线，所以eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)b.
在△EFP中，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EP,\s\up6(→))＋eq \(PF,\s\up6(→))＝－eq \(PE,\s\up6(→))＋eq \(PF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＝－eq \f(1,2)(a＋b)．
[题后总结] 在平面几何图形中进行向量运算时，要准确应用平面几何图形的性质．解题时先判断所给图形是否是特殊图形，不能盲目运用特殊图形的性质进行求解．
新课程标准
新学法解读
1．了解空间向量的概念．
2．掌握空间向量的线性运算.
1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念．
2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律．
3．掌握数乘向量运算的意义及运算律.
名称
定义
表示法
零向量
长度为______的向量
0
单位
向量
模为________的向量
|a|＝______或
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝______
相反
向量
与向量a长度______
且方向______的向量
________
共线
向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线______________或________，那么这些向量叫作共线向量或________向量
a∥b
规定：零向量与任意向量________
0∥a
相等
向量
方向________且模________的向量
a＝b或eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))
加法
eq \(OB,\s\up6(→))＝__________＝a＋b
减法
eq \(CA,\s\up6(→))＝__________＝a－b
运算律
(1)交换律：a＋b＝________
(2)结合律：(a＋b)＋c＝________