北师大版高中数学选择性必修第一册1-2-1圆的标准方程学案

§2　圆与圆的方程

 2.1　圆的标准方程

[笔记教材]

知识点一　圆的标准方程

答案：(x－a)2＋(y－b)2＝r2　x2＋y2＝r2

知识点二　点与圆的位置关系

圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PA|.

续表

答案：＞　＞　＝　＝　＜　＜

[重点理解]

(1)当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、r为半径的圆．

(2)由圆的标准方程，可直接得出圆心和半径；给出圆心和半径，也可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的优点．

(3)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2不一定表示圆．当m＝0时，表示一个点(a，b)，所以此方程要表示圆，就一定有m≠0.

(4)确定圆的标准方程需三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()

(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√)

(3)若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则说明点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的外部．　(√)

(4)圆心定圆的位置，半径定圆的大小．(√)

2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)

A．(－2,3)，1    B．(2，－3)，3

C．(－2,3)，    D．(2，－3)，

答案：D

3．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)

A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9

B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3

D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9

答案：D

4．圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________．

答案：(x－3)2＋(y－4)2＝25

5．点(1,1)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上，则圆的半径r＝________.

答案：2

    研习1   直接法求圆的标准方程

[典例1]　求满足下列条件的圆的标准方程．

(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；

(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；

(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点．

(1)[解]　由两点间距离公式，得r＝

＝，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.

(2)[解]　圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝＝2，∴半径r＝，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.

(3)[解]　由圆的几何意义，知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.

[巧归纳]　直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后将其代入标准方程．

[练习1](2022辽宁六校协作体联考)当a为任意实数，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5

B．(x－1)2＋(y＋2)2＝5

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5

D．(x－1)2＋(y－2)2＝5

答案：C

解析：直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.由得∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.故选C.

研习2  待定系数法求圆的标准方程

[典例2]　已知圆过两点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程．

[解]　方法一：直线AB的斜率为k＝＝－，可知AB的垂直平分线m的斜率为2.AB中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝1，y＝＝2，因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上，联立方程组得所以圆心坐标为C(2,4)．又半径r＝|CA|＝，则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.

方法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意，得

即解得所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.

[巧归纳]　1.用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：(1)设出圆的标准方程；(2)根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组得a，b，r的值；(3)代入标准方程，得出结果．

2．求圆的标准方程时，要注意平面几何知识的应用，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的中垂线上．

[练习2](2022广东潮州质量检测)已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋2＝

B．x2＋2＝

C.2＋y2＝

D.2＋y2＝

答案：C

解析：因为圆C关于x轴对称，所以圆心C在x轴上，所以可设圆C的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a>0)，所以圆C与y轴的交点关于x轴对称，所以圆C与y轴交点为A(0,1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝∠ACB＝×120°＝60°，则tan 60°＝＝＝，所以a＝|OC|＝，所以圆心坐标为，r2＝|AC|2＝12＋2＝.所以圆C的方程为2＋y2＝.故选C.

研习3  点与圆的位置关系

[典例3]　判断点P(2,0)与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝3的位置关系.

[解]　方法一：∵P(2,0)与圆心(2，－1)的距离d＝＝1，圆的半径r＝，∴d<r，∴点P在圆的内部．

方法二：∵点P(2,0)满足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点P在圆的内部．

[巧归纳]　求点与圆的位置关系有几何法和代数法．(1)几何法：利用点与圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把点的坐标直接代入圆的标准方程．具体判断方法如下：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

[练习3]若点P(－2,4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，则实数m的取值范围为________．

答案：(0,5)

解析：由于点P(－2,4)在圆的外部，所以有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m，解得m＜5.又方程表示圆，所以有m＞0.

因此实数m的取值范围是0＜m＜5.

研习4  圆的标准方程的应用

[典例4]　如下图，已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？

[解]　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝＝<3.

即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，货车不能驶入这个隧道．

[巧归纳]　求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的坐标系，用(x，y) 表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

[练习4]一辆小车宽1.6 m要经过半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆小车的平顶车篷顶距地面的高度不得超过(　　)

A．1.4 m    B．3.5 m

C．3.6 m    D．2.0 m

答案：B

解析：如图，建立直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，当x＝0.8时，y＝≈3.5(m)．故选B.

1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是(　　)

A.π    B．2π

C．2π    D．2π

答案：B

解析：由方程知圆的半径r＝，于是周长C＝2π·＝2π，故选B.

2．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13

B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52

D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52

答案：A

解析：设直径两端点为A(x,0)，B(0，y)，则圆心(2，－3)为直径中点，

∴即

∴A(4，0)，B(0，－6)，∴r＝|AB|＝×＝，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.

3．(2022福建仙游一中模拟)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)(　　)

A．在圆上    B．在圆外

C．在圆内    D．以上都有可能

答案：B

解析：由<1，得>1，所以点P在圆外．故选B.

4．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.

答案：±2

解析：∵点P在圆x2＋y2＝m2上，∴(－1)2＋()2＝4＝m2，∴m＝±2.

5．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上的圆的方程是________．

答案：(x＋1)2＋(y－2)2＝5

解析：因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝＝，又圆心为C(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.

[误区警示]

忽略圆的标准方程中隐含条件——半径大于零

[示例]　已知点A(1,2)在圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，求实数a的取值范围．

[错解]　∵点A(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2＋(2－a)2>2a2，即5－2a>0，∴a<，

∴a的取值范围是.

[错因分析]　忽略的圆的标准方程中隐藏着r2>0.

[正解]　∵点A(1,2)在圆的外部，∴(1＋a)2

＋(2－a)2>2a2，即5－2a>0，∴a<，又2a2>0，∴a≠0.

∴a的取值范围是(－∞，0)∪.

[题后总结]　1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．

2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．