高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式导学案，共9页。

[笔记教材]
知识点一 两点间的距离公式
(1)平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝________________.
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝____________.
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝________.
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝________.
答案：(1)eq \r(x2－x12＋y2－y12)
(2)①eq \r(x2＋y2) ②|x2－x1| ③|y2－y1|
知识点二 点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与________之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0时)的距离d＝________.
答案：(1)垂足 (2)eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
知识点三 两条平行直线间的距离
(1)概念：两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的________的长．
(2)求法：两条平行直线间的距离转化为________的距离．
(3)公式：两条平行直线l1：Ax ＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝________.
答案：(1)公垂线段 (2)点到直线 (3)eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
[重点理解]
1．关于两点间距离公式的说明
(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)，利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问题进行研究．
(2)当直线AB平行于x轴时，|AB|＝|x2－x1|；当直线AB平行于y轴时，|AB|＝|y2－y1|.
(3)当A，B中有一点是原点，另一点的坐标为(x，y)时，|AB|＝eq \r(x2＋y2).
2．(1)在使用点到直线的距离公式时，首先把直线方程化为一般式，再利用公式求解．
(2)在已知点到直线的距离求参数时，只需根据公式列方程求解参数即可．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)直线l1：Ax＋By＋C1＝0到l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.()
(2)点到直线的距离公式不适用于点在直线上的情形．()
(3)原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是eq \f(|C|,\r(A2＋B2)).(√)
(4)求平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1或5
答案：C
3．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(3\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
答案：C
4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D．4
答案：B
5．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与直线6x＋8y＋6＝0上的任一点，则|PQ|的最小值为________．
答案：3
研习1 两点间距离公式的应用
[典例1] 直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为________．
[答案] eq \r(1＋\f(4,m2))(m≠0)
[解析] 直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1,0)，与y轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2,m)))，所以两交点之间的距离为eq \r(－1－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(2,m)))2)＝eq \r(1＋\f(4,m2))(m≠0)．
[巧归纳] 使用两点间距离公式要注意结构特点，公式与两点的先后顺序无关，适用于任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，但对于特殊情况结合图形求解会更便捷．
[练习1]已知点A(－1,2)，B(2，eq \r(7))，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
解：设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|，得eq \r(x＋12＋0－22)＝eq \r(x－22＋0－\r(7)2)，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以所求P点坐标为(1,0)，|PA|＝eq \r(1＋12＋0－22)＝2eq \r(2).
研习2 点到直线的距离问题
[典例2] 求点P(1,2)到下列直线的距离：(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
(1)[解] 将直线方程化为一般式为x－y－3＝0.由点到直线的距离公式，得d＝eq \f(|1－2－3|,\r(1＋－12))＝2eq \r(2).
(2)[解] 方法一：将直线方程化为一般式为y＋1＝0，由点到直线的距离公式，得d＝eq \f(|2＋1|,\r(02＋12))＝3.
方法二：∵y＝－1平行于x轴，由下图知，d＝|2－(－1)|＝3.
(3)[解] 方法一：y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式，得d＝eq \f(|1＋0＋0|,\r(12＋02))＝1.
方法二：由图可知，d＝|1－0|＝1.
[巧归纳] 应用点到直线的距离公式应注意以下问题：(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应化成一般式，再用公式．(2)当点P(x0，y0)在直线上时，d＝0.(3)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|；点P(x0，y0)到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
[练习2]点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围为( )
A．[0,10]
B．(0,10)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,13)，\f(1,3)))
D．(－∞，0)∪[10，＋∞)
答案：A
解析：点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则eq \f(|16－3a－1|,\r(42＋－32))≤3，解得0≤a≤10.
研习3 两平行直线的距离问题
[典例3] 已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且eq \f(d1,d2)＝eq \f(1,2)，求直线l的方程．
[解] 设P(x，y)为l上任一点，则d1＝eq \f(|7x＋8y－3|,\r(72＋82))，d2＝eq \f(|7x＋8y＋9|,\r(72＋82)).由eq \f(d1,d2)＝eq \f(1,2)，即d2＝2d1，得|7x＋8y－3|＝2|7x＋8y＋9|.∴7x＋8y－3＝2(7x＋8y＋9)或7x＋8y－3＝－2(7x＋8y＋9)，化简得l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.
[巧归纳] 求两条平行直线间的距离有两种思路：(1)转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)利用公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))求解，但需注意两直线方程都化为一般式，且x，y的系数对应相等．
[练习3]两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0,5]
C．(0,5] D．[0，eq \r(17)]
答案：C
解析：设直线l1，l2之间的距离为d，当两直线重合时，距离最小d＝0，但两直线平行，故d>0.当l1和l2与PQ垂直时，两直线距离d最大，d＝|PQ|＝eq \r(－1－22＋3＋12)＝5，所以0研习4 用坐标法证明几何问题
[典例4] 已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，试建立适当的直角坐标系，证明：|AC|＝|BD|.
[证明] 如下图，以下底AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设A(－a,0)，C(b，c)，由等腰梯形的性质可知：B(a，0)，D(－b，c)，则|AC|＝eq \r(b＋a2＋c－02)＝eq \r(a＋b2＋c2)，|BD|＝eq \r(a＋b2＋0－c2)＝eq \r(a＋b2＋c2)，所以|AC|＝|BD|.
[巧归纳] 建立坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此常有以下约定：(1)将图形一边所在直线或定直线作为x轴；(2)对称图形取对称轴为x轴或y轴，若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；(3)可将图形的一个定点或两定点连线的中点作为原点．
[练习4]在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
证明：设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，
则B(－a,0)．因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq \f(|AC|,|CB|)的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C．3 D．2
答案：D
解析：由两点间的距离公式，得
|AC|＝eq \r([3－－1]2＋4－02)＝4eq \r(2)，
|CB|＝eq \r(5－32＋6－42)＝2eq \r(2)，故eq \f(|AC|,|BC|)＝eq \f(4\r(2),2\r(2))＝2.
2．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(8,0) B．(－12,0)
C．(8,0)或(－12,0) D．(－8,0)或(12,0)
答案：C
解析：设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得eq \f(|3x－4×0＋6|,\r(32＋－42))＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．
3．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )
A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(3,2) D.eq \f(1,2)
答案：A
解析：d＝eq \f(|1＋1＋1|,\r(12＋－12))＝eq \f(3\r(2),2).
4．若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5，那么实数m的值为( )
A．4 B．－2
C．－4或2 D．4或－2
答案：D
解析：由已知得|AB|＝eq \r(1－m2＋3－72)＝5，因此|1－m|＝3，解得m＝4或m＝－2.
5．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
答案：5
解析：d＝|3－(－2)|＝5.
[误区警示]
对斜率是否存在考虑不全面致错
[示例] 求经过点(1,2)且到原点距离为1的直线方程．
[错解] ∵所求直线过点A(1,2)，∴可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.∵原点到此直线的距离为1，∴eq \f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(3,4)，∴所求直线方程为y－2＝eq \f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋5＝0.
[错因分析] 本题出错的根本原因在于思维不严密，当用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．
[正解] ①当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时，直线方程为x＝1，原点(0,0)到直线的距离等于1，∴满足题意．②当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时，由题意可设直线方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0，又原点到此直线距离等于1，∴eq \f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(3,4)，∴直线方程为y－2＝eq \f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋5＝0.综上所述，所求直线方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
[题后总结] 1.应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离公式d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))的前提是直线方程为一般式．特别地，当直线方程A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解．
2．两条平行线间的距离处理方法有两种：一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的化归转化思想．二是直接套用公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
新课程标准
新学法解读
1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式．
2．会求两条平行直线间的距离.
1.结合教材实例了解点到直线的距离公式的推导过程．
2．会求点到直线的距离．
3．掌握两平行线间的距离公式及应用．
4．能利用距离公式解决与交点相关的问题.