北师大版高中数学选择性必修第一册1-2-2圆的一般方程课件

第一章内容索引自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑自主预习 新知导学圆的一般方程1.(1)圆的一般方程当 D2+E2-4F>0 时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.(2)二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆时,其在代数结构上的典型特征:①x2,y2的 系数相同 ,且不等于0,即A=B≠0;② 不含 xy这样的二次项,即C=0.具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件,但不是充分条件.2.圆x2+y2+2x-4y+3=0的圆心坐标和半径分别是(　　). 答案:C 合作探究 释疑解惑【例1】 下列各方程是否表示圆?若表示圆,求其圆心和半径.(1)x2+y2+2xy=0;(2)x2+y2-4x=0;(3)2x2+2y2-3x+4y+6=0;(4)x2+y2+2ax=0(a∈R).解:(1)因为方程x2+y2+2xy=0中含有xy这样的项,所以不能表示圆.(2)由方程可知D=-4,E=F=0,因为D2+E2-4F=D2=16>0,所以方程表示圆.因为D2+E2-4F= +4-12<0,所以方程不表示任何图形.(4)因为D2+E2-4F=4a2+02-4×0=4a2,所以当a≠0时,该方程表示的是以(-a,0)为圆心,半径r=|a|的圆;当a=0时,原方程为x2+y2=0,此时该方程表示点(0,0).判断二元二次方程是否表示圆的方法任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为 ,根据圆的标准方程来判断.由公式求半径和圆心坐标时,一定要注意圆的一般方程的形式,二次项系数相等且为1.【例2】 已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的方程;(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.解:(1)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,即△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.若将本例中条件“C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程?应用待定系数法求圆的方程时应注意以下两点:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.【例3】 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上.(1)求圆C的方程;(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0),端点Q在圆C上运动,求线段PQ的中点M的轨迹方程.求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)相关点法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将点Q的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程.因忽视圆的方程成立的条件而致误【典例】 已知点O(0,0)在圆x2+y2+kx+2ky+2k2+k-1=0外,求k的取值范围.错解:∵点O(0,0)在圆外,以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?又如何防范?提示:上述解法的错误在于忽视了圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件为D2+E2-4F>0,只考虑了点在圆外这一个限制条件.正解:∵方程表示圆,∴k2+(2k)2-4(2k2+k-1)>0,方程是否满足表示圆的条件,这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题.