高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程课文内容免费课件ppt

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第一章 直线与圆
2.2　圆的一般方程
课标要求
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2.能根据某些具体条件及简单的轨迹方程求圆的方程.
素养要求
通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　把圆的标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝9展开，得到的关系式有什么特点？ 提示　展开后得到x2＋y2－2x＋4y－4＝0，关系式为二元二次方程，且x2，y2的系数相等，不含xy项.2.思考　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0一定表示圆吗？若不能，则表示什么图形？ 提示　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.
3.思考　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条件？当D2＋E2－4F＝0时，上述方程表示什么图形？
4.填空　(1)圆的一般方程：________________________________ (其中D2＋E2－4F>0)称为圆的一般方程.
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
温馨提醒　(1)二元二次方程若表示圆，则需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
5.做一做　(1)判断正误 ①圆的标准方程与一般方程可以互化.(　　) ②若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　　) ③方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程.(　　)
√
√
×
C
(2)圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为(　　)A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2，3)，4 D.(2，－3)，16解析　由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围；
解　由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
(2)写出圆心坐标和半径.
解　将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0化成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
训练1 (1)(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　 　) A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称
ABC
解析　x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2，0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，故A正确；圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，B，C项中的直线过圆心，D项中的直线不过圆心，故B，C正确，D错误.
(2)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为____________________.
解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)
例2 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程；
解　设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
解　由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a，2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.(3)解此方程组，求出D，E，F的值.(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
即D＋E＝－2.①
∴D2＋E2＝20.②
又∵圆心在第二象限，
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
例3 已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆. (1)求t的取值范围；
解　已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，∴r2＝－7t2＋6t＋1>0.
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围.
解　当且仅当t2＋1<－7t2＋6t＋1时，
(1)求t的取值范围；
(2)若圆的直径为6，求t的值；
(3)若圆心在第二象限，求t的取值范围.
又∵在第二象限，
课堂小结
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
D
解析　若方程表示圆，则1＋1－4k>0，
B
3.已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆面积最大时，圆心坐标为(　　) A.(1，1) B.(0，1) C.(－1，0) D.(0，－1)
D
∴当S最大即r最大时，k＝0，此时圆心坐标为(0，－1).
ABD
5.若圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心在第二象限，则直线x＋ay－b＝0一定不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
C
6.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是_____________.
(－∞，－13)
7.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为________________________.
x2＋y2－8x＋6y＝0
解析　设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
8.在平面直角坐标系中，圆的方程为x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0，该圆的周长为________.
6π
解析　由题意知，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝9，∴半径r＝3，∴周长为2π·3＝6π.
解　(1)设圆心C(m，0)，半径为r，
解得m＝3，r＝3，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝32，故圆C的一般方程为x2＋y2－6x＝0.
10.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心坐标和半径；
解　圆的方程x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0，可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，∴圆心坐标为(1－m，2m)，半径为3.
(2)求证：不论m为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆.
证明　设圆心为(x，y)，
则2x＋y＝2，∴不论m为何实数，该圆的圆心恒在直线2x＋y－2＝0上，由(1)可得，圆的半径为定值3，故不论m为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆.
B
二、能力提升
①③
13.已知圆C的方程为x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋m－2＝0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径. (1)圆的面积最小；
(2)圆心距离坐标原点最近.
三、创新拓展