高中数学6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积导学案及答案

§6　简单几何体的再认识

6．1　柱、锥、台的侧面展开与面积

知识点1　圆柱、圆锥、圆台的侧面积

1.比较圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式，它们之间有什么联系？

提示：

1.底面半径为3，母线为5的圆锥的侧面积为(　　)

A．12π     B．15π    C．24π     D．36π

B　[圆锥的底面半径r＝3，母线l＝5，∴S圆锥侧＝πrl＝15π.]

知识点2　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

2.如何求一个斜棱柱的侧面积？

提示：求出各侧面的面积，各侧面的面积之和就是斜棱柱的侧面积．

2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长．

  (　　)

(2)多面体的表面积等于各个面的面积之和． (　　)

(3)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.  (　　)

[提示]　(1)错误．若斜三棱柱的侧面多边形的高与侧棱长l不相等时，不能用公式cl来求解．

(2)正确．

(3)错误．圆柱的侧面积是4πS.

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

类型1　旋转体的侧面积

【例1】　(教材北师版P238例1改编)设圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，且轴截面的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积．

[解]　如图所示，作出轴截面A1ABB1，设上、下底面半径、母线长分别为r、R、l，作A1D⊥AB于D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°.

∵∠BA1A＝90°，

∴∠BA1D＝60°，

∴AD＝A1D·tan 30°＝3×＝＝R－r，

BD＝A1D·tan 60°＝3×＝3＝R＋r.

∴R＝2，r＝，l＝A1A＝＝＝2.

∴圆台的侧面积S侧＝π(r＋R)l＝π(2＋)×2＝18π.

即圆台的侧面积是18π.

计算旋转体的侧面积的方法

(1)旋转体侧面积的计算一般通过轴截面寻找其中的数量关系．

(2)解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．

1．圆锥的中截面(过高的中点且平行于底面)把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为(　　)

A．1∶1　 B．1∶2

C．1∶3     D．1∶4

C　[如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．因为O1为PO2的中点，

所以＝＝＝，

所以PA＝AB，O2B＝2O1A.

又因为S圆锥侧＝π·O1A·PA，S圆台侧

＝π·(O1A＋O2B)·AB，

则＝＝.]

类型2　多面体的侧面积

【例2】　(教材北师版P240例3改编)现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．

[解]　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，

∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，

∴a2＝200，b2＝56.

∵该直四棱柱的底面是菱形，

∴AB2＝＋＝＝＝64，

∴AB＝8.

∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.

2．如图所示，已知六棱锥P­ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm.求六棱锥P－ABCDEF的侧面积．

[解]　S侧面＝6S△PCD＝6××2×＝6＝12 cm2.

类型3　组合体的侧(表)面积

【例3】　已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．

1.组合体有哪两种构成形式？

提示：一种是由两个或多个几何体拼接而成；另一种是由一个几何体挖去若干个几何体而成．

2.求组合体的表面积需要注意什么？

提示：（1）注意组合的构成；（2）对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响；（3）对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．

3.→→

[解]　如图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥．

在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，AB＝(2a－a)tan 60°＝a，DC＝＝2a.

又DD′＝DC＝2a.

∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧

＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·a＋π·(2a)2＋π·a·2a＝(9＋4)πa2.

求解组合体表面积的解题思路

(1)求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体后，先求这些几何体的表面积，再通过求和或作差，得到所求组合体的表面积．

(2)若遇到与旋转体有关的问题，应根据条件确定各个旋转体的底面半径和母线长，再代入公式求解．

3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积．

[解]　四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周形成一个被挖去圆锥的圆台，如图．

由题中条件知CD＝2，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，∴AE＝4，BC＝5.

∴S表＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝4π＋35π＋25π＝60π＋4π.

1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　)

A．22    B．20    C．10    D．11

A　[所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.]

2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)

A．1∶2    B．1∶    C．1∶    D．∶2

C　[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.]

3．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的侧面积是(　　)

A．a2     B．a2

C．a2     D．a2

B　[∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，

∴该三棱锥的侧面积是3××＝a2.]

4．若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的侧面积为________．

143π　[设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R，由勾股定理可得R－r＝＝5.

∵r∶R＝3∶8，∴r＝3，R＝8.S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π.]

5．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是________．

8　[易知底面正方形的边长为1，棱柱的高为2，所以这个棱柱的侧面积是4×2＝8.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.求解多面体的表面积时应注意什么问题？

[提示]　多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和，求解时不要漏掉部分面的面积．

2.求解旋转体的表面积时应注意什么问题？

[提示]　有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．