人教版数学九年级下册相似三角形的判定 知识讲解 (含答案)

相似三角形的判定--知识讲解（基础）

【学习目标】

1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；

2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.

【要点梳理】

要点一、相似三角形

在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.

要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；

(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.

要点二、相似三角形的判定定理

1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

要点诠释：
　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

 4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：

【典型例题】

类型一、相似三角形

1. 下列能够相似的一组三角形为(   ).
　　A.所有的直角三角形 　　　　　　B.所有的等腰三角形
　　C.所有的等腰直角三角形 　　　　D.所有的一边和这边上的高相等的三角形

【答案】C

【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；

B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；

C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.

答案选C.

【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.

举一反三：

【变式】（2020秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有　             　（填序号）．

【答案】①②④⑤.
类型二、相似三角形的判定

2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.

【答案与解析】∵ 四边形ABCD是平行四边形，
　　          ∴ AB∥CD，AD∥BC，
　　　　      ∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.
　　　　      ∴ △BEF∽△CDF∽△AED.
　　　　      ∴ 当△BEF∽△CDF时，相似比；

当△BEF∽△AED时，相似比；
　　　       　当△CDF∽△AED时，相似比.

【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.

举一反三：

【变式】　如图，AD、CE是△ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．

【答案】∵ AD、CE是△ABC的高,

        ∴∠AEF=∠CDF=90°,

        又∵∠AFE=∠CFE,

        ∴△AEF∽△CDF.

        ∴,  即AF·FD=CF·FE．

3.（2020秋•揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．

【答案与解析】解：设BE=x，

∵EF=32，GE=8，

∴FG=32﹣8=24，

∵AD∥BC，

∴△AFE∽△CBE，

∴=，

∴则==+1①

∵DG∥AB，

∴△DFG∽△CBG，

∴= 代入①

=+1，

 解得：x=±16（负数舍去），

故BE=16．

【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG是解题关键．

4. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．
    

【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.

【答案与解析】连接，
　　　　　，，
　　　　　是的中垂线，，
　　　　　，，
　　　　　．
　　　　　，
　　　　　．
　　　　　又，
　　　　　∽，
　　　　　，
　　　　　．

【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径.

举一反三：
【变式】如图，F是△ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF, 交AB于E. 求证：.　

【答案】过点F作FG∥BC,交AB于G.

则△DBE∽△FGE

△AGF∽△ABC

       ∵,

       又∵AF=BD,

∴

∵△AGF∽△ABC

∴,

即.