高一数学人教A版（2019）必修第二册 专题 线线角、线面角、二面角基本概念 学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册全册综合导学案及答案，共11页。
 《立体几何》专题 线线角、线面角、二面角基本概念
（4套，5页，含答案）
知识点：
异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，
使________，________，我们把a′与b′所成的______________
叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
如果两条直线所成的角是________，那么我们就说
这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是_______．
求异面直线夹角的时候，一般把直线平移至相交，然后再计算。
答案：（ 答案：a′∥a　b′∥b　锐角(或直角)　直角　(0°，90°]；
答案：［0°，90°］，（0°，90°］，［0°，180°］，［0°，180°），[0°，90°]，［0°，180°］；
）

典型例题：
1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
2. ①AC和DD1所成角是________度． ②AC和D1C1所成的角是________度．
3. ③AC和B1D1所成的角是________度． ④AC和A1B所成的角是________度．
4. ⑤O为B1D1中点，AC和BO所成角是________度．
5. ⑥A1B和B1D1所成角是____ 答案：①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.；
[解析]　①DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC；
②D1C1∥DC，∠DCA＝45°，∴D1C1与AC成45°角；
③B1D1∥BD，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC；
④A1B∥D1C，△D1AC为等边三角形，∴成60°角；
⑤在正方体中，∵O是B1D1中点，∴O为A1C1中点，
又A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，
又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角；
⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边三角形，∴成60°角．

____度．
6.
随堂练习：
1. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
2. ①AB⊥EF； ②AB与CM所成的角为60°； ③EF与MN是异面直线； ④MN∥CD．
3. 以上结论中正确结论的序号为___ 答案：①③；

解析　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．

_____．

知识点2：
直线与平面所成的角：
(1)

定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．
如图所示，________就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；
当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是________；线面角θ的范围：________．
（ 答案：射影　锐角　∠PAO；
）

典型例题2：
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
2. (1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
3. (2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
4. (3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是____ 答案：(1)45°　(2)30°　(3)90°
解析　

(1)由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°．
(2)连接A1D、AD1，交点为O，
则易证A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1内的射影为OB，
∴A1B与面ABC1D1所成的角为∠A1BO，
∵A1O＝A1B，
∴∠A1BO＝30°．
(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，
∴A1B⊥面AB1C1D，即A1B与面AB1C1D所成的角为90°．
____．
5.
6.


随堂练习2：
1. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角． [分析]　找到PC在平面ABCD上的射影AC，则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角．

[解析]　如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，
所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．
在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝＝＝5.
则∠PCA＝45°，即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.

2.

知识点3：
二面角：
(1)二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．
________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．


(2)二面角的平面角

如图：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的________叫做二面角的平面角．二面角范围是：

注意：要掌握两种求二面角的方法

注意：
（1）任意两条直线的夹角范围是：________ （2）两条异面直线的夹角范围是：________
（3）两个向量所成的夹角范围是：________ （4）线面角的范围：________
（5）二面角的范围：________
答案：（ 答案：0°　[0°，180°]；
）

典型例题3：
1. 二面角指的是(   答案：C；
  )
2. A.两个平面相交所组成的角 B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形
3. C.一条直线出发的两个半平面组成的图形 D.两个平面所夹的不大于90°的角

4. 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.
5. (1)二面角A－PD－C的度数为________；(2)二面角B－PA－D的度数为________；
6. (3)二面角B－PA－C的度数为________；(4)二面角B－PC－D的度数为_____ [答案]　90°；90°；45°；120°；
[解析]　(1)PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，∴二面角A－PD－C为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA，∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角．
又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°.
(3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA，∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B－PA－C为45°.

(4)作BE⊥PC于E，连DE，
则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE，
从而△PBE≌△PDE，
∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE，
∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
∴BE＝＝a，BD＝a，
∴取BD中点O，则sin∠BEO＝＝，
∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°
∴二面角B－PC－D的度数为120°.

___．
7.
随堂练习3：
1. 下列命题中：
2. ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
3. ②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；
4. ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
5. ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，
6. 其中正确的是(　 [答案]　B；
[解析]　对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.
[点评]　根据二面角的相关概念进行分析判定．

　)
7. A．①③ B．②④ C．③④ D．①②

8. 正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于(　 [答案]　C；
[解析]　设AC、BD交于O，连A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，
∴∠A1OA为二面角的平面角．
tan∠A1OA＝＝，∴选C.

　)
9. A. B. C. D.
10.


《立体几何》专题19-2 线线角、线面角、二面角基本概念

1. 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则
2. ①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．
3. ②DB1与MN的位置关系为________，它们所成的角是____ [答案]　①相交　60°　②异面　90°；
[解析]　①连接AC、D1C由于P、Q分别为C1D1、C1C的中点，

所以PQ∥D1C，
同理MN∥AC，
则AC与D1C所成角即为MN与PQ所成角，∠D1CA＝60°.
②连接AC、BD交于O，
取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，

连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，
又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.

____．

4. 正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是(　 [答案]　C；
[解析]　∵A1D∥B1C，∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A1B.∵△A1DB为正三角形，
∴∠A1DB＝60°.

　)
5. A．30° B．45° C．60° D．90°

6. 如右图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与
7. 平面BB1D1D所成角的正弦值为( [答案]　D；
[解析]　取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，
又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，
∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，
在Rt△BOC1中，C1O＝，BC1＝＝，
∴sin∠OBC1＝.

　)
8. A. B. C. D.
9.
10. 以下三个命题中，正确的命题有(　 [答案]　B；
[解析]　仅②正确．

　)
11. ①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；
12. ③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小
13. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个


《立体几何》专题19-3 线线角、线面角、二面角基本概念

1. 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
2. (1)BC′与CD′所成的角为________；
3. (2)AD与BC′所成的角为____ 答案：(1)60°　(2)45°；
解析　

连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．

____．


4. 如右图，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心，
5. 则EF和CD所成的角是(　 答案：B；
　[

连接B1D1，则E为B1D1中点，
连接AB1，EF∥AB1，
又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]

　)
6. A．60° B．45° C．30° D．90°
7.
8.

9. 直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于(　 [答案]　B；
[解析]　根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.

　)
10. A．40° B．50° C．90° D．150°

11. 自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是(　 [答案]　B；

[解析]　如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.

　)
12. A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定



《立体几何》专题19-4 线线角、线面角、二面角基本概念

1. 如右图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是__ [答案]　④；
[解析]　由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；
由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.
所以②正确；
可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，
所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；
由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．

______．
2. ①BD∥平面CB1D1； ②AC1⊥BD；
3. ③AC1⊥平面CB1D1； ④异面直线AD与CB1所成的角为60°.
4.
5.
6. 线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（　 答案：C；
参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°.
答案：C
主要考察知识点:空间直线和平面
　）
7. A.30°       B.45°       C.60°        D.120°


8. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝___ [答案]　1；
[解析]　∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，
∴C1F⊥EF，CF⊥EF，
∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，
∴∠C1FC＝45°，
∴△FCC1是等腰直角三角形，
∴CF＝CC1＝AA1＝1.
又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.

_____.
9.
10.