北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系导学案

4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系

第1课时　利用向量方法求空间中的线线角、线面角和面面角

[笔记教材]

知识点一　两条直线所成的角

答案：

知识点二　直线与平面所成的角

直线与平面所成的角

(1)定义：平面α外的一条直线l与它在平面α内的________．

特别地：①若l∥a或l⊂a.则l与α的夹角为________．

②若l⊥α，则l与α的夹角为________．

(2)计算：设直线l的方向向量为l，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cosl，n|，且当0≤l，n≤π时，θ＝________；当<l，n≤π时，θ＝________.

答案：(1)投影的夹角　①0　②　(2)－l，n　l，n－

知识点三　平面与平面的夹角

　一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α－λ－β的平面角与两法向量所成的角n1，n2相等或互补．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝________＝________＝________.

答案：|cosn1，n2|　　

[重点理解]

1．对于两条直线所成角的辨析与提示

(1)关于共面直线的夹角

①当两条直线平行时，夹角为0°.

②当两条直线垂直时，夹角为90°.

(2)关于异面直线所成的角

异面直线夹角的概念指明了异面直线夹角的作法——平行构造法，同时指明了夹角的范围是.特别地，当夹角为时，称这两条异面直线垂直．

(3)关于直线方向向量的夹角和两直线夹角的关系

利用直线的方向向量求两条直线所成角时，要注意两条直线的方向向量所成角与两条直线所成角之间的关系．因为两条直线的方向向量所成角的范围是[0，π]，而两条直线所成角的范围是，所以这两者不一定相等，还可能互补．

2．对于两个平面所成角的辨析与提示

(1)辨析

①由平面间夹角的概念可知，空间两个平面的夹角范围为.

②当夹角为0时两个平面重合；当夹角为时，两个平面互相垂直．

(2)提示

①在两个平面相交所成的二面角的平面角(范围为[0，π])中，范围在内的角为这两个平面的夹角．

②两个相交平面的夹角为锐角或直角，而两个半平面所成的二面角的平面角还可以是钝角．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)直线与平面的夹角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．()

(2)平面间的夹角的大小范围是.(√)

(3)平面间的夹角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．()

(4)若直线l在平面α内，则l与平面α的夹角为0.(√)

2．若平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为(　　)

A．－   B.

C.   D．以上都不对

答案：B

3．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则直线l与平面α夹角的余弦值为(　　)

A．－   B.

C．－   D.

答案：D

4．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－1,2)，直线l2的一个方向向量为b＝(3，－2,0)，则两条直线夹角的余弦值为________．

答案：

5．如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．

答案：0

研习1  求两条直线所成的角

[典例1]　(1)《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线AE与CF所成角的大小为(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)已知直线l1的一个方向向量为s1＝(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2＝(－1,2，－2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值．

(1)[答案]　D

[解析]　方法一：如图，在平面ABFE中，过F作FG∥AE交AB于G，连接CG，则∠CFG或其补角为异面直线AE与CF所成的角．设EF＝1，则AB＝3，AD＝2.因为EF∥AB，AE∥FG，所以四边形AEFG为平行四边形，所以FG＝AE＝AD＝2，AG＝1，BG＝2，又AB⊥BC，所以GC＝＝2，又CF＝BC＝2，所以CG2＝GF2＋CF2，故∠CFG＝.故选D.

方法二：如图，以矩形ABCD的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系．因为四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，所以EF⊂平面yOz，且Oz是线段EF的垂直平分线．设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，A，E，C，F，所以＝(－1,1，)，＝(1，－1，)，所以·＝－1×1＋1×(－1)＋×＝0，所以⊥，所以异面直线AE与CF所成的角为.

故选D.

(2)[解]　∵s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，∴cos〈s1，s2〉＝＝＝－＜0，∴〈s1，s2〉>，∴直线l1与直线l2的夹角为π－〈s1，s2〉，∴直线l1与直线l2夹角的余弦值为.

[巧归纳]　1.考查异面直线夹角的计算问题，常用以下方法：(1)平移法，将异面直线通过平移转化成共面直线，结合三角形知识求解；(2)补形法：通过补形(一般是补一个相同的几何体)将异面直线通过平移转化成共面直线，结合三角形知识求解；(3)向量法：建立空间直角坐标系，结合向量夹角公式求解．

2．利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系．因为两条直线的方向向量的夹角的范围是[0，π]，而两条直线的夹角的范围是，所以这两者不一定相等，还可能互补．由于任意两条直线的夹角θ∈，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于|cos〈s1，s2〉|.

[练习1](2022山西吕梁贺昌中学模拟)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝A1A＝2，M，N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：D

解析：取AC的中点O，OB，OC分别为x轴、y轴，过点O，作平行于AA1的直线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示．

则A(0，－1,0)，B(，0,0)，M(，0,1)，C(0,1,0)，C1(0，1,2)，B1(，0,2)，N，

＝(，1,1)，＝，设直线AM与CN所成角为θ，则cos θ＝＝.故选D.

研习2  求直线与平面所成的角

[典例2]　(1)(2022江苏扬州邗江中学模拟)已知向量a＝(2，－3，)是直线l的方向向量，向量n＝(1,0,0)是平面α的法向量，则直线l与平面α所成的角为(　　)

A．30°   B．45°

C．60°   D．90°

(2)已知直线l的一个方向向量为s＝(1,0,0)，平面α的一个法向量为n＝(2,1,1)，求直线l与平面α夹角的正弦值．

(1)答案：A

[解析]　cos〈a，n〉＝＝＝，故向量夹角为60°，则直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.故选A.

(2)[解]　∵cos〈s，n〉＝＝＝＞0，∴〈s，n〉<，∴直线l与平面α的夹角θ＝－〈s，n〉，

∴sin θ＝sin＝cos〈s，n〉＝.即直线l与平面α夹角的正弦值为.

[巧归纳]　注意公式sin θ＝|cos〈n，a〉|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错．

[练习2](多选题)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　)

A．AC1与底面ABC所成角的正弦值为

B．AC1与底面ABC所成角的正弦值为

C．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为

D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为

答案：BC

解析：如下图，取A1C1的中点E，AC的中点F，A1B1的中点K，并连接EB1，EF，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB＝2，则AA1＝2.∴A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，A(0，－1,2)，C(0,1,2)，B(，0,0)．

∴＝(0,2，－2)．底面ABC所其中一个法向量为m＝(0,0,2)，∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为|cos〈m，〉|＝＝＝，

∴A错B对．

∵A1B1的中点K的坐标为，∴侧面AA1B1B的一个法向量为＝，

∴AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝，

故C对D错．故选BC.

研习3  求两个平面所成的角

[典例3]　如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值．

[解]　如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，

则S(0,0,1)，D，C(1,1,0)，B(0,1,0)，

∴＝，＝(1,1，－1)．

设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，则∴∴

令z＝1，得n＝(2，－1,1)．易得是平面SAB的一个法向量，且＝(1,0,0)，

∴cos〈，n〉＝＝.设平面SAB与平面SCD的夹角为θ，则cos θ＝.

[巧归纳]　利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出两平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)确定平面间夹角的大小．

[练习3](2022福建漳州三中模拟)(多选题)将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边AB＝，AC＝，那么下列说法正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ACD

B．四面体D－ABC的体积是

C．二面角A－BC－D的正切值是

D．BC与平面ACD所成角的正弦值是

答案：CD

解析：画出图象如下图所示．对于B选项，由于AD⊥BD，AD⊥CD，故∠BDC是二面角C－AD－B的平面角，则∠BDC＝120°，∵BD∩CD＝D，∴AD⊥平面BCD，

过B作BE⊥CD交CD的延长线于E，∵AD⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，∴AD⊥BE.

∵BE⊥CD，AD∩CD＝D，∴BE⊥平面ACD，故BE是三棱锥B－ACD的高．

在原图中，BC＝＝3，AD＝＝

＝，BD＝＝1，

∴CD＝＝＝2，BE＝BD×sin 60°＝1×＝，

所以VD－ABC＝VB－ACD＝××AD×CD×BE＝××2×＝，故B错误；

对于A选项，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴、y轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A(，0,0)，B，C(0,2,0)，＝，＝(－，2,0)，

设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，

则

取x＝，则y＝，z＝5，所以n＝(，，5)，易知平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)，则n·m＝5≠0，所以，平面ACD与平面ABC不垂直，故A错误；

对于C选项，平面BCD的一个法向量为a＝(1,0,0)，cos〈n，a〉＝＝＝，

sin〈n，a〉＝＝＝，

设二面角A－BC－D的平面角为θ，由图可知θ为锐角，

则tan θ＝|tan〈n，a〉|＝，故C正确；

对于D选项，＝，平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)，

则cos〈m，〉＝＝＝－，

因此，BC与平面ACD所成角的正弦值是，故D正确．故选CD.

1．在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这两个平面夹角的余弦值为(　　)

A.   B．－

C.   D.或－

答案：A

解析：由＝＝，知这两个平面夹角的余弦值为，故选A.

2．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　)

A．30°   B．45°

C．60°   D．90°

答案：C

解析：因为直线与平面所成角的范围是，所以l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角)，因为cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝60°.

3．在空间中，已知二面角α－l－β的大小为，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则〈n1，n2〉的大小为________．

答案：或

解析：因二面角α－l－β的大小是它们两个半平面的法向量夹角或夹角的补角．当二面角α－l－β的大小为时，则〈n1，n2〉的大小为或π－.

4．在一个锐二面角的两个面内分别有向量m＝(－1,2,0)，n＝(3,0，－2)，且m，n都与二面角的棱垂直，则该锐二面角的余弦值为________．

答案：

解析：由题意知，m，n所成的锐角即为二面角的平面角，∴cos〈m，n〉＝＝＝－.∴锐二面角的余弦值为.

5．已知平面α过定点A(1,2,1)，且法向量为n＝(1，－1,1)．已知平面外一点P(－1，－5，－1)，则PA与平面α夹角的正弦值为________．

答案：

解析：＝(2,7,2)，则cos〈，n〉＝＝＝－.

设PA与平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝.

[误区警示]

混淆直线的方向向量和平面法向量的

夹角与线面角致错

[示例1]　在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求EB与底面ABCD所成角的正弦值．

[错解]　设||＝1，则||＝1，||＝1，且，，两两垂直，可得||＝，||＝，

∴·＝(＋)·＝·＝×1×＝－，

∴cos〈，DP＝＝＝－，

∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为＝.

[错因分析]　误认为线面角等于直线的方向向量和平面的法向量的夹角．

[正解]　设||＝1，则||＝1，||＝1，且，，两两垂直，可得＝，||＝，

∴·＝(＋)·＝·＝×1×＝－，

∴cos〈，〉＝＝＝－.

∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为.

[题后总结]　用向量法求线面角θ时，sin θ＝|cos〈l，n〉|，注意直线的方向向量与平面的法向量的夹角不是线面角．