湘教版初中数学七年级下册第五单元《轴对称与旋转》单元测试卷（困难）（含答案解析）

湘教版初中数学七年级下册第五单元《轴对称与旋转》单元测试卷（困难）（含答案解析）

考试范围：第五单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，，为内一点，为上一点，为上一点，当的周长取最小值时，的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是(    )

A.   B.  
C.  D.

3.  如图，中，，，，点是上一动点，于，于，在点的运动过程中，线段的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列图形：线段、角、正方形、圆，其中是轴对称图形个数的为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  从平面镜中看到时钟示数为：，那么实际时间应为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

6.  如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有(    )

 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  如图，点是正内的一点，，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，中，，，，将绕点旋转一个角度到，直线、交于点，是的中点，连，在旋转过程中，最大值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  有两个全等的含角的直角三角板重叠在一起，如图，将绕的中点转动，斜边刚好过的直角顶点，且与的斜边交于点，连接、、若的长为，有以下五个结论：；；点是边的中点；四边形为矩形；，其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，已知中，，，，点在上，且，将线段绕点旋转至，为的中点，连结，则线段的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在中，，，，点为内一点，连接，，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图是正方形网络，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形，使黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  代数式的最小值是          ．

14.  如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则         ．
 

15.  如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，并分别延长交于点，则的长为______．

16.  如图所示，第个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第个，第个图案可以看成是第个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖          块．
 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

如图所给图形分别为正三角形、正方形、正五边形、正六边形．

分别说出它们各有几条对称轴．

分别画出各图形的所有对称轴．

通过你自己作图与思考，你发现了哪些规律试着写出几条．

18.  本小题分
如图，点在内，点、分别是点关于、的对称点，若的周长为，求的长．

19.  本小题分
如图，已知，是的平分线，点是射线上一点，点关于对称点在射线上，连接交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，作的平分线，射线与，分别交于点，．
依题意补全图形；
求的度数；用含的式子表示
写出一个的值，使得对于射线上任意的点总有点不与点重合，并证明．
 

20.  本小题分

在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接、，其中交直线与点。

依题意补全图；

若，求的度数；

如图，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明。

21.  本小题分
如图，在正方形中，在上，在上，且，按顺时针方向转动一个角度后成为．
图中哪一个点是旋转中心？
旋转了多少度？
指出图中的对应点、对应线段和对应角；
求的度数．

22.  本小题分
如图，网格中，每个小正方形边长为．
分别画出绕点逆时针旋转所得及关于点的中心对称图形；
连结，，判断形状并证明；
证明不在线段上．

23.  本小题分
如图的方格纸上画有、两条线段，按下列要求作图不保留作图痕迹，不要求写出作法
请你在图中画出线段、关于点成中心对称的图形；
请你在图中画出线段关于所在直线成轴对称的图形；
请你在图中添上一条线段，使图中的条线段组成一个轴对称图形，请画出所有情形．

24.  本小题分
综合与实践
问题情境：
如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点延长交于点，连接．
猜想证明：
试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
如图，若，，请直接写出的长．
 

25.  本小题分
如图，是由个白色正方形和个黑色正方形组成的“”型图形，按下列要求画图：

在图中，添个白色或黑色正方形，使它成轴对称图形；
在图中，以点为旋转中心，将图形顺时针旋转．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是最短路线问题及四边形的内角和定理，根据两点之间线段最短的知识画出图形是解答此类题目的关键．
设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数．
【解答】
解：分别作点关于、的对称点、，连接、、，连接分别交、于点、，连接、，此时周长的最小值等于．

由轴对称性质可得，，，，
，
，
又，，
．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的概念判断求解即可．
【解答】
解：是轴对称图形，故选项错误；
B.不是轴对称图形，故选项正确；
C.是轴对称图形，故选项错误；
D.是轴对称图形，故选项错误；
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
于，于，
，
，
、、、四点共圆，且直径为，
当时，的值最小四边形、、、四点共圆，是直径，是定值，故直径最小时，所对的弦最小，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
∽，
，
设，则，，，
取的中点，连接，则，
，
，
过作于，则，，
，
由勾股定理得：，
，
，即线段的最小值为．
故选：．
当时，线段的值最小，利用四点共圆的判定可得：、、、四点共圆，且直径为，得出，从而可得∽，，设，表示出和的长，代入比例式中，可求出的值．
本题考查了四点共圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的判断当时，线段的值最小是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：线段、角、正方形、圆，其中是轴对称图形的有：
线段、角、正方形、圆，共四个．
故选D．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：由镜面对称性可知，：在真实时间表示尚应该是：．
故选B．
根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
本题根据镜面对称解答即可，比较简单，解题的关键是能够找到规律．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称的性质，难点在于确定出对称轴的不同位置根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解．
【解答】
解：如图所示，对称轴有三种位置，与成轴对称的格点三角形有个．

故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，
，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，，
．
故选：．
把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以为边的三角形，根据三角形三边关系得出的长度范围是解题的关键．设，可得，根据四边形内角和可得，取的中点，连接、，则，，继而可得．

【解答】

解：是由绕点旋转得到，
，，，
设，

，

在四边形中，，
在中，，，，
，
如图，取的中点，连接、，

则，，
，
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：点是线段、线段的中点，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，故正确；
，，
，
，故正确；
，，
，故正确；
≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为矩形，故正确；
，
，，
，故错误；
故选：．
根据旋转的性质，可得，根据等腰三角形的性质，可得，根据等边三角形的判定，可得答案；
根据垂线的性质：过直线外一点与已知直线垂直的直线只有一条，可得答案；
根据等腰三角形的判定，可得答案
根据平行四边形的判定，可得四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得答案；
根据勾股定理可得的长，根据与的关系，可得的长，根据直角三角形的性质，可得答案．
本题考查了旋转的性质，利用了旋转的性质，矩形的判定，等边三角形的判定，直角三角形的性质，所用知识点较多，题目稍有难度．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查勾股定理，三角形中位线性质，直角三角形性质．取的中点，连接和，先由勾股定理求出的长，再由三角形是位线定理求出的长，根据点运动路径是一个圆，所以当、、三点共线时，且在线段延长线上，则最大，最大值为，即可得出答案．

【解答】

解：如图，取的中点，连接和，

由旋转可得，

在中，，由勾股定理，得

，

是中点，

，

，

是中点，是的中点，

，

如图，当、、三点在一条直线上时，即点在线段延长线上时，最大，

此时．

故选C．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
【解答】
解：如图，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，，过点作，交的延长线于，

≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，有最小值，
，，
，

，


，


，


，
故选D．
  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有种画法．根据轴对称图形的概念求解．

【解答】

解：如图所示，有个位置使之成为轴对称图形．

故选C．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，轴对称最短路径问题，先把原式化为的形式，再根据勾股定理构造出图形：作线段，在的同侧作，，使，，在上取一点，使，，作关于的对称点，连接，作，交的延长线于，然后利用轴对称最短路径的方法得出代数式的最小值为线段的长度，即可求出代数式的最小值．
【解答】
解：
构造图形，作线段，在的同侧作，，使，，
在上取一点，使，，
则由勾股定理得：，，

作关于的对称点，连接，作，交的延长线于，
则四边形是矩形，则，，则，
由对称性可知，，
的最小值为线段的长度，即的最小值为线段的长度，
的最小值．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了轴对称最短路线问题以及轴对称的性质，熟练掌握这些知识是解决本题的关键．
如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，，，，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，
，
作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
易知， ，
，，，
，
，，
，
解得．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，作于，
由题意得，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
≌，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
连接，作于，可证得≌，从而，进而得出平分，解斜三角形求得结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

16.【答案】 

【解析】解：第一个图案中，有白色的是个，后边是依次多个．
第个图案中，是．
第个图案中有白色六边形地面砖块．
故答案为：．
观察图形可知，第一个黑色地面砖由六个白色地面砖包围，再每增加一个黑色地面砖就要增加四个白色地面砖．
本题考查的是利用平移设计图案，主要培养学生的观察能力和空间想象能力，解题的关键是发现规律：在第一个图案的基础上，多一个图案，多块白色地砖．
 

17.【答案】解：分别有条、条、条、条对称轴．

略．

正边形有条对称轴，这些对称轴都相交于一点答案不唯一

【解析】见答案
 

18.【答案】解：点是点关于，的对称点，
垂直平分，
．
同理．
，
，
的周长为，
． 

【解析】根据轴对称的性质可知，，结合的周长为，利用等量代换可知．
此题考查轴对称的基本性质，将的周长转化为的长度是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示：


点关于的对称点为点，
，
，
，
于点，
；
取时，可使得对于射线上任意的点总有点不与点重合．
理由：连接．

，，
，
，
平分，
．
，
，
，
≌，
，
平分，
，
，
点的对称点为点，
，
是等腰直角三角形，
．
． 

【解析】由题意画出图形；
由等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余即可求解；
连接，由“”可证≌，可得，再证明是等腰直角三角形，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

20.【答案】解：

连接

则，
四边形是正方形 
 
 
 

连接、、 

由轴对称的性质可得：，， 
 
 
．

【解析】本题主要考查了应用轴对称的性质及正方形的性质、等腰三角形的性质解决问题．

根据轴对称的性质补全图形；

根据轴对称的性质和正方形的性质可以求出，，进而求出的度数；

由轴对称的性质可得：，，，再根据勾股定理可以得出．

21.【答案】解：点是旋转中心；

旋转了；

对应点：对，对，对；
对应线段：对，对，对；
对应角：对，对，对；

是绕点旋转得来的，且旋转角为，
，
又，
． 

【解析】、、观察图形，根据“按顺时针方向转动一个角度后成为”可知旋转中心、旋转角、对应点、对应角、对应线段；
由旋转角及，可得．
本题考查旋转的性质--旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
 

22.【答案】解：如图，和为所作；
解：为直角三角形．
理由如下：，，，
，
为直角三角形；
证明：，，，
，
不在线段上 

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出和；
先计算出，，，然后根据勾股定理的逆定理进行判断；
计算可判断不在线段上．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理的逆定理．
 

23.【答案】解：每条线分
 

【解析】连接并延长到，使，得到的对应点，同法得到其他各点的对应点即可；
做于点，并延长到，使，连接即可；
轴对称图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合．
本题考查对称轴和中心对称作图，掌握画图的方法和图形的特点是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
；
理由如下：如图，过点作于，

，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
≌，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
；
． 

【解析】

【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由旋转的性质可得，，，进而可证四边形是正方形；
过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得≌，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
如图，过点作于，

四边形是正方形，
，
，，，
，
，
，
由可知：≌
，，
，
．  

25.【答案】解：如图所示：

如图所示： 

【解析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；
利用旋转的性质得出对应点正方形位置进而得出答案．
此题主要考查了旋转变换和利用轴对称设计图案，正确得出旋转后图形位置是解题关键．