2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题1二次函数的图象与性质学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题1二次函数的图象与性质学案，共19页。学案主要包含了二次函数的定义，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程及不等式等内容，欢迎下载使用。

二次函数的图像和性质
知识点一、二次函数的定义
1、定义：形如__________________________的函数.
要点点拨：
(1)等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.
(2)a，b，c为常数，且a≠0.
(3)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
(4)x的取值范围是任意实数.
知识点二、二次函数的图象和性质
二次函数的图象都是抛物线，画图象的三步为:列表、描点、 连线.
1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小.
a值
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0，0)
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；
x<0时，y随x的增大而减小；
x=0时，y有最小值0.
a<0
向下
(0，0)
y轴
x>0时，y随x的增大而减小；
x<0时，y随x的增大而增大；
x=0时，y有最大值0.









2.二次函数y=ax2+k的图象和性质：上加下减
a值
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(0，k)
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随的增大而减小；x=0时，y有最小值k.
a<0
向下
(0，k)
y轴
x>0时，y随的增大而减小；x<0时，y随的增大而增大；x=0时，y有最大值k.






总结: 二次函数y=ax2+k图象与二次函数y=ax2图象的关系，简记为“上加下减”.
当k>0时，可将抛物线y=ax2向_____平移个单位得到y=ax2+k；
当k<0时，可将抛物线y=ax2向_____平移个单位得到y=ax2+k.
3.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质：左加右减.
a值
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h，0)
x=h
x>h时，y随x的增大而增大；x a<0
向下
(h，0)
x=h
x>h时，y随的增大而减小；x 总结: 二次函数y=a(x-h)2图象与二次函数y=ax2图象的关系，简记为“左加右减”
当h>0时，可将抛物线y=ax2向_____平移个单位得到y=a(x-h)2;
当h<0时，可将抛物线y=ax2向_____平移个单位得到y=a(x-h)2.
4.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
a值
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h，k)
x=h
x>h时，y随x的增大而增大；x a<0
向下
(h，k)
x=h
x>h时，y随x的增大而减小；x
总结: 二次函数y=a(x-h)2+k图象与二次函数y=ax2图象的关系
把抛物线y=ax2向上(下)、向右(左)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律:
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.
概括成八个字:“左加右减，上加下减”.
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识点1:二次函数y=ax2+bx+c图象的特征
 ①图象是_______;②对称轴是直线_______;③顶点是_______.
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是最低点.
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是最高点.
知识点2:二次函数y=ax2+bx+c图象的性质
从二次函数y=ax2+bx+c图象可知:
①如果a>0，当_______时，y随x的增大而减小，当_______时，y随x的增大而增大;
②如果a<0，当_______时，y随x的增大而增大，当_______时，y随x的增大而减小.
知识点3: 二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x-h)2+k的关系
1.利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)2+k，
即：y=ax2+bx+c
=a()
=a
=a
二次函数的图象是一条关于直线x=-对称的抛物线，它的顶点是（）.
b) 增减性：a＞0，开口向上，当x＜-时，y随着x的增大而减小，当x＞-时，y随着x的增大而增大；a＜0，开口向下，当x＜-时，y随着x的增大而增大，当x＞-时，y随着x的增大而减小；
c) 最值：a＞0，开口向上，抛物线有最小值，当x=-时，y最小=；a＜0，开口向下，抛物线有最大值，当x=-时，y最大=
（3）抛物线的运动变换
a)平移：平移 左右平移变化x，左加右减，上下平移变化y，上加下减
b)轴对称：y=ax2+bx+c关于x轴对称 y=－ax2－bx－c； y=ax2+bx+c关于y轴对称 y= ax2－bx+c
c)中心对称：y=ax2+bx+c关于x轴对称 y=－ax2＋bx－c
d)顶点对称：顶点不变，a相反，y=-a(x-h)2+k
顶点式：或y=a
【经典例题1】已知抛物线 y=x2-（k+2）x+9 的顶点在坐标轴上，则 k的值为 ．
【解析】当抛物线y=x2-（k+2）x+9 的顶点在x轴上时，△=0，即△=(k+2)2−4×9=0，
解得k=4或k=−8；
当抛物线y=x2-（k+2）x+9的顶点在y轴上时，x=−=−=0，解得k=−2.
故答案为：4，−8，−2.
练习1-1一抛物线的形状、开口方向与y=相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
练习1-2二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标为（-3，1），则b= ，c= .
练习1-3已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=−t2+24t+1．则下列说法中正确的是（ ）
A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同
B.点火后24s火箭落于地面
C.点火后10s的升空高度为139m
D.火箭升空的最大高度为145m

练习1-4在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是( )
A. y的最小值为1
B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2
C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到


平移类
【经典例题2】将抛物线y = x2 -6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是 .
【解析】y = x2 -6x+5=(x-3)2-4，上移2个单位长度后变成y=(x-3)2-2，右平移1个单位长度后变成y=(x-4)2-2.
【变式】已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
练习2-1(2019·西藏中考)把函数y＝－x2的图象经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝－(x－1)2＋1的图象(　　)
A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位
练习2-2(2019·广西百色中考)抛物线y＝x2＋6x＋7是由抛物线y＝x2如何平移得到的(　　)A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B.先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D.先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
练习2-3（2018∙绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（　　）
A. (−3，−6) B. (−3，0) C. (−3，−5) D. (−3，−1)
练习2-4（2019∙淄博）将二次函数y=x2−4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线y=2有两个交点，则a的取值范围是( )
A. a>3 B. a<3 C. a>5 D. a<5
练习2-5（2019∙绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5)(x−3)经变换后得到抛物线y=(x+3)(x−5)，则这个变换可以是( )
A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位
练习2-6（2019∙玉林）已知抛物线C:y=−1，顶点为D，将C沿水平方向向右(或向左)平移m个单位，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1=60°，则m等于( )

A. ±4 B. ±2 C. −2或2 D. −4或4
练习2-7（2019∙资阳）如图是函数y=x2−2x-3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（   ）
A.m≥1 B.m≤0 C. 0≤m≤1 D. m≥1或m≤0




翻折类
【经典例题3】将抛物线y=x2−2x-3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为　　
A.y=-x2+2x+3 B.y=-x2−2x-3 C.y=x2+2x-3 D.y=x2−2x+3
【解析】A
练习3-1如图，将抛物线y=﹣x2+x+5的图象x轴上方的部分沿x轴折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象.则新图象与直线y=﹣5的交点个数为（　　）
A.1　　　　　　B.2　　　　　　C.3　　　　　　D.4

练习3-2某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
...
-3
-
-2
-1
0
1
2

3
...
y
...
3

m
-1
0
-1
0

3
...
其中，m=___.
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分。
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质。
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有___个交点，所以对应的方程x2−2|x|=0有___个实数根；
②方程x2−2|x|=2有___个实数根；
③关于x的方程x2−2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是___.

比较大小
【经典例题4】若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是(　B　)
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y1＞y2

练习4-1已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）.若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ）
A.y1 练习4-2[2017·衡阳] 已知函数 y=-(x-1)2图象上两点 A(2，y1)，B(a，y2)，其中 a>2，则 y1与 y2的大小关系是 y1 y2(填“<”“>”或“=”).
练习4-3已知二次函数 y=-(x-1)2+2，当 t
知识点四、二次函数与一元二次方程及不等式
知识点1:二次函数与一元二次方程的关系

二次函数y=ax2+bx+c的图象与_____轴交点的___________是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
知识点2: 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象解不等式
从形上： 
不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c图象位于x轴___方的所有点的横坐标；
不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是二次函数y=ax2+bx+c图象位于x轴___方的所有点的横坐标.
从数上：
当二次函数y=ax2+bx+c<0(a≠0)的函数值______时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c>0的解集；
当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值______时，其自变量x的取值范围是不等式ax2+bx+c<0的解集.
【经典例题5】如图，抛物线y= ax 2+c与直线y= mx+n交于A(-1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2+mx+c>n的解集是 .







【解析】∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1，p)，B(3，q)两点，
∴−m+n=p，3m+n=q，
∴抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n交于P(1，p)，Q(−3，q)两点，
观察函数图象可知：当x<−3或x>1时，直线y=−mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的下方，
∴不等式ax2+mx+c>n的解集为x<−3或x>1.
故答案为：x<−3或x>1.

练习5-1下图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______.
练习5-2如图，已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=−1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线l上的点，且−1

考点：二次函数与一元二次方程；判别式
【经典例题6】已知二次函数y=x2-x+的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )
【解析】根据≥0，得m≤
练习6-1已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，－3.2)及部分图象(如图)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3 和x2＝(　　)
A.－1.3 B.－2.3 C.－0.3 D.－3.3

练习6-2(2019·山东淄博中考)将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是(　　)
A.a＞3 B.a＜3 C.a＞5 D.a＜5
练习6-3(2019·广西梧州中考)已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是(　　)
A.x1＜－1＜2＜x2 B.－1＜x1＜2＜x2 C.－1＜x1＜x2＜2 D.x1＜－1＜x2＜2
练习6-4若直线y=x-n与抛物线y = x2-x-n的交点在x轴上，则n的取值一定为 （ ）
A.0 B.2 C.0或2 D.任意实数
练习6-5已知函数的图象如图所示，若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为_____.

判断函数图象
【经典例题7】在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a的图象可能是(　C　)

练习7-1（2019∙青岛）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

练习7-2（2019∙深圳）已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则y=ax+b和y=的图象为( )


练习7-3在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（ ）

练习7-4在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝(b≠0)与二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象大致是( )

练习7-5(2019·攀枝花)在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是( )

练习7-6一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=的图象如图所示，则二次函数 y=ax2+bx+c 的大致图象是( )

练习7-7（2019•新泰市二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
练习7-8（大庆模拟）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A. B. C. D.

【经典例题8】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
则点(b，)在第 四 象限.

练习8-1如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则一次函数y=ax−bc的图象不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

练习8-2二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点（）在直角坐标系中的( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
练习8-3已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( )

A. B. C. D.
练习8-4如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )
A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m

练习8-5已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且，，则P，Q的大小关系是( )

练习8-6如图，一段抛物线：y:-x(x-2)(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；...，如此进行下去，直到得到C6，若点P(11，m)在第6段抛物线C6上，则m= .



参考答案
【解析】练习1-1C
练习1-2b=6，c=10.
练习1-3D
练习1-4C
平移类
变式B、
练习2-1C
练习2-2A
练习2-3B
练习2-4D
练习2-5B
练习2-6A
练习2-7C
翻折类
练习3-1 D
练习3-2 (1)0 (2)图略 (3)①函数的图象关于y轴对称；②当x>1时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）(4)3，3，2，-1 比较大小【解析】练习4-1B、练习4-2 >、练习4-3 1≤t<5
解析】练习5-1 -2≤x≤1
练习5-2 y3＞y1＞y2
【解析】练习6-1D
练习6-2D
练习6-3A
练习6-4C
练习6-5 0 练习7-1C
练习7-2C
练习7-3D
练习7-4D
练习7-5C
练习7-6A
练习7-7C
练习7-8C
练习8-1D
练习8-2C
练习8-3C
练习8-4C
练习8-5 P>Q
练习8-6 ∵y=−x(x−2)(0⩽x⩽2)，
∴配方可得y=−(x−1)2+1(0⩽x⩽2)，
∴顶点坐标为(1，1)，
∴A1坐标为(2，0)
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为(3，−1)，A2(4，0)；
照此类推可得，C3顶点坐标为(5，1)，A3(6，0)；
C4顶点坐标为(7，−1)，A4(8，0)；

C5顶点坐标为(9，1)，A5(10，0)；
C6顶点坐标为(11，−1)，A6(12，0)；
∴m=−1.
故选B.