（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 第九讲 二次函数的图象与性质（原卷版+解析版）

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第九讲二次函数的图象与性质
考点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
【微点拨】
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
考点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0，0)

(轴)
(0，)


(，0)


(，)


()
2.抛物线的三要素：
　　开口方向、对称轴、顶点.
　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
【微点拨】
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

考点三、二次函数与一元二次方程的关系
　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：





的图象




的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解

方程没有实数解

【微点拨】
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
命题点1二次函数的基本性质
类型一开口方向、对称轴及顶点的确定(含解析式转化)
1.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝－1.则下列选项中正确的是
A．abc<0 B．4ac－b2>0 C．c－a>0 D．当x＝－n2－2(n为实数)时，y≥c
【答案】D
【解析】本题考查了二次函数的图象和性质.∵抛物线开口向上，所以a＞0，∵二次函数图象的对称轴为x＝－1，所以－＝－1，所以b＝2a>0，∵抛物线与y轴正半轴交于点C，所以c＞0，所以abc>0，A错误；∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，∴ 4ac－b2<0，B错误；∵b＝2a，∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝c－a＜0，∴C错误；当x＝－n2－2(n为实数)时，y＝a(－n2－2)2＋b(－n2－2)＋c＝a(－n2－2)2＋2a(－n2－2)＋c＝a(n2＋1)2－a＋c，∵n为实数，∴n2≥0，(n2＋1)2≥1.又∵a＞0，∴a(n2＋1)2－a≥0.又∵c＞0，∴y≥c，∴D正确，因此本题选D．
2.设函数（a，h，k是实数，），当时，；当时，，（　　）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的图象，因为在中，当时，；当时，，所以抛物线经过点A（1，1），（8，8）．当抛物线开口向上时，如图①，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，则点C在点B的左侧，所以h＜(1＋8)，即h＜4.5．如抛物线开口向下时，如图②，过点B作BD∥x轴交抛物线于点D，则点D在点A的右侧，所以h＞(1＋8)，即h＞4.5．综合知，当h＜4.5时，a＞0；当h＞4.5时，a＜0，因此本题选C．
①
②

3.如图，直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A、B两点，则y= ax2+（b-k）x+c的图象可能是（ ）

【答案】B
【解析】由直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c的图象可知k＞0，a＜0，b＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0，所以b﹣k＜0，（b-k）2﹣4ac= b2﹣2bk＋k2－4ac＞0，即y= ax2+（b-k）x+c的图象开口向下，对称轴在y轴的左侧且与x轴有两个交点．
4.物线y＝的对称轴是（　　　）
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
【答案】Ｃ
【解析】设二次函数的解析式是y=， 则二次函数的对称轴为直线,顶点横坐标为顶点纵坐标为.所以抛物线y＝的对称轴是直线 .故选Ｃ．

类型二与增减性最值有关的问题
5.已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
【答案】
【解析】本题考查了二次函数的增减性，当a＞0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，由对称轴x＝，知（-3，y1）和（-1，y1）对称，因为a＝-3＜0，所以当x≥-2时，y随x的增大而减小，-2＜-1＜1，所以y2＞y1＞y3，因此本题选B．
6.已知二次函数y=x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（ ）
A．当n－m=1时，b－a有最小值. B．当n－m=1时，b－a有最大值.
C．当b－a=1时，n－m无最小值. D．当b－a=1时，n－m有最大值.【答案】B
【解析】，解：①当b﹣a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，∵点A，B在抛物线y＝x2上，∴0°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥0，∴n﹣m≥0，即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H，同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝.
∵点M，N在抛物线y＝x2上，∴m≥0，当m＝0时，n＝1，∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，
∴≥1，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误. 因此本题选B．

图1 图2
6.如图，二次函数y＝a(x＋1) 2＋k的图象与x轴交于A (－3，0)， B两点，下列说法错误的是( )
A．a<0 B．图象的对称轴为直线x＝－1
C．点B的坐标为(1，0) D．当x<0时，y随x的增大而增大

【答案】D
【解析】本题考查了二次函数的图象与系数a、b、c的关系．∵抛物线开口向下，∴a<0，故A正确；∵二次函数y＝a(x＋1) 2＋k的顶点坐标为(－1，k) ，∴图象的对称轴为直线x＝－1，故B正确；由抛物线的对称性，得B(2， 0) ，故C正确；由图象得，当x<－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小，故D错；综上此题选D．
7.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随着x的增大而减小．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个


【答案】B
【解析】（1）由抛物线开口向上且与y轴的负半轴相交，得a＞0，c＜0，从而ac＜0，于是①正确；（2）由抛物线的对称轴为x＝1，得－＝1，于是b＝－2a．由抛物线过点(－1，0)，得a－b＋c＝0，于是a－(－2a)＋c＝0，即3a＋c＝0，从而②正确；（3）由抛物线与x轴有两个不同的交点，得b2－4ac＞0，从而4ac－b2＜0，于是③正确；（4）由图可知，当－1＜x≤1时，y随着x的增大而减小，当x＞1时，y随着x的增大而增大，于是④错误．综上，结论正确的有3个，故选B．
8.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】 C
【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
9.二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是
A. 若（-2，y1）,（5，y2）是图象上两点，则y1＞y2
B.
C. 方程有两个不相等的实数根
D. 当时，y随x的增大而减小

【答案】D
【解析】∵抛物线的对称轴是x=1，所以x=-2与x=4时的函数值相等，所以若（-2，y1）,（5，y2）是图象上两点，则y1＞y2本选项正确；
∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a. 由函数的图象知：当x＝﹣1时，y=0；即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故本选项正确；
∵抛物线与直线y=-2有两个不同的交点，所以 方程有两个不相等的实数根，故本选项正确；
∵抛物线在对称轴x＝1的左侧或左侧，y随着x的增大而增大（或减小），故本选项错误.
10.二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则（ ）
A. B. C. D. 、的大小无法确定
【答案】B
【解析】
首先分析出a,b,x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1,y2，再作差法比较y1,y2的大小.
∵，b20,
∴a>0.
又∵，
∴b<0
∵，，
∴,x1<0.
∵点，在该二次函数的图象上
∴，.
∴y1-y2=2bx1>0.
∴y1>y2.
故选：B.
11.已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，可得：抛物线开口向下，对称轴为x=－1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵－1＜1＜2，∴2＞y1＞y2，故选A.
【知识点】二次函数的图象和性质
12.若二次函数y＝｜a｜x2＋bx＋c的图象经过A(m，n)、B(0，y1)、C(3－m，n)、D(， y2)、E(2，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1< y2< y3 B． y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D． y2< y3< y1
【答案】D
【解析】把A(m，n)、C(3－m，n)两点分别代入y＝｜a｜x2＋bx＋c，得｜a｜m2＋bm＝｜a｜＋b（3－m），整理得b＝－3｜a｜，对称轴x＝－＝.∵｜a｜＞0，开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴右侧y随x的增大而增大，∵0＜＜＜3－＜2，∴y2< y3< y1．
.
13.如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（　　）

A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
【答案】C
【解析】如图1所示，当t等于0时，

∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），∴当m＝0时，D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，
故选：C．

【知识点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值

类型三二次函数图象上点的坐标特征
14.关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D．y的最小值为﹣9
【答案】D
【解析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；故选：D．
15.如图9，现要在抛物线y=x（4-x）上找点P（a,b）.针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲:若b=5，则点P的个数为0；
乙:若b=4，则点P的个数为1；
丙:若b=3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是
A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，丙对

【答案】C
【解析】∵y=x(4-x)=-x2+4x=-（x-2）2+4,∴抛物线的顶点坐标为（2,4），即点P的纵坐标的最大值为4.∴当b=5时，点P的个数为0；当b=4时，点P的个数为1；当b=3时，点P的个数为2.故甲和丙判断错误，乙判断正确，答案为C.
16.如图，抛物线的图象（a≠0）与轴交于A、B两点，其对称轴与轴交于点C，其中A，C两点的横坐标分别为-1和1，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.当时，随的增大而减小

【答案】B
【解析】(1)∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴－＞0．∴b＞0．∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0．∴abc＜0．可见结论①正确；(2) 对称轴与轴交于点C，其中A，C两点的横坐标分别为-1和1，∴B点的坐标为（3，0），对称轴为，∴，当时，，∴，，∴，即，可见结论②错误；(3) 当时，，∴当=时，，∴有，可见结论③正确；（4）当时，随的增大而减小，∴当时，随的增大而减小，故见结论④正确．
类型四与坐标轴交点有关的问题
17.在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中，，是正实数，且满足．设函数，，的图象与轴的交点个数分别为，，，（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【解析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．考虑选项A，因为M1＝2，M2＝2，所以a2－4×1×1＞0，b2－4×1×2＞0，所以a2＞5，b2＞8．因为b2＝ac，不妨取a＝4，b＝6，则c＝9，此时c2－4×1×4＝92－4×1×4＞0，所以M3＝2，选项A不正确．考虑选项B，M1＝1，M2＝0，所以a2－4×1×1＝0，b2－4×1×2＜0，所以a＝2（舍去－2），b2＜8．因为b2＝ac，所以c＝b2，此时c2－4×1×4＝b4－16＝(b4－64)＝ (b2＋8)(b2－8)，因为b2＜8，b2＞0，所以(b2＋8)(b2－8)＜0，所以c2－4×1×4＜0，M3＝0，此选项正确，因此本题选B．
18.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（　　）

A．二次函数的最大值为a﹣b+c B．a+b+c＞0
C．b2﹣4ac＞0 D．2a+b＝0
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c 满足的关系进行综合判断即可．
【解析】：抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
因此有：x＝﹣1，即2a﹣b＝0，因此选项D符合题意；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c的值最大，选项A不符合题意；
抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故选项C不符合题意；
故选：D．
19.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A．M=N-1或M=N+1 B．M=n-1或M=N+2 C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1
【答案】A
【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N或M=N+1．故选C．

命题点2与二次函数图象有关的判断
20.小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
其中错误结论的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）,
①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1,
∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上,
故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,
令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，
解得：x＝m﹣，x＝m+，
∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,
∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,
解得：m＝0或1,
∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,
故结论②正确；
③∵x1+x2＞2m,
∴,
∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m,
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,
∵x1＜x2，且﹣1＜0,
∴y1＞y2,
故结论③错误；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0,
∴m的取值范围为m≥2．
故结论④正确．
故选C．







21.在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是（ ）







A． B． C． D．
【答案】C
【解析】据参数符号可排除A、D选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C．
【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象
22.一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是（ ）


【答案】A.
【解析】∵双曲线y=经过一、三象限，
∴c＞0.
∴抛物线与y轴交于正半轴.
∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，
∴a＜0，b＞0，即＜0.
∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.

命题点3与系数a，b，c有关的判断
23.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（　　）

A．二次函数的最大值为a﹣b+c B．a+b+c＞0
C．b2﹣4ac＞0 D．2a+b＝0
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c 满足的关系进行综合判断即可．
【解析】：抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
因此有：x＝﹣1，即2a﹣b＝0，因此选项D符合题意；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c的值最大，选项A不符合题意；
抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故选项C不符合题意；
故选：D．
24.已知二次函数如图所示，下列结论:①ae＜0，②b-2a＜0，③＜0，④a-b+c＜0，正确的是（ ）
A. ①② B.①④ C.②③ D.②④

【答案】A
【解析】∵抛物线开口向下，且与y的正半轴相交，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①正确；
∵对称轴在-1至-2之间，∴，∴4a＜b＜2a，∴b-2a＜0，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=＞0，∴③错误；
∵当x=-1时，y=a-b+c＞0，∴④错误.
∴正确的说法是①②.故选A.
25.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac＞0；③5a-2b+c＞0； ④4b+3c＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第12题图

【答案】A
【解析】根据对称轴得b=3a，故可得3a –b=0，所以结论①正确；由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2-4ac＞0，结论②正确；根据结论①可知b=3a，∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c，观察图像可知a＜0,c＞0，∴5a-2b+c=-a+c＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x=1时，y=a+b+c＜0，∵a=，∴+c＜0，∴4b+3c＜0，所以结论④错误.故选A.
26.二次函数的图象如图所示，下列结论：
；；；．
其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】 B
【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.
∵抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根，
，故正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线，
，，故正确，由图象知，抛物线开口方向向下，
.∵，.∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，.
，故正确，由图象知，当时，，，故错误.
综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B．

命题点4二次函数解析式的确定
27.在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b是实数，）．若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．
【解析】本题考查了待定系数法，点的坐标的意义，一元二次方程的根的定义，二次函数的性质．（1）由y1的对称轴是直线x＝3求得b＝－6，再利用y1的图象经过点（a，b）求得a的值，从而得到y1的函数表达式．
【答案】由题意得＝3，∴b＝－6．∵函数y1的图象经过点（a，b），∴a2－6a＋a＝－6，解得a＝2或a＝3．∴y1＝x2－6x＋2或y1＝x2－6x＋3．
28.如图，已知抛物线过点求抛物线的解析式。
【答案】解：把点代入，得到，，抛物线的解析式为．
29.已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.

图1
【答案】
设所求抛物线的解析式为
由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.
解之，得
抛物线的解析式为

该抛物线的顶点坐标为.
【总结】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围.
30.已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.
【答案】
因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，
所以两交点的横坐标分别为： ，， 则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：
解法：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a≠0)，把（2，0）代入得，
所以抛物线的函数关系式为；
解法：设抛物线的函数关系式为两点式：(a≠0)，
把（－1，4）代入得，
所以抛物线的函数关系式为：；
【总结】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.
命题点5二次函数与一元二次方程的关系
31.已知抛物线．求：(1)k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
(2)k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；(3)k为何值时，抛物线与x轴没有交点．
【答案】
．
(1)当，且，即当k＞-3且k≠-1时，抛物线与x轴有两个交点．
(2)当，且2(k+1)≠0．即当k＝-3时，抛物线与x轴有唯一交点．
(3)当b2-4ac＝8k+24＜0，且2(k+1)≠0．即当k＜-3时，抛物线与x轴不相交．
【总结】根据抛物线与x轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与x轴的交点个数，推出△值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求解．
特别提醒：易忽视二次项系数2(k+1)≠0这一隐含条件．
32.已知关于x的二次函数．
(1)探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数为2，1，0．
(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(，0)，B(，0)，且与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．
【答案】
(1)令y＝0，得：，△＝，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即，∴ ．
此时，y的图象与x轴有两个交点．
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，即，∴ ．
此时，y的图象与x轴只有一个交点．
当△＜0时，方程没有实数根，即，∴ ．
此时，y的图象与x轴没有交点．
∴ 当时，y的图象与x轴的交点的个数为2；
当时，y的图象与x轴的交点的个数为1；
当时，y的图象与x轴的交点的个数为0．
(2)由根与系数的关系得，．
．
∵ ，∴ ，∴ ，
解得：，．
∵ ，∴ m＝-1．∴ ．
令x＝0，得，∴ 二次函数y的图象与y轴的交点C的坐标为(0，2)．
又，∴ 顶点M的坐标为．
设过C(0，2)与M的直线解析式为，
则 解得
∴ 直线CM的解析式为．
【总结】根据二次函数与一元二次方程的关系，将函数转化为一元二次方程，再利用判别式，讨论二次函数的图象与x轴的交点个数，利用根与系数关系建立关于m的方程，求出m值，得二次函数解析式，分别求出C点、M点坐标，进而求出直线方程．
命题点6二次函数图象与性质综合应用
33.如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．


【答案】
解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：x＜﹣2或x＞1．
（3）∵对称轴：x=﹣1．∴D（﹣2，3）；
设直线BD：y=mx+n 代入B（1，0），D（﹣2，3）：
，
解得：，
故直线BD的解析式为：y=﹣x+1，
把x=0代入求得E（0，1）
∴OE=1，
又∵AB=4
∴S△ADE=×4×3﹣×4×1=4．

【总结】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键．
34.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与A、C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M、N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△MN．设点P的纵坐标为m．
①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；
②是否存在点P，使S△A′MN＝S△OA′B，若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】本题考查了待定系数法，旋转的性质，三角形全等的判定方法，点的坐标定义，数形结合思想，方程思想等．（1）先求点B的坐标，再设顶点式求抛物线的解析式；（2）①转化为求点P的两个极限位置（最高与最低）时m的值；②分别用含m的代数式表示出△A′MN和△OA′B的面积，进而利用方程思想求解．需要注意的是，要对点P的位置分类求解．
【答案】解：（1）如答图①，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠ODA＝∠OEB＝90°．由旋转得∠AOB＝90°，OA＝OB，又∵∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOB，∴∠DOA＝∠BOE．在△OAD和△OBE中，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴OD＝OE，AD＝BE．∵A（1，3），∴AD＝1，OD＝3，∴OE＝3，BE＝1．∵点B在第四象限，∴点B的坐标为（3，－1）．设抛物线的解析式为y＝a(x＋h)2＋k（a≠0），∵顶点A的坐标为（1，3），∴y＝a(x－1)2＋3．∵抛物线经过点B（3，－1），∴－1＝a(3－1)2＋3，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3．
①

（2）①当点M在边OB上时，此时点A′不在△OAB的内部，不符合题意；当点M在边OA上时，如答图①，设直线OB的函数关系式为y＝kx（k≠0），把B（3，－1）代入，得－1＝3k，解得k＝，∴直线OB的函数关系式为y＝x．当x＝1时，y＝，∴点C的坐标为（1，）．又∵A（1，3），P（1，m），∴AC＝3＝，AP＝3－m．当点A′与点C重合时， 2AP＝AC．∴2(3－m)＝，解得m＝．∵点A′在△OAB的内部，∴m＞．又∵点P在线段AC上且不与点A重合，∴m＜3．∴当△A′MN在△OAB内部时，m的取值范围为＜m＜3．
②当点M在边OA时，如答图②，设OA的函数表达式为y＝k1x（k1≠0），把点A（1，3）代入得3＝k，即k＝3，∴OA的函数表达式为y＝3x．同理直线AB的函数表达式为y＝－2x＋5．∵点P的纵坐标为m，∴点M，N的纵坐标为m．在y＝3x中，当y＝m时，m＝3x，解得x＝m．∴点M的坐标为（m，m）．在y＝－2x＋5中，当y＝m时，m＝－2x＋5，解得x＝，∴点N的坐标为（，m），∴MN＝m＝，又∵AP＝3－m，∴S△AMN＝MN·AP＝××(3－m)＝(3－m)2．由折叠得△AMN≌△A′MN，∴S△A′MN＝S△AMN＝(3－m)2．∵A（1，3），P（1，m），又由折叠得点A′与点A关于点P对称，∴A′（1，2m－3）．∵C（1，），∴A′C＝＝2，又∵B（3，－1），∴S△OA′B＝S△A′CO＋S△A′CB＝×2×1＋×2×(3－1)＝．∵S△A′MN＝S△OA′B，∴(3－m)2＝×，解得m＝6－（舍去6＋）．当M在边OC上时，如答图③，同理可求M（－3m，m），N（，m），∴MN＝－(－3m)＝，A′P＝AP＝3－m．∴S△A′MN＝××(3－m)＝m2＋m＋，同理可求S△OA′B＝4－3m．∵S△A′MN＝S△OA′B，∴m2＋m＋＝(4－3m)，解得m＝（舍去）．综上所述，m的值为6－或．
②
③

命题点7二次函数图象的变换
类型一平移
35.二次函数的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【答案】C
【解析】由于 A选项平移后的解析式为y=(x+2)2-2，当x=2时，y=14，所以它不经过（2，0）；B选项平移后的解析式为y=(x+1)2+2，当x=2时，y=7，所以它不经过（2，0）；C选项平移后的解析式为y=(x-1)2-1，当x=2时，y=0，所以它经过（2，0）；D选项平移后的解析式为y=(x-2)2+1，当x=2时，y=1，它不经过（2，0），因此本题选C.
36.将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（ ）
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2－1 D．y＝(x－1)2＋5
【答案】D
【解析】将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是y＝(x－1)2＋2＋3，即y＝(x－1)2＋5，故选D．
37.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为，因此本题选D．
38.把抛物线C1：yx2＋2x＋3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，－6）能否在抛物线C2上？请说明理由；
（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
解：（1）抛物线C2的函数关系式为：
yx2－6x＋6 或y (x－3)2－3；
（2）动点P不在抛物线C2上.
理由如下：∵抛物线C2的顶点为（3，－3），开口向上，
∴ 抛物线C2的最低点的纵坐标为－3.
∵ yP－6＜－3，
∴ 动点P不在抛物线C2上；
（3） y1＞y2.
理由如下：由（1）知抛物线C2的对称轴是x3，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，
∴y1＞y2.
类型二轴对称(折叠)
39.如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（　　）

A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
【答案】C
【解析】如图1所示，当t等于0时，

∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），∴当m＝0时，D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，
故选：C．

【知识点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值


类型三中心对称或旋转
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与A、C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M、N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△MN．设点P的纵坐标为m．
①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；
②是否存在点P，使S△A′MN＝S△OA′B，若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】本题考查了待定系数法，旋转的性质，三角形全等的判定方法，点的坐标定义，数形结合思想，方程思想等．（1）先求点B的坐标，再设顶点式求抛物线的解析式；（2）①转化为求点P的两个极限位置（最高与最低）时m的值；②分别用含m的代数式表示出△A′MN和△OA′B的面积，进而利用方程思想求解．需要注意的是，要对点P的位置分类求解．
【答案】解：（1）如答图①，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠ODA＝∠OEB＝90°．由旋转得∠AOB＝90°，OA＝OB，又∵∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOB，∴∠DOA＝∠BOE．在△OAD和△OBE中，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴OD＝OE，AD＝BE．∵A（1，3），∴AD＝1，OD＝3，∴OE＝3，BE＝1．∵点B在第四象限，∴点B的坐标为（3，－1）．设抛物线的解析式为y＝a(x＋h)2＋k（a≠0），∵顶点A的坐标为（1，3），∴y＝a(x－1)2＋3．∵抛物线经过点B（3，－1），∴－1＝a(3－1)2＋3，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3．
①

（2）①当点M在边OB上时，此时点A′不在△OAB的内部，不符合题意；当点M在边OA上时，如答图①，设直线OB的函数关系式为y＝kx（k≠0），把B（3，－1）代入，得－1＝3k，解得k＝，∴直线OB的函数关系式为y＝x．当x＝1时，y＝，∴点C的坐标为（1，）．又∵A（1，3），P（1，m），∴AC＝3＝，AP＝3－m．当点A′与点C重合时， 2AP＝AC．∴2(3－m)＝，解得m＝．∵点A′在△OAB的内部，∴m＞．又∵点P在线段AC上且不与点A重合，∴m＜3．∴当△A′MN在△OAB内部时，m的取值范围为＜m＜3．
②当点M在边OA时，如答图②，设OA的函数表达式为y＝k1x（k1≠0），把点A（1，3）代入得3＝k，即k＝3，∴OA的函数表达式为y＝3x．同理直线AB的函数表达式为y＝－2x＋5．∵点P的纵坐标为m，∴点M，N的纵坐标为m．在y＝3x中，当y＝m时，m＝3x，解得x＝m．∴点M的坐标为（m，m）．在y＝－2x＋5中，当y＝m时，m＝－2x＋5，解得x＝，∴点N的坐标为（，m），∴MN＝m＝，又∵AP＝3－m，∴S△AMN＝MN·AP＝××(3－m)＝(3－m)2．由折叠得△AMN≌△A′MN，∴S△A′MN＝S△AMN＝(3－m)2．∵A（1，3），P（1，m），又由折叠得点A′与点A关于点P对称，∴A′（1，2m－3）．∵C（1，），∴A′C＝＝2，又∵B（3，－1），∴S△OA′B＝S△A′CO＋S△A′CB＝×2×1＋×2×(3－1)＝．∵S△A′MN＝S△OA′B，∴(3－m)2＝×，解得m＝6－（舍去6＋）．当M在边OC上时，如答图③，同理可求M（－3m，m），N（，m），∴MN＝－(－3m)＝，A′P＝AP＝3－m．∴S△A′MN＝××(3－m)＝m2＋m＋，同理可求S△OA′B＝4－3m．∵S△A′MN＝S△OA′B，∴m2＋m＋＝(4－3m)，解得m＝（舍去）．综上所述，m的值为6－或．
②
③