高中数学高考2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（二）（全国1卷）（解析版）(1)

2021年高考数学（文）12月模拟评估卷（一）（全国1卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】集合，，故选．

2．在复平面内,复数对应的点是,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得,则.故选A.

3.设等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．60 B．120 C．160 D．240

【答案】B

【解析】由题可知，，由等差数列的性质可知，则，

故.故选B.

4．设,则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】,,,

所以,故选D.

5．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，

设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件，由几何概型中的面积型可得：

，故选B．

6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为,则经过一定时间后的温度T将满足,其中是环境温度,h称为半衰期.现有一杯85℃的热茶,放置在25℃的房间中,如果热茶降温到55℃,需要10分钟,则欲降温到45℃,大约需要多少分钟？（    ）（1g2≈0.3010,1g3≈0.4771）

A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】C

【解析】根据题意有：,,

故选C.

7．函数的图象大致为（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解析】函数,定义域为,,且,

是奇函数,其图象关于原点对称,排除、,因为函数的定义域为,,

令,,排除,故选．

8．已知向量满足,,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】,,,.

,

因此,.故选D.

9．执行如图所示的程序框图,若输出的为30,则判断框内填入的条件不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】执行程序框图：,2是偶数,,3不是偶数,,不符合空白判断框条件,执行否,

,7不是偶数,,不符合空白判断框条件,执行否,,不是偶数,,满足条件,结束循环,故空白判断框应满足的条件为时不符合要求,时符合要求,所以A、B、D三项均满足循环.故选C.

10．已知是椭圆上的点，，分别是的左，右焦点，是坐标原点，若且，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图所示，设是中点，则,,

因为，所以,所以，

因为，所以.由椭圆的定义得

所以.故选A.

11．已知点在函数（且,）的图象上,直线是函数的图象的一条对称轴．若在区间内单调,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得,,得,得,又因为在区间内单调,所以,得,得．所以．又因为,所以或3．当时,,得,又,所以,此时直线的函数的图象的一条对称轴,且在区间内单调．所以．

当时,,得,又,所以,

此时,所以直线不是函数的图象的一条对称轴．所以,．故选B．

12．已知正三棱锥的外接球是球O,正三棱锥底边,侧棱,点E在线段上,且,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图,

由题,设的中心为,球的半径为,连接,则,,

在中,,解得,

所以,

因为,所以,

在中,,

所以,过点作球的截面,当截面与垂直时,截面的面积最小,此时截面的半径为,则截面面积为,当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为,

故选D.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13.曲线在点处的切线的方程为__________.

【答案】

【解析】，∴切线斜率为，切线方程为．

14．等比数列的各项均为正数,且,,则=_________.

【答案】.

【解析】设等比数列的公比为q(q>0),由得

,解得,所以.

15.我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值为__________．

【答案】2.9

【解析】由题意：，解得，

因为前6组的频率之和为，前5组的频率之和为，

所以．

所以，解得，

因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

16．已知双曲线：的左右焦点分别为,,过的直线与圆相切于点,且直线与双曲线的右支交于点,若,则双曲线的离心率为______.

【答案】

【解析】

如图,由题可知,,则,

又,,,

又,

作,可得,,则

在,,即,

又,化简可得,同除以,得,

.                                                                                                                                         三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：

（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关

（2）求特征量y关于x的回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值；

附：参考公式：相关系数，，.

参考数据：，，

解：（1）由题意得，，

，

，，因而相关系数.

由于很接近1，说明x，y线性相关性很强，(5分)

因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.由于，故其关系为负相关. (6分)

（2）由（1）知，，∴，

则所求的回归方程是.(10分)

当特征量x为12时，可预测特征量.(12分)

18.(12分) 在中,角,,的对边分别为,,．已知．

（1）求；

（2）若为边上一点,且,,求．

解：（1）因为,所以,

所以,即．

因为,所以,所以,则．(4分)

因为,所以．(6分)

（2）因为,所以,即,

因为,所以,所以．(8分)

由余弦定理得,则,

整理得,即,故．(10分)

因为,所以,所以.(12分)

19．(12分) 如图所示，四棱柱中，底面为菱形，底面，为的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积.

解：（1）证明：连接，设与的交点为，连接，

∵为的中点，为的中点，

∴，,则，底面，

则平面，(3分)

又∵平面，∴平面平面；(5分)

（2）解：连接、、，设交于点，

,底面为菱形，底面，

可知四边形为正方形，且，则，

由点到平面的距离为,即为点到平面的距离. (8分)

∴平面，∴，

又∵，∴平面，

∴，∴菱形为正方形，

∴点到平面的距离为，

∴.(12分)

20．(12分) 已知抛物线的焦点为,过点的直线分别交抛物线于两点．

（1）若以为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程；

（2）过点分别作抛物线的切线,证明：的交点在定直线上．

解：（1）设中点为,到准线的距离为,到准线的距离为,

到准线的距离为,则且.(2分)

由抛物线的定义可知,,所以,

由梯形中位线可得,所以,可得,

所以抛物线的标准方程为.(5分)

（2）证明：设,由,得,则,

所以直线的方程为,

直线的方程为,

联立得,解得,

即直线的交点坐标为.(9分)

因为过焦点,

由题可知直线的斜率存在,故可设直线方程为,

代入抛物线中,得,

所以,故,所以的交点在定直线上．(12分)

21．(12分) 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）在平面直角坐标系中,直线与曲线交于,两点,设点的横坐标为,的面积为.求证：；

（ii）当取得最小值时,求的值.

解：（1）函数的定义域为,.

,

令,则.

因为；,

所以在上为减函数,在上为增函数.

当时,,即,

当时,,即.

所以当时,,

所以在区间和上都是增函数.

因此的增区间为和,没有减区间. (14分)

（2）（i）证明：,设(其中),

由题意,得的面积,即.

由,得,

由及,得,

所以,

故成立. (8分)

（ii）由（1）,得为增函数,

于是最小最小最小.

令,则,

再令,

则,

所以当时,单调递增.

又,,

所以存在唯一的,使得,即.

当时,,即；

当时,,即,

所以是的极小值点,也的最小值点,

所以当时,取得最小值,等价于最小,此时,

所以.(12分)

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）.以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线与直线有且仅有一个公共点.

（1）求；

（2）设曲线上的两点,且,求的最大值．

解：（1）直线的普通方程是,曲线的直角坐标方程是,(2分)

依题意直线与圆相切,则,解得或,

因为,所以；(5分)

（2）如图,不妨设,,则,,(7分)

所以,

所以当,即,时,最大值是．(10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知.且.

（1）求证：；

（2）设为整数,且恒成立,求的最小值.

解：（1）由恒等式：

由,记,

由均值不等式可得：

于是

又因为,可知,即

故只要

而,故成立,

所以成立,

,即式成立,得证.

（2）令

根据舒尔不等式,可得

所以

当且仅当时取等,此时

故,又为整数,故的最小值为.