高中数学高考2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（二）（全国1卷）（解析版）

2021年高考数学（文）2月模拟评估卷（二）（全国1卷）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

满分150分.考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集,,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,故A不正确；,故B正确；,故C不正确；,故D不正确.故选B

2．已知复数（为虚数单位）,则在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】因为,所以在复平面内对应的点的坐标为,在第四象限.故选D.

3．设,,则“且”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为且,所以且,所以；若,可取,,不满足且,所以前者是后者的充分不必要条件,故选A.

4.若平面向量与的夹角为,,,则（    ）

A． B． C．18 D．12

【答案】B

【解析】,,故选B

5.良渚遗址是人类早期城市文明的范例,是华夏五千年文明史的实证之一,2019年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年代的过程中,利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律,建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）变化的数学模型：（表示碳14的初始量）．2020年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年代学检测,检测出碳14的含量约为初始量的55%,据此推测良渚遗址存在的时期距今大约是（参考数据：,）（    ）

A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年

【答案】C

【解析】设良渚遗址存在的时期距今大约是x年,则,即,

所以,解得,

故选C

6．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题中的条件可得.故选A．

7.甲､乙､丙三人从红,黄､蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上,各人帽子的颜色互不相同,乙比戴蓝帽的人年龄大,丙和戴红帽的人年龄不同,戴红帽的人比甲年龄小,则甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为（    ）

A．红､黄､蓝 B．黄､红､蓝 C．蓝､红､黄 D．蓝､黄､红

【答案】B

【解析】丙和戴红帽的人年龄不同,戴红帽的人比甲年龄小,故戴红帽的人为乙,即乙比甲的年龄小；

乙比戴蓝帽的人年龄大,故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙,即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大,但由上述分析可知,只能是乙比丙的年龄大,即戴蓝帽的是丙；综上,甲､乙､丙所戴帽子的颜色分别为黄､红､蓝.故选B.

8．设函数和的定义域为,若存在非零实数,使得,则称函数和在上具有性质.现有三组函数：①,；②,；③,,其中具有性质的是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

【解析】对于①,,则,合乎题意；对于②,,可得,即,解得,不合乎题意；对于③,,则,合乎题意.因此,具有性质的是①③.

故选B.

9．已知锐角满足．若要得到函数的图象,则可以将函数的图象（    ）．

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】A

【解析】由知：,即,

∴锐角,故,

又,∴,故是将向左平移个单位长度得到,故选A

10．在中,角、、所对应的三边分别为、、．若,,则下面式子中不可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为,所以,而,所以,

又,由正弦定理得,是三角形内角,所以或,若,则由得,,,则,A可能成立,

若,则由得,,则,B可能成立,此时若,则,D可能成立,只有C不可能成立．故选C．

11．已知三棱锥的底面是正三角形,,点在侧面内的射影是的垂心,当三棱锥体积最大值时,三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如下图所示,延长交于点,连接,

为的垂心,则,平面,平面,,,平面,平面,,连接并延长交于点,连接,平面,平面,,,,平面,平面,,设点在平面内的射影为点,延长交于点,连接,平面,平面,,,平面,

、平面,则,,,为正的中心,且为的中点,平面,、、平面,,,,且,所以,,,当时,的面积取最大值,当平面时,三棱锥的体积取得最大值,将三棱锥补成正方体,

所以,三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线长,设三棱锥的外接球直径为,则,因此,三棱锥的外接球的表面积为.故选B.

12．设双曲线的右焦点是F,左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B,C两点,若,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】,,,,所以,根据,所以,代入后得,整理为,所以该双曲线渐近线的斜率是,故选C.

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分

13. 某工厂生产,,三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次为,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B种型号产品抽取了60件,则______.

【答案】5

【解析】由题意,,解得．

14.已知实数满足约束条件,若的最大值为11,则实数的值为____．

【答案】23

【解析】画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分,

直线在轴上的截距为,则由图可知,即,将化为,

观察图形可知,当直线经过点时,取得最大值,由解得,故,解得.

15.已知直线是曲线的切线,则_________.

【答案】2

【解析】设切点为,则,由得,

所以,解得,所以.

16．已知抛物线：的焦点为,过点且斜率为的直线交于,两点,以线段为直径的圆交轴于,两点,设线段的中点为,若点到的准线的距离为3,则的值为______．

【答案】

【解析】抛物线：的焦点为,准线方程为,由题意得,则抛物线方程为,则直线的方程为,由,得,设的横坐标分别为,则,所以的中点的坐标为,,则圆的半径为4,在中,,故答案为

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.

(一)、必考题：共60分

17.(12分) 已知等差数列的前项和为,且

（1）求通项公式；

（2）求数列的前项和

解：（1）在等差数列中,因为,

所以,

解得 ,(3分)

所以 .(5分)

（2）令,解得,

当时,,当时,,(7分)

所以当时, ,(9分)

当时, ,

 ,(11分)

所以.(12分)

18.(12分)有治疗某种疾病的两种药物,为了分析药物的康复效果进行了如下随机抽样调查：两种药物各有100位病人服用,他们服用药物后的康复时间（单位：天数）及人数记录如下：

服用药物：

服用药物：

假设所有病人的康复时间相互独立,所有病人服用药物后均康复.

（1）若康复时间低于15天（不含15天）,记该种药物对某病人为“速效药物”.当时,请完成下列列联表,并判断是否有99%的把握认为病人服用药物比服用药物更速效？

（2）分别从服用药物康复时间不同的人中,每种康复时间中各取一人,记服用药物的7人为Ⅰ组,服用药物的7人为Ⅱ组.现从Ⅰ、Ⅱ两组中随机各选一人,分别记为甲、乙.

①为何值时,Ⅰ、Ⅱ两组人康复时间的方差相等（不用说明理由）；

②在①成立且的条件下,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.

参考数据：

参考公式：,其中n＝a＋b＋c＋d.

【解析】(1)由题意得:

所以有99%的把握认为病人服用药物比服用药物更速效; (5分)

（2）①方差反应的是数据的离散程度,要使Ⅰ、Ⅱ两组人康复时间的方差相等,对比两组数据,可知: a=11或18; (8分)

②在①成立且的条件下,所以a= 18.

用(t甲,t乙)表示所选取人的康复时间, 由题意得基本事件总数49个,

符合题意的基本事件有(13,12)、(14,12)、(14,13)、(15,12)、(15,13)、(15,14)、(16,12)、(16,13)、(16,14)、(16,15)共10个,

所以P=.即甲的康复时间比乙的康复时间长的概率为.(12分)

19.(12分) 如图,正三棱柱的棱长均为2,M是侧棱的中点．

（1）在图中作出平面与平面的交线l（简要说明）,并证明平面；

（2）求点C到平面的距离．

【解析】（１）延长,交CA的延长线于N,连接BN,

N在直线CA上,平面ABC,平面ABC,

又平面ABC内,∴直线平面ABC,

直线C1M,直线C1M⊂平面MBC1,平面MBC1,

又平面MBC1,∴直线平面MBC1,

平面,平面；

为AA1的中点,CC1AA1,,

,又∵正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为2,

,C,B,N在以A为圆心半径为2的圆周上,直径为CN,

由于直径所对的圆周角为直角,为直角,

即NB⊥BC,

又∵正三棱柱的侧棱BB1⊥底面ABC,直线平面ABC,

∴BB1⊥直线BN,

又∵BB1∩BC=B,平面BB1C1C,平面BB1C1C,

∴直线BN⊥平面BB1C1C,

即直线l⊥平面BB1C1C. (6分)

（2）由（1）知平面,平面,所以,

,

,

所以,
,

设到平面的距离为h,

因为,所以,即

解得,点C到平面的距离为.(12分)

20.(12分) 椭圆过点,其上､下顶点分别为点A,B,且直线,的斜率之积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的左顶点作两条直线,分别交椭圆C于另一点S,T.若,求证：直线过定点.

（1）解：∵,,

∴,解得,

将,都代入椭圆方程,得,

∴椭圆方程为；(5分)

（2）证明：设,,直线的方程为.

将代入椭圆方程,整理得,

,,(7分)

由,得.

整理,得,

即.

化简,得,

即.(10分)

当时,直线的方程为,恒过左顶点,不合题意

当时,直线的方程为,恒过点.

直线过定点.(12分)

21.(12分) 已知函数.

（1）若在处取到极值,求的值及函数的单调区间；

（2）若,求的取值范围.

解：（1）,

在处取到极值,,解得,

此时,,单调递增,

可得时,,单调递减,时,,单调递增,

在处取到极小值,符合题意,

综上,,的单调递减区间为,单调递增区间为；(5分)

（2）,,

在单调递增,

当时,,时,,

存在,,

当时,,单调递减,当时,,单调递增,

,

令,则,

单调递减,且,,

,

令,,

,单调递减,

,当时,,

的取值范围为.(12分)

(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

在直角坐标系中,直线l过点,倾斜角为.以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为：.

（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l交曲线C于A,B两点,M为中点,且满足成等比数列,求直线l的斜率.

解：（1）因为直线l过点,倾斜角为,

所以直线l的参数方程为(t为参数),

因为,所以,

所以曲线C的直角坐标方程为：；(5分)

（2）将直线l的参数方程为(t为参数)代入可得：,

设A,B所对应的参数为,所以,

因为成等比数列,

所以,即,

解得,,故直线l的斜率为. (10分)

23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知函数,,.

（1）当时,解不等式；

（2）对任意,,若不等式恒成立,求实数a的取值范围.

解：（1）当时,,

不等式,即,即,

解得或(舍去),由,解得或.

所以不等式的解集是. (5分)

（2）由题意知,只需满足即可.

,,

依题意,当时,,

由一次函数性质知,在上单调递增,在和上单调递减,.

由,得,即.

所以实数a的取值范围是：. (10分)