湖南省怀化通道县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题（含详细答案）

湖南省怀化通道县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在比例尺为的图纸上长度为的线段表示实际长为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可．

【详解】解：，

故选C．

【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离实际距离是解题的关键．

2．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（    ）

A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0

C．x2＋﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．

【详解】解：A. x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意；

B. m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；

C. x2＋﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

D. ax2＋bx＋c＝0，a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

3．若反比例函数的图象经过点（，），则的值是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把点（2，4）代入，求出k的数值即可．

【详解】解：把点（2，4）代入得，

解得k=8．

故选：C．

【点睛】此题考查利用待定系数法求函数解析式，图象上点的坐标都适合函数解析式解题的关键．

4．某小组同学在一周内参加家务劳动时间与人数情况如表所示：

下列关于“劳动时间”这组数据叙述正确的是（ ）A．中位数是2 B．众数是2 C．平均数是3              D．方差是0

【答案】B

【详解】试题分析：根据众数的定义可知，这组数据的众数是2，故答案选B.

考点：众数；中位数；平均数；方差.

5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：∵，

∴设b＝5k，c＝13k，根据勾股定理得a＝12k，

所以．

故选D．

6．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是（    ）

A．＝＝ B．＝

C．＝＝ D．＝

【答案】A

【分析】根据相似三角形的性质判断求解即可．

【详解】解：∵△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，

∴＝＝，

故选：A．

【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答的关键．

7．为了估计一片树林中的麻雀的数量，爱鸟人在这个林子里随机捕捉到了30只麻雀，分别在它们的脚上做上标记后，再放归树林．一周后，再次在这片林子里捕捉到了50只麻雀，发现其中3只脚上有标记，（不考虑其他因素）则这片林子中麻雀的数量大约为（    ）

A．300只 B．500只 C．1000只 D．1500只

【答案】B

【分析】设这片林子中麻雀的数量为x只，根据样本估计总体列式求解即可．

【详解】解：设这片林子中麻雀的数量为x只，

由题意得：，

解得：，

所以这片林子中麻雀的数量大约为500只，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握相关知识是解题的关键．

8．在反比例函数（为常数）的图像上三点，，，则函数值，，的大小关系是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．

【详解】解：在函数为常数中，

函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．

，

．

，

，

．

故选A．

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键．

9．函数y=x+m与(m≠0)在同一坐标系内的图象可以是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．

【详解】A．由函数y=x+m的图象可知m＜0，由函数y的图象可知m＞0，相矛盾，故错误；

B．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数y的图象可知m＞0，正确；

C．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数y的图象可知m＜0，相矛盾，故错误；

D．由函数y=x+m的图象可知m=0，由函数y的图象可知m＜0，相矛盾，故错误．

故选：B．

【点睛】此题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键在于掌握它们的性质才能灵活解题．

10．将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，过B'作B'P∥BC，交AE于点P，连接BP．已知BC=3，CB'=1，下列结论：①AB=5；②sin∠ABP=；③四边形BEB′P为菱形；④S四边形BEB'P﹣S△ECB'=1，其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】（1）根据翻折的性质和勾股定理列方程求解，①正确；

（2）根据翻折的性质和B′P∥BC证明B′P=BE，四边形BEB′P为平行四边形，再由BE=B′E，四边形BEB′P为菱形，③正确；

（3）延长B′P与AB交于点M，则PM⊥AB，根据勾股定理得到BE，进而求出BP、PM，sin∠ABP=；故②错误；

（4）S四边形BEB′P-S△ECB′=BE×CB′-CE×CB′=1，④正确．

【详解】（1）设AB=CD=x，根据翻折的性质AB=AB′=x，B′D=x-1，AD=3

∴x2=（x-1）2+32，

解得：x=5，

∴①正确；

（2）∵B′P∥BC，

∴∠BEP=∠B′PE，

根据翻折的性质∠BEP=∠B′EP，

∴∠B′EP=∠B′PE，

∴B′E=B′P，

∵BE=B′E，

∴BE=B′P，

∴四边形BEB′P为菱形，

∴③正确；

（3）延长B′P与AB交于点M，则PM⊥AB，

设BE=m，则CE=3-m，CB′=1，

∴m2=（3-m）2+12，

解得：m=，

∴BE=BP=B′P=，

∴CE=PM=，

∴sin∠ABP=，

∴②错误；

（4）S四边形BEB′P-S△ECB′=BE×CB′-CE×CB′=×1-××1=1，

∴④正确．

故选C．

【点睛】本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了平行四边形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．

二、填空题

11．若，则________．

【答案】

【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；

【详解】由可设，，k是非零整数，

则．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．

12．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为______．

【答案】

【分析】把代入原方程，即可求解．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，

∴且，

解得：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．

13．如图，，请你补充一个条件：__________，使．

【答案】（答案不唯一）

【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．

【详解】解：添加条件，理由如下：

∵，

∴，即，

又∵，

∴，

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是解题的关键．

14．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为______.

【答案】80(1+x)2＝100

【分析】利用增长后的量＝增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程.

【详解】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，

根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨

2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，

即：80(1+x)(1+x)＝100或80(1+x)2＝100.

故答案为80(1+x)2＝100.

【点睛】本题考查了一元二次方程与增长率问题的实际运用，熟练掌握相关概念是解题关键

15．如图，六个正方形组成一个矩形，A，B，C均在格点上，则∠ABC的正切值为_______．  

【答案】3．

【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，利用三角形的面积求得AD的长，再利用勾股定理求得BD的长，继而求得答案．

【详解】设正方形的边长为1，过点A作AD⊥BC于点D

∵ S∆ABC= BC AD= 3 2,BC=

∴AD=

∵AB=

∴BD= =

∴tan∠ABC= =3

故答案为：3

【点睛】矩形的性质，解直角三角形是考点

16．如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，P是AC的中点，过 P点的直线交 AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为__________________．

【答案】4或

【分析】分△AQP∽△ABC和△AQP∽△ACB两种情况，列出比例式，计算即可．

【详解】解：∵点P是AC的中点，

∴AP＝AC＝3，

当△AQP∽△ABC时，，即，

解得，AQ＝4，

当△AQP∽△ACB时，，即，

解得，AQ＝，

故答案为：4或．

【点睛】本题考查了三角形相似的性质，分类讨论是解题的关键．

三、解答题

17．计算：．

【答案】

【分析】先求特殊角三角函数值，再计算即可．

【详解】解：，

=

=

=．

【点睛】本题考查了特殊角三角函数的运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．

18．用适当的方法解方程：

（1）

（2）

【答案】（1），；（2），

【分析】（1）先移项，然后利用开平方法解一元二次方程即可；

（2）利用配方法解一元二次方程即可．

【详解】解：（1）∵，

∴，

∴，

∴，；

（2）∵，

∴，

∴即，

∴，

∴，．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．

19．如图，在中，CD是斜边AB上的高．

求证：．

【答案】见解析

【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．

【详解】证明：如图，

∵在中，CD是斜边AB上的高

∴

∵是公共角

∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．

20．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．

(1)求k的取值范围；

(2)若，求k的值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；

（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得．

【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，

此方程根的判别式，

解得．

（2）解：由题意得：，

解得或，

由（1）已得：，

则的值为2．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．

21．某学校九年级的学生去参加社会实践，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：

甲：我站在此处看树顶仰角为45°.

乙：我站在此处看树顶仰角为30°.

甲：我们的身高都是1.5m．

乙：我们俩相距20m．

请你根据两位同学的对话，计算这棵古松DE的高度．（结果保留根号）．

【答案】（m）

【分析】先在Rt△DBC中，∠DBC=45°，可得，再在Rt△ADC中，∠DAC=30°，可得，即有，再根据，即可求解．

【详解】根据题意有：∠DCA=90°，∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=20m，CE=1.5m，

∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，

∴，

∵在Rt△ADC中，∠DAC=30°，

∴，

∴，

∵AB=20，

∴，

∴，

∵CE=1.5m，

∴（m），

即古松的高度DE为m．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角的含义是解答本题的基础．

22．为迎接国庆，某校举行以“祖国成长我成长”为主题的图片制作比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表．

请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

(1)求表中和所表示的数，并补全频数分布直方图；

(2)请根据图表信息写出比赛成绩的中位数落在哪个分数段？

(3)若该校共有3600名学生，且规定比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，请根据上述调查结果估计该校，那么全校共有多少学生获奖？

【答案】(1)，补全统计图见解析

(2)

(3)1440人

【分析】（1）根据频数分布表中的频数、频率的对应值，可求出参赛人数，进而求出的值，补全频数分布直方图；

（2）根据中位数的意义，得出参赛学生成绩从小到大排列处在中间位置的一个数或两个数处在哪个分数段即可；

（3）求出样本中“比赛成绩80分以上（含80分）”所占的百分比，即可估计总体的百分比，进而求出相应的人数．

【详解】（1）（人，

，

，

补全频数分布直方图如图所示：

（2）将参赛的200名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数落在“”分数段；

（3）（人，

答：该校共3600名学生中大约有1440名学生获奖．

【点睛】本题考查了读频数直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决此问题．

23．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．

(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；

(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？

【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元

(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元

【分析】（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程进行求解；

（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然后根据题意可列方程进行求解．

【详解】（1）解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：

，

解得：，

经检验：x=30是原方程的解，

∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），

答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．

（2）解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得：

整理得：，

解得：，

答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．

【点睛】本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系．

24．如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．

（1）求y1，y2对应的函数表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．

【答案】（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3

【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式；

（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可；

（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．

【详解】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，

在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．

∴OD＝2，即点D（0，2），

把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，

b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，

∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；

把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，

∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），

∴k＝﹣3×4＝﹣12，

∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；

（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．

（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．

【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．