吉林省长春市朝阳区第六十九中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案）

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吉林省长春市朝阳区第六十九中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下列选项中的代数式，是分式的为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分式定义进行解答即可．【详解】解：A. 是分式，故此选项符合题意；B. 是整式，故此选项不符合题意；C. 是整式，故此选项不符合题意；D. 是整式，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．2．点P(−5，3)在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据各象限内点的坐标符号可得其所在象限．【详解】解：∵点P的坐标为（-5，3），∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，∴点P在第二象限，故选：B．【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内点的坐标符号特点．四个象限的符号分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．3．下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的定义“对于每一个确定的x值，存在唯定的唯一y值与之对应”进行判断即可．【详解】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是；其中选项A、C、D均可能会有2个交点，故错误，而选线B中只会有一个交点，故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．4．一次函数y=﹣x+2的图象不经过的象限是（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据一次函数的系数确定函数图象经过的象限，由此即可得出结论．【详解】∵一次函数y=﹣x+2中k=﹣1＜0，b=2＞0，∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．解答本类型题目时，根据函数系数的正负确定函数图象经过的象限是关键．5．点到原点的距离为（    ）A．3 B．4 C．5 D．【答案】C【分析】根据点的横纵坐标的距离与其到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可.【详解】解：∵点离原点的距离是,故选：C．【点睛】本题主要考查了点的坐标与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.6．如图所示图象中，一次函数y＝ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到一次函数y＝ax+a（a≠0）的图象经过哪几个象限．【解答】AB.当a＜0时，一次函数y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故A、B错误；CD.当a＞0时，一次函数y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故D正确，C错误．故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．7．放寒假了，乐乐骑车从家去外婆家玩，先前进了a千米，在路上遇到同学培培，停下来闲聊了一会，乐乐发现数学卷子忘在了学校，于是借了培培的卷子返回路过的打印店去复印，原路原速返回了b千米（b＜a），再掉头沿原方向加速行驶，则乐乐离家的距离s与时间t的函数关系的大致图象是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分四段看图象，然后根据每段图象大致位置进行判断．【详解】解：A、乐乐原路原速返回，图象与原来的图象倾斜度相同，所以A选项不符合题意；B、停下来闲聊了一会，表明中间有一段图象与横轴平行，所以B选项不符合题意；C、停下来闲聊了一会，又沿原路原速返回了b千米，由于b＜a，所以没回到出发地，图象与横轴没交点，所以C选项不符合题意；D、先前进了a千米，对应的图象为正比例函数图象；停下来闲聊了一会，对应的图象为横轴平行的线段；沿原路原速返回了b千米（b＜a），对应的图象为一次函数图象，S随t的增大而减小且与横轴没交点；掉头沿原方向加速行驶，对应的图象为一次函数图象，S随t的增大而增大，并且图象更陡，所以D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了函数图象：利用函数图象能直观地反映两变量的变化情况．8．如图，函数与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为(    )A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．【详解】∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC=S△ODB=|k|=2．又∵OC=OD，AC=BD，∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2．∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．故选D．【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性． 二、填空题9．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 _____．【答案】【分析】根据分母不能为0可知，，进而可解出自变量的取值范围．【详解】解：∵分母不能为0，∴，∴解得自变量x的取值范围是，故答案为： ．【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解决本题的关键．10．如果p（a，b）在第二象限，那么点Q (a，-b) 在第_________象限．【答案】三【分析】由p（a，b）在第二象限可知，，得出，即可判断点Q (a，-b)所在象限．【详解】解：p（a，b）在第二象限，，，Q (a，-b)符合第三象限内点的特征， Q (a，-b)在第三象限，故答案为：三．【点睛】本题考查判定坐标所在象限，熟练掌握每个象限内点的坐标的特征是解题关键．四个象限内点的坐标的特征为：第一象限，横、纵坐标都为正；第二象限，横坐标都为负，纵坐标为正；第三象限，横、纵坐标都为负；第四象限，横坐标都为正，纵坐标为负．11．已知一次函数的函数值随x的增大而减小，则k的取值范围是 _____．【答案】##【分析】根据一次函数的性质，得出关于k的不等式，解不等式即可．【详解】解：∵一次函数的函数值随x的增大而减小，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．12．如图，不解关于x，y的方程组，请直接写出它的解____．【答案】【分析】方程组的解是同时满足两个等式，在函数图象上看就是它们的交点坐标；【详解】解：∵y＝x+1和y＝mx+n的交点是（1，2），∴方程组的解为．故答案为．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解与一次函数的关系，掌握两个一次函数的交点坐标就是它们所组成的方程组的解是解题关键．13．正比例函数与反比例函数的一个交点为，则另一个交点坐标为_____．【答案】【分析】联立正比例函数和反比例函数的解析式，求出另一个交点坐标即可．【详解】解：依题意可得：，解此方程组可得：和，∴另一个交点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是列出方程组，准确计算．14．已知 两点的坐标分别为 ，在x轴上找到一点P，的距离和最短，则P点的坐标为_____．【答案】【分析】先求出点关于轴的对称点的坐标，连接，交轴于，则即为所求的点，然后用待定系数法求出直线的解析式，求出直线与轴的交点即可．【详解】解：点，点关于轴的对称点的坐标为，，，当在同一直线上时，的距离和最短设直线的解析式为，解得直线的解析式为，当时，．．故答案为．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键． 三、解答题15．解下列方程：(1)(2)【答案】(1)x＝；(2)x ＝ ． 【分析】按照分式方程的解题步骤，依次化简，最后记住验根即可．【详解】（1）方程两边乘得：解得：检验：当时，∴是分式方程的解．（2）两边乘得：移项合并得：解得：经检验：当时，∴是分式方程的解．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握每个步骤的应用及易错点是解题的关键．16．先化简，再选择一个你喜爱的数代入求值：．【答案】当x=2时，原式=3．答案不唯一【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值，代入原式进行计算即可．【详解】解：原式===．当x=2时，原式=3．考点：分式的化简求值．17．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们的喜欢，为了抓住商机，某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？【答案】A种纪念品每件的进价是50元，B种纪念品每件的进价是20元【分析】设A种纪念品每件的进价是x元，则B种纪念品每件的进价是x-30元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出答案．【详解】解：设A种纪念品每件的进价是x元，则B种纪念品每件的进价是x-30元，根据题意列分式方程得，，去分母得，，解得，经检验，是原方程的解，所以A种纪念品每件的进价为：50（元），B种纪念品每件的进价为：（元）答：A种纪念品每件的进价是50元，B种纪念品每件的进价是20元．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，根据题目中等量关系列出分式方程是解题关键，注意求出解后要进行检验．18．如图，已知反比例函数的图象经过点．(1)求这个反比例函数的关系式．(2)试判断点是否在这个反比例函数图象上，并说明理由．【答案】(1)(2)在，见解析 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点．∴，∴这个函数解析式为．（2）把代入，得：；∴点是在这个反比例函数图象上．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征．熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，是解题的关键．19．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点．(1)求m，n的值．(2)求一次函数解析式．【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）将点、点代入反比例函数中，即可求出m，n的值；（2）将代入一次函数中，得到，即可求出一次函数解析式．【详解】（1）解：点、点在反比例函数的图象上，，，，（2）解：由（1）可知，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，， 一次函数的解析式为．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象的交点坐标，掌握待定系数法求函数解析式以及根据函数解析式求交点坐标是解题关键．20．如图，边长为2的正方形的顶点分别在x轴、y轴上，函数的图象经过点B，把正方形沿翻折得到正方形，交这个函数的图象于点E，连接．(1)求k的值；(2)求四边形的面积．【答案】(1)4(2)3 【分析】（1）根据正方形的面积公式可求得点B的坐标，代入函数中从而求得k值；（2）先根据正方形的性质求得点E的横坐标，代入反比例函数解析式求得其坐标，利用梯形的面积公式即可得到结果．【详解】（1）由题意，知，∵函数的图象经过点B，∴，∴；（2）由题意，知，当时，，∴．∴，∴四边形的面积为．【点睛】此题考查了反比例函数与几何图形面积，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k值．要会熟练地运用待定系数法求函数解析式，这是基本的计算能力．21．如图，直线与双曲线分别相交于点A、B．点A的横坐标为，点B的横坐标为2，直线与y轴交于C点．(1)求双曲线的解析式；(2)连接，求的面积；(3)当时，自变量x的取值范围为       ．【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先联立，求出点B的坐标，然后求出点C的坐标，最后利用代入求解即可；（3）根据图象直接求解即可．【详解】（1）∵直线与双曲线分别相交于点A、B，点A的横坐标为，∴把代入得，∴，∴，∴双曲线的解析式为；（2）解得或，∴，设直线与y轴交于点C．在中，令得：，∴．∴；（3）由图象可知，当时，自变量x的取值范围为或，故答案为：或．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，求解两个函数的交点坐标，坐标与图形，利用函数图象解不等式，熟练利用数形结合的方法解题是解本题的关键．22．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向～的出行距离．现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应．(1)品牌每分钟收费      元；(2)求品牌的函数关系式；(3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？【答案】(1)0.2(2)(3)小明选择A品牌的共享电动车更省钱 【分析】（1）设，待定系数法求解析式即可求解；（2）当时，，当时，设待定系数法求解析式，即可求解；（3）求得骑行时间，然后结合函数图象可知，当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱．【详解】（1）解：设，把点代入，得：，∴；故答案为：；（2）由图象可知，当时，，当时，设把点和点代入中，得：，解得：，∴，综上：．（3），，，由图象可知，当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱．∴小明选择品牌的共享电动车更省钱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得一次函数的解析式是解题的关键．23．如图1，已知直线y=﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．(1)求点A、C的坐标；(2)将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图2）；(3)在y轴上是否存在一点P（不与C重合），使得是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A（2，0），C（0，4）(2)(3)存在，或或或 【分析】(1)已知直线y=−2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；(2)根据题意可知△ACD是等腰三角形，由折叠的性质和勾股定理可求出AD长，即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；(3)分三种性质分别计算，即可找出符合题意的点P的坐标．【详解】（1）解：当x=0时，y=4，C（0，4）；当y=0时，-2x+4=0，解得，A（2，0）；（2）解：∵A（2，0），C（0，4），∴OA=2,OC=4，又∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=2，AB=OC=4，由折叠性质可知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4﹣x，根据勾股定理得：，得，解得：，此时，，，设直线CD为y=kx+4，把代入得，，解得：∴直线CD解析式为；（3）解：存在y轴上的点P）使得是等腰三角形，理由如下：设点P的坐标为(0,m)，则，，由(2)知，①当CP=CD时，，即， 解得或，即点P的坐标是或；②当DC=DP时，，即，解得或，即点P的坐标是或(舍去)；③当PC=PD时，，   即，解得，即点P的坐标是；综上所述，点P的坐标为或或或．【点睛】本题考查了一次函数的综合题，主要考查了折叠的性质，一次函数图象及其性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．24．定义：对于给定的一次函数，把形如的函数称为一次函数的衍生函数,已知矩形的顶点坐标分别为，，，．(1)已知函数．①在网格中画出该函数的衍生函数图象．②若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则       ．③若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则       ．④这个一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为       ．(2)当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，的取值范围是       ．【答案】(1)①见解析；②；③或；④，，(2) 【分析】（1）①根据的取值范围可知确定衍生函数的图象；②根据点在函数图象上即可确定的值；③根据点在函数图象上即可确定的值；④根据一次函数的衍生图象与矩形的交点位置在和上，即可求解；（2）分三种情况：当直线在位置①时，函数和矩形有一个交点；当直线在位置②时，函数和矩形有三个交点；当直线在位置①②之间的位置时，函数和矩形有两个交点即可求解．【详解】（1）解：：①根据题意可知一次函数的解析式：，当自变量和时函数的图象如图所示：②，则，故答案为：；③∵点在这个一次函数的衍生函数图象上，∴，∴或；故答案为：或；④由图象可得，一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点位置在上，∴交点坐标为：，，，故答案为：，，；（2）解：函数可以表示为：，如图所示：∵当直线在位置①时，函数和矩形有个交点，∴当时，，，∴，取，∵当直线在位置②时，函数和图象有个交点，∴当时，，∴，取，∵当在图①②之间的位置时，直线与矩形有个交点，即： ，故答案为： ．【点睛】本题为一次函数的综合题，涉及到新定义，直线与图象的交点等相关知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．