集合知识点及题型归纳总结(含答案)

集合知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、集合的有关概念

1．集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．

2．集合元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．

（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．

（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如．

3．集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．

4．常用数集的表示

R一实数集 Q一有理数集  Z一整数集  N一自然数集或一正整数集  C一复数集

二、集合间的关系

1．元素与集合之间的关系

元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．

空集：不含有任何元素的集合，记作．

2．集合与集合之间的关系

（1）包含关系．

子集：如果对任意，则集合是集合的子集，记为或，显然．规定：．

（2）相等关系．

对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作．

（3）真子集关系．

对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作或．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

三、集合的基本运算

集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示．

表

1．交集

由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．

2．并集

由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．

3．补集

已知全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即．

四、集合运算中常用的结论

1．集合中的逻辑关系

（1）交集的运算性质．

，，     ，，．

（2）并集的运算性质．

，，     ，，．

（3）补集的运算性质．

，，              ，．

补充性质：．

（4）结合律与分配律．

结合律：         ．

分配律：     ．

（5）反演律（德摩根定律）．

               ．

即“交的补补的并”，“并的补补的交”．

2．由个元素组成的集合的子集个数

的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．

3．容斥原理

．

题型归纳及思路提示

题型1    集合的基本概念

思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．

例1.1 设，集合，则（    ）

A．      B．      C．      D．

解析：由题意知，又，故，得，则集合，可得，故选C。

变式1 （2012新课标理1）已知集合，则中所含元素的个数为（    ）．

A．      B．      C．       D．

变式2 （2013山东理2）已知集合中元素的个数为（    ）．

A．      B．      C．       D．

变式3 若集合，则         ，         ．

题型2  集合间的基本关系

思路提示

（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．

（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．

一、集合关系中的判断问题

例1.2 若，则，，之间的关系为（    ）．

A．    B．    C．    D．

解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故．

解法二：列举，．因此，故选C．

评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法．

变式1 设集合，，则

A．      B．      C．      D．

例1.3 设.

（1）若，试判断集合与集合的关系；

（2）若，求实数组成的集合.

分析：（1）先求集合，再由求集合，确定与的关系.

（2）解方程，建立的关系式求，从而确定集合.

解析：（1）由得或，所以.

若，得，即，所以，故.

（2）因为，又.

①当时，则方程无解，则；

②当时，则，由，得，所以或，即或

故集合.

评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.

（2）含参数的一元一次方程解的确定：

当时，方程有唯一实数解；

当时，方程有无数多个解，可为为任意实数；

当且时，方程无解.

变式1 已知集合，集合，若，求实数的取值范围.

二、已知集合间的关系，求参数的取值范围

例1.4 （2012大纲全国理2）已知集合，则（    ）

A．或      B．或      C．或      D．或

解析：由，得，故或且，所以或.故选B.

变式1 已知集合，若，则实数的取值范围是     .

变式2 已知集合，且，则实数的取值范围是          .

变式3 已知集合，若，则的取值范围是（    ）

A．      B．      C．      D．

三、集合关系中的子集个数问题

例1.5 已知集合，则集合的子集个数为       .

分析：本题应首先确定集合中元素的个数，再求其子集的个数.

解析：集合，共8个元素，则集合的子集的个数为.

例1.6 已知集合，满足条件的集合的个数为（    ）

A．      B．       C．      D．

解析：由且，得集合是集合与集合的任一子集的并集，即求集合的子集的个数为，故选D.

变式1 已知集合满足，求集合的个数.

题型3 集合的运算

思路分析

凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.

一、集合元素属性的理解

例1.7 已知集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断、是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.

解析：，，即，所以，故选C.

评注：几量遇到集合的运算（交、并、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数图像上所有点的集合.再如集合，可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集合，表示的是数集；表示的是曲线，即抛的线上所有点构成的集合，它表示的是点集，故有.另如，则有，而易错为.

变式1 集合，则（    ）.

A．     B．      C．      D．

变式2 已知集合，则集合               .

变式3 设全集，集合，那么（    ）

A．       B．      C．      D．

变式4 已知集合，，若，求实数的取值范围.

二、数轴在集合运算中的应用

例1.8 设集合，则的取值范围是（    ）

A．     B．      C．    D．

分析：借助数轴表示集合和集合，根据集合的关系，求解参数的取值范围.

解析：因为，集合，在数轴上的表示如图1-1所示.因为，所以，可得.故选A.

变式1 已知集合，集合，且，则        ，       .

变式2 已知全集，集合，那么集合（    ）.

A.     B.   C.   D.

变式3 已知集合，则集合（    ）.

A．       B．        C．        D．

三、韦恩图在集合运算中的应用

例1.9 设为全集，，是两个非空集合，定义与的差集，则（    ）.

A．      B．    C．      D．

分析：本题可利用题中所给定义表示从集合中去掉属于集合的元素解题.

解析：①当时，根据题意利用韦恩图解题，如图1-2所示，.

②当时，.

综上，.故选B.

评注：凡是遇到抽象的集合运算题尝试利用韦恩图求解.本题也可用举例法求解，比如，根据定义得出所求集合为空集.故选B.

变式1 设全集，，则（    ）.

A．      B．     C．    D．

变式2 某班级共有30人，其中15人喜爱篮球，8人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有        人．

例1.10 如图1-3所示，是全集，是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）

A．     B．      C．       D．

分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解.

解析：图1-3中的阴影部分为与的公共部分，即中去掉属于的那部分元素后剩余元素组成的集合，即，故选B.

对于韦恩图表述的集合应做如下理解：阴影部分涉及到谁就交谁，涉及不到谁就交其补集．

如图1-4所示分别表示：（a）；（b）；(c) 或.

变式1 已知为集合的非空子集，且不相等，若，则（    ）

A．       B．      C．        D．

四、以集合为载体的创新题

例1.11 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是的一个孤立元，给定，由的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有     个.

解析：由孤立元的定义，若不是的孤立元，应满足或，即集合中元素连续，故满足的3个元素构成的不含孤立元的集合分别为、、、、和，共6个.

评注：由的3元素组成的集合中，含有一个孤立元的集合有30个，含有3个孤立元的集合有20个.

变式1 设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的，若是的两个不相交的非空子集，，且，有，，有，则下列结论恒成立的是（    ）

A.中至少有一个关于乘法是封闭        B.中至多有一个关于乘法是封闭

C.中有且只有一个关于乘法是封闭      D.中每一个关于乘法是封闭

变式2 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和.若对于任意的，总有，则称集合具有性质.

（1）检验集合与是否具有性质，并对具有性质的集合，写出相应的集合和；

（2）对任何具有性质的集合，证明：.

变式3 （2012江苏23）变式3设集合，记为同时满足下列条件的集合的个数.

①；   ②若，则；    ③若，则.

(1)求；

(2)求的解析式(用表示).

最有效训练题:

1．设集合，则等于（    ）

A．       B．      C．      D．

2．若，则（    ）

A．      B．      C．      D．

3．设全集.集合，，那么如图1-5所示的阴影部分表示的集合是（    ）

A．       B．      C．      D．

4．已知全集，集合，并且，那么的取值范围是（    ）

A．      B．      C．      D．

5．设集合.若，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．     C．    D．

6．设全集,

，那么的充要条件是（    ）

A．且    B．且    C．且   D．且

7．设集合，则实数      .

8．已知集合满足条件：当时，总有（且）.已知，则集合中所有元素的积等于            .

9．已知集合满足，且.若，则的取值范围是            .

10．已知集合.若，则实数的取值范围是      .

11．已知集合，若对任意的，求证：.

12．已知集合，对于中的一个子集，若存在不大于的正整数数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质.

（1）当时，试判断集合和是否具有性质？请说明理由.

（2）若集合具有性质，那么集合是否一定具有性质？请说明理由.

参考答案

第一章   集合与常用逻辑用语

例1.1变式1

解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。

因为所以即,B中所含元素的个数为10.故选D

例1.1变式2

解析：逐个列举可得，时，时，时，

根据集合中元素的互异性可知集合B中元素为-2,-1,0,1,2,共5个，故选C

例1.1变式3

解析：依题意得,故即，因此

若则故因此x=y=1与题意不符；

若则显然与题意不符,故，此时满足题意。

例1.2变式1

解析 集合M中的元素，分子为奇数；集合N中的元素，分子为整数，则M N，故选B.

例1.3变式1

解析 由，得，若则

 （1）当B=，即时，解得

 （2）当B时，如图1-9所示，由，得，得

综上所述，实数的取值范围是

评注：由，勿忘B=（空集是任何集合的子集）

例1.4变式1

解析 由,如图1-10所示得，故实数的取值范围是

评注  端点值的判断通常是初学者的难题，我们可用假设法帮助判断，即假设参数取端点后，与已知吻合，假设成立；若与已知不吻合，则假设不成立。

例1.4变式2

解析  如图1-11所示，A为，B为，要使，只需，故实数的取值范围是

例1.4变式3

解析 由，得，则，故选C.

例1.6变式1

解析 由知，集合M是集合的任一非空子集与集合的并集，所以集合M的个数为28-1=255

评注求有限集的子集个数问题，有以下结论：

结论1 ：含有n个元素的集合的子集个数为,真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2 )

结论2设，则有，

①满足的集合A的个数是

②满足的集合A的个数是-1

③满足的集合A的个数是-1

④满足的集合A的个数是-2

例1.7变式1

分析 本题考查集合的概念与运算。

解析 先化简再求交集，由已知得，故，故选B

评注：本题若忽视集合P中元素的属性，易误将集合P等同于集合

例1.7变式2

解析 ，利用零点分段法解绝对值不等式。

当时，;

当时,,恒成立；

当时,,

综上所述,

又因为，由基本不等式得,

当时取，所以，故

例1.7变式3

解析 解法一：M表示直线y=x+1上除去点（2,3）的部分，表示点（2,3）和除去直线y=x+1的部分，表示直线y=x+1上的点集，所以表示的点集中仅有点（2,3），即（2,3）。

解法二 ：，故选B

例1.7变式4

分析本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围。

解析  解法一 ：问题等价于方程组在[0,2]上有解，即在[0,2]上有解，令，则由知，抛物线过点(0,1),

所以抛物线在[0,2]上与x轴有交点等价于

             ①

或             ②

由①得，由②得

所以实数的取值范围为

解法二：同解法一，问题等价于方程在[0,2]上有解，故可以转化为函数值域问题。等价转化为，当时，方程不成立；当时，方程转化为；当时，函数，即当时原方程有解，由，即所求实数的取值范围为.

例1.8变式1

解析 先求出集合A，再根据集合的交集运算求解。

  因为，当时，不符合题意，所以，即，又，所以.

例1.8变式2

解析 ,故选D

例1.8变式3

解析 解法一：,所以,得.

解法二：

. 故选D

例1.9变式1

解析  由可得集合N中不含元素2,4，由排除法可知选项B正确，故选B.

例1.9变式2

分析 本题中的集合关系比较抽象，可以考虑使用韦恩图求解。

解析作出韦恩图，如图1-12所示，设所求为人，则喜爱篮球又喜爱足球的有15-人，喜爱足球不喜爱篮球的有人，故有.

例1.10变式1

解析 如图1-13所示，因为，所以，所以，故选A

例1.11变式1

解析 由于，故整数1一定在T,V两个集合中的一个中，不妨设，则，由于，则，即，从而T对乘法封闭；另一方面，当时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对，当时，T,V显然关于乘法都是封闭的，故B,C不对，故选A

例1.11变式2

解析 （1）因为，故集合不具有性质P，集合具有性质P，其相应的集合S和T是.

（2）首先，由A中元素构成的有序数对 共有个，因为，所以又因为时，，所以当时，，从而集合T中元素的个数最多为,即 .

例1.11变式3

解析（1）当n=4时，，满足条件的集合A有。所以 .

（2）解法一：任取偶数，则必有奇数，使得。若，则，即为偶数，为奇数；若，则，即为奇数，为偶数。所以，任意偶数是否属于集合A，完全由奇数 确定。

设集合是由集合中所有奇数组成的集合，则等于集合的子集个数，即  。

解法二：易得 ,

当为奇数时，集合中满足条件的集合A有个,对于集合，考虑元素n，因为n为奇数，所以均可，故.

即，叠乘得 .

当为偶数时，集合中满足条件的集合A有个。

对于集合，考虑元素n，因为n为偶数，所以，即n是否属于集合A,完全由确定。而集合中，对于每一个满足条件的集合A，元素是否属于集合A均是确定的，故为奇数，所以

综上，  .

评注：①数列的核心是递推，先从特殊的几个数（n=1,2,3，…….）入手，关键在于发现与的关系，从而发现一般规律，再给予证明。

②递推法是处理数列问题（乃至大学学习计算机等方面）的“杀手锏”，请读者深思体会，并能灵活运用。

最有效训练题1

1.D  解析 因为，所以，故选D.

2.B 解析 因为，所以，故选B

3.A 解析 阴影部分所表示的集合为，而，故，故选A.

4.C 解析 因为，，如图1-14所示，利用数轴可得.故选C.

5. C 解析 由，即，如图1-15所示，

由图可知，所以，故选C

6. D 解析 因为，所以，又，所以.故选D

7. -1 解析 ，所以，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去.若，同样舍去，当时，，满足题意，所以.

8.1  解析 依题意 ，所以,

从而

故A中只有三个元素，

它们的积为 .

9.解析 由，得，则，解得，所以的取值范围是 .

10.解析 解法一（直接法）即原方程有一个负根或两个负根，所以 ,解得,则实数的取值范围是

解法二：（间接法）设全集

} ,设方程 的两根为若方程 的根式 均非负，则 ,解得.因为，所以关于的补集即为所求.

11.解析

设 ,

因为. 所以,故 .证毕

12.解析 （1）当时，集合，集合不具有性质P，因为对任意不大于10的正整数，都可以找到集合B中两元素，使得成立。

集合具有性质P，

因为可取，对于该集合中任意一对元素,都有

（2）若集合S具有性质P ,那么集合一定具有性质P .

首先因为，任取，其中，因为，所以，从而，即，所以。由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数，使得对S中的任意一对元素，都有，对上述取定的不大于n的正整数，从集合中任取元素，其中，都有，因为，所以有，即，所以集合具有性质P