北师大版九年级数学下册教学课件全册

这是一份北师大版九年级下册本册综合教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了第二章二次函数，第三章圆等内容，欢迎下载使用。

[义务教育教科书]
北师大版初中数学九年级下册
全 册 教 学 课 件
（最新整理完整版）
1.1 锐角的三角函数
第一章 直角三角形的边 角关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
第1课时 正切与坡度
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； (重点)3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.（难点）
学习目标
智者乐水，仁者乐山
图片欣赏
导入新课
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
陡
陡意味着倾斜程度大！
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
铅直高度
水平宽度
梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度
A
C
B
讲授新课
相关概念
问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
合作探究1
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大——梯子越陡
问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
甲
问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡
3m
6m
D
E
F
问题4:你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
3m
2m
6m
5m
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大，梯子越陡.
总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
A
C1
B1
合作探究2
两个直角三角形相似
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
思考：由此你得出什么结论?
想一想
相等
相似三角形的对应边成比例
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
归纳总结
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）.4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
A
B
C
┌
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
议一议
例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
解:甲梯中,
乙梯中,
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
典例精析
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则 tan A=______，tan B =______．
互余两锐角的正切值互为倒数.
2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
BC
AD
BD
AC
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
C
3.已知∠A,∠B为锐角，(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.
=
=
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角；坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　)
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
B
方法总结:理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AC=12,tanA=( ).
(2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ).
(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= , AC=( ).
1.完成下列填空：
当堂练习
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= （ ）
A. B.C. D.
D
3.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为 ，则 =__________.
记得构造直角三角形哦！
4.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
解：
5.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D， ∴在Rt△ABD中， 易知BD=5，AD=12.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA= ,求AC和BC.
4k
3k
7.如图,正方形ABCD的边长为4,点N在BC上,M、N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知， ∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，
∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ BN=DM=1.
如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO 的面积为S.（1）求S与x的函数关系式；（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
解：(1)过点P作PM⊥OA于点M，
（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
解：
又∵点P在直线y=-x+6上，
∴x=2.
∴AM=OA-OM=5-2=3.
∵
课堂小结
正切
定义
坡度
∠A越大，tanA越大,梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系
1.1 锐角三角函数
第一章 直角三角形的边 角关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
第2课时 正弦与余弦
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计 算；（重点、难点）2.在直角三角形中求正弦值、余弦值. (重点)
学习目标
导入新课
复习引入
1.分别求出图中∠A，∠B的正切值.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
讲授新课
合作探究
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以△ABC∽△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即
c
a
b
对边
斜边
概念学习
典例精析
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.
解： 在Rt△ABC中，
即
∴ BC=200×0.6=120.
变式：在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20,求:△ABC的周长和面积.
解: 在Rt△ABC中,
合作探究
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以△ABC∽△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
c
a
b
对边
斜边
概念学习
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
例2：如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB.
提示:过点A作AD⊥BC于D.
如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？
A
sinA的值越大,梯子越 ____ ;cosA的值越 ____ ,梯子越陡.
陡
小
A
议一议
例3：在Rt△ABC中,∠C=90°,如图,已知AC=3,AB=6,求sinA和cosB.
想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内在的联系?
求:AB,sinB.
思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握?
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
要点归纳
sinA=cosB
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为_________.
针对训练
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是（　　）A．sinA=sinB B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．sinA=cosB
D
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
2.已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则sinA sinB;(2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.
C
=
=
当堂练习
3.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
4.在上图中,若BD=6,CD=12.则cosA=______.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
CDBC
ACAB
ADAC
5.如图：P是边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos α =_____,tan α=_______.
3
4
P
α
A
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．
解：∵
又∵
10
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求sinA、tanA的值．
解：∵
设AC=15k，则AB=17k
∴
∴
变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，求sinA、cosB的值．
A
B
C
8
解：∵
7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
解：设正方形ABCD的边长为4x，∵M是AD的中点，BE=3AE，∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x．由勾股定理可知，
7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
由勾股定理逆定理可知，△EMC为直角三角形.
8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝
(1)求点B的坐标； (2)求cos∠BAO的值．
A
B
H
解：(1)如图所示，作BH⊥OA， 垂足为H．在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝ ,
∴BH=3，OH＝4，
∴点B的坐标为(4，3)．
sin∠BOA＝
8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝
(2)求cos∠BAO的值．
A
B
H
(2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6．∵在Rt△AHB中，BH=3，
1.在Rt△ABC中
课堂小结
2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：
sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.
1.2 30°,45°,60°角的三角函数值
第一章 直角三角形的边角关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、 45°、60°角的三角函数值；（重点）2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用.(难点)
学习目标
猜谜语一对双胞胎，一个高，一个胖， 3个头,尖尖角,我们学习少不了
思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？
导入新课
情境引入
45°
45°
90°
60°
30°
90°
思考：你能用所学知识，算出图中各角度的三角函数值吗？
下图两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
30°
60°
45°
45°
讲授新课
合作探究
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
设两条直角边长为a，则斜边长＝
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
归纳总结
三角函数
锐角 a
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ .
增大（或减小）
减小（或增大）
两点反思
1.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____. 2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____.
练一练
例1 计算:(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
注意事项:sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2
解: (1)sin30°+cos45°
(2)sin260°+cos260°-tan45°
典例精析
1.求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260° （2）
解： （1） cos260°＋sin260°
＝1
（2）
＝0
针对训练
填一填
逆向思维
例2： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，求∠A的度数．
解： 如图，
典例精析
1.如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 ．
解： 在图中，
练一练
2.sinα﹤cosα，则锐角α取值范围（ ）A 30°﹤α ﹤ 45 ° B 0°﹤α ﹤ 45 °C 45°﹤α ﹤ 60 ° D 0°﹤α ﹤ 90 °
B
例3 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
解:如图,根据题意可知,
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
例4 已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α- tan（α+15°）的值．
解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.∴2sin2α+cos2α- 3 tan（α+15°）=2sin245°+cos245°- 3 tan60°
D
D
当堂练习
3.已知cosα ﹤ ，锐角α取值范围（ ）A 60°﹤α ﹤ 90 ° B 0°﹤α ﹤ 60 °C 30°﹤α﹤ 90 ° D 0°﹤α﹤ 30 °
A
4.求下列各式的值：（1）1－2 sin30°cos30°（2）3tan30°－tan45°+2sin60°（3）
解：
(1)1－2 sin30°cos30°
(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
5.如图，在△ABC中，∠A=30°， 求AB.
D
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∠A=30°，
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 求∠A、∠B的度数．
B
A
C
解： 由勾股定理得：
∴ ∠A=30°
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°

7.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
=20+1.6=21.6（m）
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；对于cosα，角度越大，函数值越小.
课堂小结
锐角 a
三角函数
1.3 三角函数的计算
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第一章 直角三角形的边角关系
北师大版九年级数学下 教学课件
1.复习并巩固锐角三角函数的相关知识.2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算. (重点)3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点）
学习目标
导入新课
回顾与思考
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
三角函数

问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m）

问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m）
在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，
BC=ABsin∠α=200sin16°
你知道sin16°是多少吗？
讲授新课
1.求sin18°．
第二步：输入角度值18，
屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
2.求cos72°．
第二步：输入角度值72，
屏幕显示结果cos72°=0.309 016 994
3.求 tan30°36'.
最后按等号，屏幕显示答案：0.591 398 351；
第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）
屏幕显示答案：0.591 398 351.
第一种方法：
第二种方法：
°＇ ″
键，
例1：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47°；　　　(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59°.
解：根据题意用计算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
典例精析

问题: 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01m）
在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，
BC=ABsin∠α=200sin16°
你知道sin16°是多少吗？
BC=200sin16°≈55.12（米）

问题: 在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°，由此你还能计算吗
在 Rt△BDE中，∠BED=90°，
DE=BDsin∠β=200sin42°
DE≈133.82（米）
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在Rt△ABC中，sin∠A=
那么∠A是多少度呢？
已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
还以以利用 键，进一步得到∠A＝30°7'8.97 "
第二步：然后输入函数值0. 501 8
屏幕显示答案： 30.119 158 67°
°＇″
操作演示
例2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.
解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.
cos55°= cos70°=cos74°28 '=
tan3°8 ' = tan80°25'43″=
sin20°=
sin35°=
sin15°32 ' =
0.3420
0.3420
0.5736
0.5736
0.2678
0.2678
5.930
0.0547
角度增大
正弦值增大
余弦值减小
正切值增大
拓广探索
比一比，你能得出什么结论？
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
归纳总结
例3：如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，
∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
(2)∵AC＝10千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米．
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.∵∠A＝45°，∴AF＝DF.设EF＝x，∵tan25.6°＝ ≈0.5，∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，故tan61.4°＝ ＝1.8，解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．所以，塔高DE大约是81米．
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
方法总结
当堂练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.627 5，sinB＝0.6175；（2）cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9；（3）tanA＝4.842 8，tanB＝0.881 6.
∠B≈38°8′2″
∠A≈38°51′57″
∠A≈51°18′11″
∠B≈80°27′2″
∠A≈78°19′58″
∠B≈41°23′58″
2.已知：sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（　　）A．32° B．58° C．68° D．以上结论都不对
A
3.用计算器验证，下列等式中正确的是（　　）A．sin18°24′+sin35°26′=sin45°B．sin65°54′-sin35°54′=sin30°C．2sin15°30′=sin31°D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
D
A
4.下列各式中一定成立的是（ ）A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°5.sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是(　)A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.
【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.
D
6.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°.(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
解析 (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长；(2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．
课堂小结
三角函数的计算
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
不同的计算器操作步骤可能有所不同
利用计算器探索锐角三角函数的新知
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
1.4 解直角三角形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第一章 直角三角形的边角关系
北师大版九年级数学下 教学课件
1.掌握解直角三角形的概念；（重点）2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解题. (重点、难点)
学习目标
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
导入新课
复习引入
讲授新课
问题1 如果已知Rt△ABC中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,
典例精析
在Rt△ABC中，
在如图的Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
2.4
练一练
问题2 如果已知Rt△ABC中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）.
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A=65°.
在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
75°
）
练一练
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
归纳总结
例3 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
D
解：过点 A作 AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= .在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD= +
练一练
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4， sinB＝ ，则菱形的周长是（　　） A．10 B．20 C．40 D．28
C
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是（　　）
D
当堂练习
2.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_________.
B
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（1）a = 30 , b = 20 ;
解：根据勾股定理得
(2) ∠B＝72°，c = 14.
解：
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形.
6
解：
∵AD平分∠BAC，
6. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ， BC = 5， 试求AB的长.
解：
A
C
B
7. 如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米?
解：如图所示，依题意可知，当∠B=600 时，
答：梯子的长至少4.62米.
C
A
B
当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5
∴BC=BD-CD=12-5=7；
∴BC的长为7或17.
当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.
解直角三角形
依据
解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
课堂小结
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系
（勾股定理）
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1.5 三角函数的应用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第一章 直角三角形的边角关系
北师大版九年级数学下 教学课件
1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点）2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角 的问题.(难点)
情境引入
我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.
那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？
引例 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？
讲授新课
D
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于 10 n mile.
北
东
解：由点A作AD⊥BC于点D,
设AD= x ,
则在Rt△ABD中，
在Rt△ACD中，
解得
所以，这船继续向东航行是安全的.
B
A
C
D
25°
55°
北
东
由BC=BD-CD,得
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
≈80×0.91
=72.8
在Rt△BPC中，∠B＝34°
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.19海里．
65°
34°
P
B
C
A
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
例1 如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高．(结果保留根号)
分析：求AC，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△ABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.
解：在Rt△ABC中，
在Rt△ACD中，
∴BD＝BC－DC
例2 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．
解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，
【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．
例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
仰角
水平线
俯角
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中，
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.1
答：旗杆的高度为15.1m.
例4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.  
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知　 DE＝CF＝4（米），　 CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中， 在Rt△BCF中，同理可得 因此AB＝AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93≈22.93（米）．　　答： 路基下底的宽约为22.93米．
1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
100
当堂练习
图1
图2
B
C
B
C
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）．
5.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________.
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD= OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB= AD= km．即该船航行的距离为 km．
6. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AD＋BD＝AB，
∴在Rt△BCD中，
∴AC＋BC＝
在Rt△ACD中，
750－600≈150(km)．答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km.
【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
(km).
7.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）．
解：在Rt△ABO中，∵tan∠BOA= =tan60°=∴AB=BO• tan60°=4 × =4 （米）答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4 米.
8.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度为1∶3，斜坡CD的坡度为1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）.
E
F
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、 F,由题意可知
BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
E
F
在Rt△ABE中
在Rt△DCF中，同理可得
=69+6+57.5=132.5m
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
(2) 斜坡CD的坡度为tanα=1：2.5=0.4，由计算器可算得
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°.
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
1.6 利用三角函数测高
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第一章 直角三角形的边角关系
北师大版九年级数学下 教学课件
1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程；2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点)3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．(难点)
学习目标
导入新课
如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法测出它们的高度吗？ 通过这节课的学习，相信你就行.
情境引入
讲授新课
问题1：如何测量倾斜角？
测量倾斜角可以用测倾器， ----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成
1.把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.
P
Q
问题2：如何使用测倾器？
2.转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.
30°
问题1：如何测量旗杆的高度？
A
C
M
N
E
在现实生活中，我们可以直接在旗杆下来回行走，所以只需测量一次角度（如图中的α）就可以确定旗杆的高度.
α
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图CE的长度.
A
C
M
N
1.在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
3.量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=l·tanα+a
α
问题2：测量旗杆的高度的步骤是怎么样的呢？
例1 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m).
典例精析
解：如图，作EM垂直CD于M点,根据题意，可知∠DEM=30°,BC=EM=30m, CM=BE=1.4m
在Rt△DEM中，DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m). ∴学校主楼的高度约为18.72m
问题1：在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图中的AN或BN的长度.
A
C
B
D
M
N
E
α
β
在现实生活中，我们不可以直接从测点到达被测点的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度.
问题2：测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
A
C
B
D
M
N
E
α
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
β
3.量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.
30°
45°
60m
解：由表格中数据，得α=30° ，β=45° ,
答：大楼高度为 .
1.如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m.）
当堂练习
解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m，
答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
从而 BC=1000×tan25°≈466.3（m）
因此，上海东方明珠塔的高度 BD=466.3+1.7≈468（m）
2.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高为1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精确到1 m)
解：如图，由题意可知， ∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m.∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设AB′=xm
解：（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；
（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝
4.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为测量居民楼与这座大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）
∵AD＋BD = AB，∴
解：设CD =x 米．在Rt△ACD中，
在Rt△BCD，tan48°=
解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．
利用三角函数测高
测倾器的认识及使用
课堂小结
测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角）
测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）
利用解三角形的知识，求出物体的高度
小结与复习
北师大版九年级数学下 教学课件
第一章 直角三角形的边角关系
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、锐角三角函数
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　　　＝　　　；(3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　　　＝　　　　.
2.梯子的倾斜程度与tanA、sinA和cosA的关系：
tanA的值越大,梯子越陡;sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.
3.锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ .
增大（或减小）
减小（或增大）
30°，45°，60°角的三角函数值
二、特殊角的三角函数
1.解直角三角形的依据(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B,∠C的对边．
三边关系：　 　；三角关系：　 ；边角关系：sinA＝cosB＝　　　，cosA＝sinB＝ ，tanA＝　　　　　　，tanB＝　　　　　　.
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B　
三、解直角三角形
(2)直角三角形可解的条件和解法条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
1.利用计算器求三角函数值．
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
（有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
四、锐角三角函数的计算
2.利用计算器求锐角的度数．
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：然后输入函数值
屏幕显示答案（按实际需要进行精确）
°＇″
1.仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
　　在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
五、三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角.如图所示：
2.方向角
α
h : l
（1）坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
（2）坡度（或坡比）
坡度通常写成1∶m的形式，如1∶6.
（3）坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡面
水平面
3.坡角
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
A
C
M
N
(1)在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
E
(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
(3)量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=l·tanα+a
α
1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
六、利用三角函数测高
2.测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
(1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
A
C
B
D
M
N
E
α
(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
β
(3)量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.
考点讲练
例1 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB＝(　　) A.　　 B.　 　 C.　 D.
【解析】 根据sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为4k,5k，则第三边长为3k，所以tanB＝
B
针对训练
1.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正弦值是________.
2.用计算器求下列各式的值：（1）cos63°17′≈______；（2）tan27.35°≈______；（3）sin39°57′6″≈______．
0.45
0.52
0.64
3.已知sinα=0.2，cosβ=0.8，则α+β=__________（精确到1′）．
48°24′
例2
【解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值．
解：原式＝
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°
4. 计算：
针对训练
例3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC= ，求：（1）DC的长；（2）sinB的值．
【分析】题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．
解:(1)设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC= ,
又 BC－CD＝BD，
解得x=6，
∴CD=6.
(2) BC=BD+CD=4+6=10=AD
在Rt△ACD中
在Rt△ABC中
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ .点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号).
针对训练
解：在Rt△ADC中，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC＝BD＋DC＝5.
在Rt△ABC中，
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC
例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度．小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼AB的高度．
【分析】 设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，用AG表示出FG，在Rt△ACG中，用AG表示出CG，然后根据CG－FG＝40，可求AG.
G
解：设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝ ，∴FG＝在Rt△ACG中，tan∠ACG＝ ，又CG－FG＝40，∴AG＝ ，∴AB＝ 答：这幢教学楼AB的高度为
∴
G
6.如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离（即CE的长）为8米，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45 °，则旗杆AB的高度是多少米?
解：如图在Rt△ACE和Rt△BCE中∠ACE=30°，EC=8米∴tan∠ACE= ,tan∠ECB=即：AE=8tan30°= （米）EB=8tan45°=8（米）∴AE+EB=(8+ )米
针对训练
锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单实际问题
课堂小结
2.1 二次函数
第二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
导入新课
情景引入
里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？
你们是根据哪些特征猜出的呢？
下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”------中科院数学与系统科学研究院 李邦河
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.
函 数
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
问题2 我们学过哪些函数？
思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.
思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
讲授新课
合作探究
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？
(4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000.
(100+x)(600-5x)=60320 解得，
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .
y=6x2
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
前面求出的三个函数有什么共同点?
函数都是用自变量的二次整式表示的
y=6x2
y=-5x²+100x+60000.
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
归纳总结
a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；
例1 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题可知
解得
（2）由题可知
解得
m=3.
第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
典例精析
1.下列函数中,哪些是二次函数?
先化简后判断
是
不是
是
不是
2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;(3)y=-2(x+3)2.
解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
问题4：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？
① y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
② y=6x2
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.②x>0.③∵20-x>0，∴0归纳总结
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
列二次函数关系式
三
例3一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
解：由题意得y＝122－2x(x+1)， 又∵x+1<2x≤12，∴1分析：本题中的数量关系是： 剩余面积=正方形面积-长方形面积.
当堂练习
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
C
1.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax²+bx+c的形式，二次项为 _____,一次项系数为______，常数项为 .
C
-3x2
-16
12
4. 已知函数 y=3x2m-1－5 ① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .
1
5.（1） n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
（2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是10（万元）,那么请你写出两年后的本息和y(万元)的表达式(不考虑利息税).
y=10(x+1)²=10x²+20x+10.
6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ).
课堂小结
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)
一般形式
右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
第二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=x2和y=－x2的图象与性质
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线.2．会画二次函数y=x2与y=-x2的图象.（难点）3．掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用.（重点）
1、一次函数y=kx+b(k≠0)
导入新课
复习引入
你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
2、反比例函数
2.通常怎样画一个函数的图象？
列表、描点、连线
3.那么二次函数y=x2的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？
讲授新课
你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗?
9
4
1
0
1
9
4
合作探究
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
观察思考
问题1 你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，(0,0).
问题3 当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？
问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
－3
3
o
3
6
9
x
y
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,它是图象的最低点，为(0,0).
问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴.
练一练：画出函数y=－x2的图象，并仿照y=x2的性质说出y=－x2有哪些性质？
y
合作探究
抛物线关于y轴对称.
顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.
图象是一条开口向下的抛物线.
当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小， 当x=0时，ymax=0.
位置开口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
要点归纳
例1 若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________.
典例精析
y2＞y1
例1变式 若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________.
y1＞y2
例2：已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得 解得所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
当堂练习
1.两条抛物线 与 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　）A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C．开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值
C
2．二次函数 y = -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而________．
减小
3．若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是 　　　．
(-2，4)
4．设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象．
解：
S = a2(a>0)
列表：
0
1
4
9
描点并连线．
S=a2
5.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2， ∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0， ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0．
6.已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则a=________.
解析：由题意可知 解得a=3或a=-3. 又∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴a=3.
3
7.已知点(－3，y1)，(1，y2)，( ，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是________．
解析：方法一：把x＝－3， ，1，分别代入y＝x2中， 得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2；方法二：如图，作出函数y＝x2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；
y1>y3>y2
方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)．又∵3> >1，∴y1>y3>y2.
课堂小结
二次函数y=x2和y=－x2图象与性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
2.2 二次函数的图象与性质
第二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质
学习目标
1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点）2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.（重点）3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.
导入新课
情境引入
门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？
羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出二次函数y=x2的性质吗？
如果二次函数y=ax2的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧！
讲授新课
合作探究
列表.
4.5
2
0.5
0
4.5
2
0.5
描点，连线.
观察思考
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？
二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
问题2 图象的对称轴是什么？
y轴就是它的对称轴.
问题3 图象的顶点坐标是什么？
原点 (0,0).
问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
问题5 当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？
位置开口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
要点归纳
顶点坐标是原点（0，0）
3.函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;顶点是抛物线的最____点.
2.函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是_____ 顶点是抛物线的最____点
1.函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
4.函数y= －0.2x2的图象的开口 ,对称轴是_ __,顶点是 ;
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
高
低
练一练
5.关于二次函数y＝2x2，下列说法正确的是(　)A．它的开口方向是向下 B．当x<0时，y随x的增大而减小C．它的对称轴是x＝2 D．当x＝0时，y有最大值是0
B
例1 若点(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=-3x2图象上的两点，且x1＞x2＞0，那么y1与y2的大小关系是_____________.
典例精析
y2＞y1
分析： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，
解得 k=2
2
当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
合作探究
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
要点归纳
在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.
把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号）（1）y=3x2的图象是_______；（2）y= x2的图象是_______；（3）y=-x2的图象是_______；（4）y= x2的图象是_______．
针对训练
③
①
④
②
合作探究
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
再描点，连线
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.
要点归纳
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
练一练
D
问题 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
(0,1)
(0,-1)
y轴
y轴
向上
(0,0)
y轴
合作探究
问题 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的增减性又如何？
当x=0时，y最小值=0
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
二次函数 y=ax2+c的性质
要点归纳
向上
向下
直线x=0
直线x=0
（0,c）
当x=0时，y最小值=c
当x=0时，y最大值=c
当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
（0,c）
想一想 1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？
2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c).
例3：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ，此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ，此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)．
当堂练习
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　
2.填表：
y = 2x2－４
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
在
=2
>2
<2
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1与y2的大小关系是__________.
y1＞y2
7.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为(　　)
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
D
8.已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；c决定顶点位置；对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：c正向上；c负向下.
课堂小结
2.2 二次函数的图象和性质
第二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
情境引入
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（难点）2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(重点）3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.
导入新课
复习引入
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
问题2 二次函数 y=ax2+c（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0）的图象平移得到： 当c > 0 时，向上平移c个单位长度得到. 当c < 0 时，向下平移-c个单位长度得到.
应该可以.
讲授新课
例1 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
－2
－2
0
0
－2
－2
0
x
y
向下
直线x=-1
( -1 , 0 )
直线x=0
直线x=1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0)
类似地，可以证明二次函数 y=a(x-h)2的下列性质
要点归纳
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,0）
（h,0）
当x=h时，y最小值=0
当x=h时，y最大值=0
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
典例精析
y2＜y3＜y1
向右平移1个单位
想一想 抛物线 ， 的图象与抛物线 的图象有什么关系？
向左平移1个单位
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移 ︱h︱ 时
y=a(x+h)2
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
练一练
C
1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .2.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是________.
当堂练习
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
3.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
向上
直线x=3
( 3, 0 )
直线x=2
直线x=1
向下
向上
(2, 0 )
( 1, 0)
4 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
y1 ＞y2 ＞ y3
5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.

y = 2x2

2
平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.
复习y=ax2+k
探索y=a(x-h)2的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向及增减性
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=h
（h,0）
a>0,开口向上a<0,开口向下a的符号决定增减性
y=ax2
课堂小结
第二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
2.2 二次函数的图象和性质
北师大版九年级数学下 教学课件
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点）
导入新课
复习引入
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
(1)y=ax2(2)y=ax2+c(3)y=a(x-h)2
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？
3.把y=-2x2的图象
向上平移3个单位
y=-2x2+3
向左平移2个单位
y=-2(x+2)2
4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？学完本课时你就会明白.
讲授新课
1.画出函数 的图象.指出它的开口方向、顶点、对称轴与增减性.
合作探究
先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
直线x=－1
开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1);x＜-1时，y随x的增大而增大；x＞-1时，y随x的增大而减小.
试一试 2.画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点及增减性.
开口方向向上；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2);x＜-1时，y随x的增大而减小；x＞-1时，y随x的增大而增大.
二次函数 y=a(x-h)2+k的性质
要点归纳
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
（h,k）
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
顶点式
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
典例精析
A
例2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4， 得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m＋n＝2.
向左平移1个单位
合作探究
平移方法1
向下平移1个单位
平移方法2
向左平移1个单位
向下平移1个单位
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
练一练
当堂练习
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为______________
3.抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为__________________．
y=2（x-3）2-3
4.已知y＝ (x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．
解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交点坐标是(1，0)，则另一个交点坐标是(5，0)．
(5，0)
5.对于抛物线y=- (x−2）2+6，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=2；③顶点坐标为（2，6）；④当x＞2时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
6.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=-（x-1）2+1的图象上，若-1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“=”）．
＞
解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=1，∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4，∴y1＞y2．
7.抛物线 与x轴交于B,C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（ ）A. B. C.12 D.
B
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)求h，k的值；
解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－4，∴h＝－1，k＝－4；
(2)判断△ACD的形状，并说明理由．
(2)△ACD为直角三角形．理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4.当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C点坐标为(0，－3)．顶点坐标为D(－1，－4)．
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y轴于点F，如图所示．在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.
第二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
北师大版九年级数学下 教学课件
2.2 二次函数的图象和性质
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）
导入新课
复习引入
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xh时，y随着x的增大而增大.
当xh时，y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
(0,0)
y轴
0
(0,-5)
y轴
-5
(-2,0)
直线x=-2
0
(-2,-4)
直线x=-2
-4
(4,3)
直线x=4
3
?
?
?
?
?
?
讲授新课
合作探究
配方可得
配方
你知道是怎样配方的吗？

(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？
解: 先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
然后描点画图，得到图象如右图.
O
问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性.
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.
试一试 你能用上面的方法讨论二次函数y=2x2-8x+7的图象和性质吗？
O
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1)，当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大.
解：
典例精析
例1：求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
y=ax²+bx+c
因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是：对称轴是：直线
例2：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴、顶点坐标.
要点归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(1)
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大；当x= 时，函数达到最小值，最小值为 .
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(2)
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为 .
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
例3 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
D
填一填
(1,1)
x=1
最大值1
(0,-1)
y轴
最大值-1
最小值-6
合作探究
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
＜
＞
＞
＜
＞
＞
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
＞
＞
＞
＞
＜
＝
x=0时，y=c.
＜
＝
＞
＜
＞
＜
x=0时，y=c.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
向上
向下
y
左
右
正
负
要点归纳
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
练一练
解析：由二次函数的图象得知a＜0，b＞0.故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限.故选C.
C
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
当堂练习
2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值：
直线x=3
直线x=8
直线x=1.25
直线x= 0.5
最小值-5
最大值1
最小值
最大值
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x= –1和x=3时，函数值相等；（3） 4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0；其中正确的是 .
直线x=1
（2）
4.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则(　　)A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝(x－ )2＋ .将y＝(x－ )2＋ 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋bx＋c.则y＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋ ，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A.
A
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
x
y
O
2
x=-1
B
6.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜-1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
D
课堂小结
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)(一般式)
配方法
公式法
2.3 确定二次函数的表达式
第二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）
导入新课
复习引入
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）
∴
讲授新课
典例精析
　　例1.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
a=2，
c=－5.
解得
{
{
　　1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
针对训练
解得
∴ y=-x2-6x.
{
{
a=-1,
b=-6.
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
针对训练
2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
∴所求的二次函数的表达式是
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
合作探究
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
解得
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写表达式）
典例精析
　　例2.已知二次函数的图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
∴二次函数图像对称轴为直线 ，顶点坐标为 .
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
针对训练
3. 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是
当堂练习
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
3
2
1
-1
3
4
5
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 .
y=-2(x-1)2+6
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得
b＝3，
c＝－4，
a＝2，
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.
解:∵该图象经过点（2,0）和(1,－6)，
解得
∴二次函数的表达式为：
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的积．
解:∵二次函数对称轴为
∴c点坐标为（2,0）
6.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）
A．E，F
B．E，G
C．E，H
D．F，G
C
7.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（　　）
A．8
B．14
C．8或14
D．-8或-14
C
8.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法求二次函数解析式
2.4 二次函数的应用
第二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 图形面积的最大值
北师大版九年级数学下 教学课件
学习目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
导入新课
复习引入
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）y=x2-4x-5; (2)y=-x2-3x+4.
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2； 顶点坐标：（2，-9）；
想一想：如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
讲授新课
典例精析
例1 写出下列抛物线的最值.（1）y=x2-4x-5;
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）, ∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)y=-x2-3x+4.
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x= ,顶点坐标为（ ， ）, ∴当x= 时，y取最大值，最大值为 ;
例2 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为(　　)A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝ ＝ ＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.
C
引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
典例精析
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
解:根据题意得
S=l(30-l),
即 S=-l2+30l (0也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60-2x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
问题4 如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
问题5 如何求最值？
最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
问题1 变式1与例1有什么不同？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
设垂直于墙的边长为x m，
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x m ，则
问题5 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
问题6 如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.
不正确.
问题4 如何求自变量的取值范围？
0 ＜ x ≤18.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
方法总结
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
例2 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2)
典例精析
解：∵7x+4y+πx=15,
∴0＜x＜1.48.
设窗户的面积是S m2, 则
因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02 m2.
例3 要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场，现知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降1 m,问此时水面宽度增加多少?
-3
(-2,-2) ●
● (2,-2)
4米
解：建立如图所示坐标系,
由抛物线经过点（2，-2），可得
● (2,-2)
设二次函数解析式为
如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?
4 m
4 m
请同学们分别求出对应的函数解析式.
O
O
知识要点
解决拱桥问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .
当堂练习
2.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（　　）
A.-10m B. m C. m D. m
D
3.如图1，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 s，四边形APQC的面积最小.
3
4. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)因为矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大， 为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？
O
A
1.25米
O
A
解：建立如图坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水处与x轴交于C点. 由题意可知A（ 0，1.25）、 B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
x
y
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1；
当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5
∴水池的半径至少要2.5米.
∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.
1.25
6.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 . ∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上， ∴﹣5.6=36a， ∴抛物线的表达式为
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？       
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4∴                        ，解得k=            ，即k1≈5.07，k2≈﹣5.07∴CD=5.07×2≈10.14（m）设最多可安装n扇窗户，∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．则最大的正整数为4．答：最多可安装4扇窗户.
7悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对应的函数表达式；
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得81.5=a•4502+0.5.解得故所求表达式为
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
解：当x=450－100=350（m）时，得
当x=450－50=400（m）时，得
课堂小结
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
（实物中的抛物线形问题）
拱桥问题
转化的关键
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；选择运算简便的方法.
第二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 商品利润最大问题
2.4 二次函数的应用
北师大版九年级数学下 教学课件
学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）
导入新课
情境引入
短片中，卖家使出浑身解数来赚钱. 商品买卖过程中，作为商家利润最大化是永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获得最大利润呢？
讲授新课
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.
探究交流
18000
6000
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量;
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
20
300
20+x
300-10x
y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
6000
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
即涨价5元时，最大利润是6250元.
降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
20
300
20-x
300+18x
y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，
即：y=-18x2+60x+6000.
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
6000
综合可知，应定价58元时，才能使利润最大。
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③降价多少元时，利润最大，是多少？
即降价 元时，最大利润是6050元.
即：y=-18x2+60x+6000，
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
知识要点
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
y=(160+10x)(120-6x)
例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间，设客房日租金为y万元，则
当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.
答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440.
=－60(x－2)2+19440.
∵x≥0，且120－6x＞0，
∴0≤x＜20.
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元).
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（600－20x）件，为使利润最大，则每件售价应定为 元.
25
当堂练习
2.进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
3. 某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（　　）
A．160元 B．180元 C．140元 D．200元
A
4.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（　　）
A．1月，2月 B．1月，2月，3月C．3月，12月 D．1月，2月，3月，12月
D
5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
课堂小结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本.
确定自变量的取值范围
涨价:要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
2.5 二次函数与一元二次方程
第二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
第1课时 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联 系.(难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点）
导入新课
情境引入
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，你能否解决以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）球从飞出到落地要用多少时间？
现在不能解决也不要紧，学完本课，你就会清楚了！
思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.
讲授新课
观察图象，完成下表：
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
3
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
知识要点
有两个交点
有两个不相等的实数根，为交点的横坐标
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根，为交点的横坐标
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有交点；
典例精析
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝ .当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1.
例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.
例2 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，你能否解决以下问题：
典例精析
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？
h=20t-5t2
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m吗？
20
4
解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
h=20t-5t2
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?
20.5
解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5m.
h=20t-5t2
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面.
h=20t-5t2
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
1.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球的飞行时间是多少？
针对训练
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0， 0.5）（0.8，3.5），∴ ∴抛物线的解析式为 ，
故足球的飞行时间为
（2）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
解：∵抛物线的解析式为
∴当t= 时，y最大=4.5；
（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
解：把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时， ∴他能将球直接射入球门．
1．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
-1
2.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
当堂练习
3.若一元二次方程 无实根，则抛物线 的图象位于（ ）A.x轴上方 B.第一、二、三象限C.x轴下方 D.第二、三、四象限
A
4.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
5.如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m．(1)求这个二次函数的解析式；(2)该同学把铅球推出去多远？
解：(1)设二次函数的解析式为y=a（x-4）2+3，把（0，0.6）代入得 0.6=a（0-4）2+3，
(2)当y=0时，答：该男同学把铅球推出去(4+2 )m远．
课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
Δ
2.5 二次函数与一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时 利用二次函数求方程的近似根
第二章 二次函数
北师大版九年级数学下 教学课件
1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集； （重点）2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点）
学习目标
问题：上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢?
导入新课
回顾与思考
例1：求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
讲授新课
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.
(1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；
(2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标；
(可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根;
利用图象法求一元二次方程的近似根
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
B
针对训练
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
例2：求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）.
分析：令y=x²-2x-1-3=x²-2x-4，则x²-2x-1=3的根就是抛物线 y=x²-2x-4 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标.
解：y=x²-2x-4的图象如图所示.
解：由图象可知方程的一根在3到4之间，另一根在-1到-2之间.(1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：
因此，x=3.2是方程的一个近似根.(2)可类似地求出另一个根为x=-1.2.
例2变式：你还能利用y=x²-2x-1 的图象求一元二次方程 的近似根吗（精确到0.1）？
分析：在y=x²-2x-1的图象中作直线y=3，再用图象法求出直线与抛物线交点的横坐标，则横坐标的近似值即为所求方程的近似根.
y=3
一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标 .
既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是 _____ _____;不等式ax2+bx+c>0的解集 是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________.
y
x1=-1， x2=3
x<-1或x>3
-1合作探究
拓广探索：
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是 ______________;不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
3
-1
O
x
2
(4,2)
(-2,2)
x1=-2， x2=4
x<-2或x>4
-2y
问题2
如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.
1
(2,0)
x=2
问题3
如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么 函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
0
解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解；
(2)当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数.
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:(1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.(2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0.(3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0.
x1=-1 , x2=2
-1 ＜ x＜2
x1＜-1 , x2＞2
y=x2-4x+4
x=2
x≠2的一切实数
x无解
y=-x2+x-2
x无解
x无解
x为全体实数
要点归纳
有两个交点x1,x2 (x1＜x2)
有一个交点x0
没有交点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2.y＞0，x2＜x或x＜x1
y＞0，x1＜x＜x2.y＜0，x2＜x或x＜x1
y＞0,x0之外的所有实数；y＜0，无解
y＜0,x0之外的所有实数；y＞0，无解
y＞0，所有实数；y＜0，无解
y＜0，所有实数；y＞0，无解
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 C
1.根据下列表格的对应值:
当堂练习
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　）A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
D
3.用图象法求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）.
解：画出x2+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为-1.6和0.6.即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6.
解：（1）x1=2,x2=4;
（2）x<2或x>4;
（3）2课堂小结
二次函数图象
由图象与x轴的交点位置，判断方程根的近似值
一元二次方程的根
一元二次不等式的解集
小结与复习
北师大版九年级数学下 教学课件
第二章 二次函数
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
一、二次函数的定义
要点梳理
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．
a＞0 开口向上
a ＜ 0 开口向下
x=h
(h , k)
y最小=k
y最大=k
在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘
二、二次函数的图象和性质
三、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系
四、二次函数图象的平移
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
五、二次函数表达式的求法
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式．
六、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
七、二次函数的应用
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集．
考点讲练
例1 抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为______．
【解析】方法一： 配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．方法二： 代入公式 ， ，则顶点坐标为(1,2)．
(1,2)
1．对于y＝2(x－3)2＋2的图象下列叙述正确的是(　　)A．顶点坐标为(－3,2) B．对称轴为y＝3C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x=3时，y取最大值，为2
C
例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1y2
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．∵x1B
当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小：(1)用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较；(2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；(3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
针对训练
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ） A. y=x2 B.y=x-1 C. D.y=-3x2
D
针对训练
例3 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是 （ ）
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
x
y
O
2
x=-1
B
3.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .
D
针对训练
针对训练
例4 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是(　　)A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3
【解析】因为y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的表达式为y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.故选B.
B
4.若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则必须（ ）A.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
B
针对训练
例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.
待定系数法
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
解得, a=2,b=－3,c=5.
∴ 所求的二次函数表达式为y＝2x2－3x＋5.
5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－3x+7的形状 相同 a=1或－1. 又∵顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,  顶点为(1,5)或(1,－5). 所以其解析式为: (1) y=(x－1)2+5 (2) y=(x－1)2－5 (3) y=－(x－1)2+5 (4) y=－(x－1)2－5
针对训练
例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（　　）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7
【解答】∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， ∴－ =3，解得m=－6， ∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0， 即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7． 故选D．
D
解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.∴BF=2x-30.
（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.所以S△DEF-S△GBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60x-450.
（3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150.∵a= ＜0,15＜20＜30，∴当x=20时，S有最大值， 最大值为150.
6. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.
(2)W=(x-60)•(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
考点八 二次函数与几何的综合
例8 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+3上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4
B
7.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；
解：（1）由题意，得解得所以，该抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=1，∴图中点C关于x=1的对称点D即为所求，此时，AC=BD，BC=AD，在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD（SSS）．在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3，则C（0，-3），∴D（2，-3）．
二次函数
图象画法
抛物线开口方向
抛物线的顶点坐标和对称轴
二次函数的性质
抛物线的平移
最值
确定 解析式
应用
课堂小结
3.1 圆
第三章 圆
北师大版九年级数学下 教学课件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点）2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点）3.初步了解点与圆的位置关系.
学习目标
导入新课
观察与思考
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
情境引入
一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
讲授新课
·
r
O
A
问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
圆的旋转定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
有关概念
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ．（2）到定点的距离等于定长的点都在 ．
圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面上到定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形．
O
·
A
C
E
r
r
r
r
r
D
定长r
同一个圆上
圆的集合定义
问题：从画圆的过程可以看出什么呢？
一是圆心，确定其位置；二是半径，确定其大小．
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同
确定一个圆的要素
能够重合的两个圆叫做等圆.
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，
在目标周围围成一个圆排队，
因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
问题：现在你能回答本课最开始的问题了吗？
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.

弦:
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
弧:
·
C
O
A
B
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
半圆
等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
劣弧与优弧
·
C
O
A
B
如图.(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 .
劣弧：
优弧：
1.根据圆的定义,“圆”指的是“圆周”,而不是“圆面”.2.直径是圆中最长的弦.
附图解释：
连接OC,在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC,而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.
例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.
连OA,OD即可，同圆的半径相等.
Ⅰ
Ⅱ
10
？
x
2x
算一算：设在例3中，⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 .
x
x
x
x
变式：如图，在扇形MON中， ，半径MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
解：连接OA.
∵ABCD为正方形
∴DC=CO
设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x
又∵OA=OM=10
∴在Rt△ABO中,
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°
又∵∠DOC=45°
.
问题1：观察下图，其中点和圆的位置关系有哪几种？
.
C
.
.
.
. B
.
.A
点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
d

P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
练一练：
圆内
圆上
圆外
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ）A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外
D
数形结合：
位置关系
数量关系
例4：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
解：AD=4=r，故D点在⊙A上 AB=3r，故C点在⊙A外
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）
3变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标.
骑车运动
看了此画,你有何想法?
思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？
车轮为圆形的原理分析：（下图为FLASH动画，点击）
1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．（2）图中有 条直径， 条非直径的弦， 圆中以A为一个端点的优弧有 条， 劣弧有 条．
直径
半径
一
二
四
四
当堂练习
2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
3.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心，2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .
上
外
上
4.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为 （ ）A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外
B
5.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 .
7cm或3cm
·
2cm
3cm
6.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.
O
能力拓展：一个8×12米的长方形草地，现要安装自动喷水装置,这种装置喷水的半径为5米,你准备安装几个? 怎样安装? 请说明理由.
圆
定义
旋转定义
要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径
集合定义
同圆半径相等
有关概念
弦（直径）
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
同心圆
等圆
同圆
等弧
能够互相重合的两段弧
课堂小结
点与圆的位置关系
位置关系数量化
3.2 圆的对称性
第三章 圆
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）
学习目标
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
情境引入
导入新课
讲授新课
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
问题2 你是怎么得出结论的？
圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法
探究归纳
问题3 将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
探究归纳
圆的对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
问题4 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
探究归纳
在同圆中探究
C
O ′
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
C
D
在等圆中探究
⌒
⌒
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
③AB=CD
弧、弦与圆心角的关系定理
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
在同圆或等圆中
题设
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论

×
×
√
抢答题
1.等弦所对的弧相等. （ ）
2.等弧所对的弦相等. （ ）
3.圆心角相等，所对的弦相等. ( )
典例精析
例1 如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点，且AD=CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？
A
D
解:BE=CE.理由是：∵∠AOD=∠BOE，∴AD=BE.又∵AD=CE，∴BE=CE.∴BE=CE.
⌒ ⌒
⌒ ⌒
⌒ ⌒
⌒ ⌒
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例3 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒ ⌒
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么_________，____________．（2）如果 ，那么_________，_____________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
AB=CD
AB=CD
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
针对训练
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.
理由如下：
D
60 °
当堂练习
A
解：CD=2AB不成立.理由如下： 取 的中点E,连接OE，CE，DE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以弦AB=CE=DE,在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
A
B
C
D
O
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
应用提醒
①要注意前提条件；②要灵活转化.
课堂小结
圆
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
*3.3 垂径定理
第三章 圆
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
导入新课
情境引入
问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
线段: AP=BP
·
O
A
B
D
P
C
讲授新课
试一试
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AP=BP，
∠AOC=∠BOC.
从而∠AOD=∠BOD.
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP,
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
归纳总结
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索

举例证明其中一种组合方法已知:求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
证明猜想
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
证明举例
⌒
⌒
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
垂径定理的本质是:
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
16
一
典例精析
例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
2cm或12cm
针对训练
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
d+h=r
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°,则弦AC= .
当堂练习
3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
理由：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
解：AC=BD
6.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
14cm或2cm
5. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______．
7.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB于F，∴AF= AB=3m，∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，∴AO=r，OF=r-2，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=32+（r-2）2，解得r= m．即，AB所在圆O的半径为 m．
拓展提升：如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3cm≤OP≤5cm
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结
3.4 圆周角和圆心角的关系
第三章 圆
北师大版九年级数学下 教学课件
第1课时 圆周角和圆心角的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.（重点）3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.（难点）
学习目标
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角, 如∠BOC.
导入新课
A
复习引入
在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AE的张角（ ∠ABE ）有关.
问题2 图中的三个张角∠ABE、∠ADE和∠ACE的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交.
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
讲授新课
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
测量：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
测量与猜测
猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半.
等于
推导与验证
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC的外部
圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
推论1：同弧所对的圆周角相等.
要点归纳
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.
(1)∠BOC= º，理由是 ;(2)∠BDC= º，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
(1)完成下列填空： ∠1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= .
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB所对的弧为 ,
例1 如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数.
AB
⌒
∴∠ACB= ∠AOB=25°.
同理∠BAC= ∠BOC=35°.
典例精析
例2 如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于（　　）
A．90° B．45° C．180° D．60°
A
例3 如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（　　）
A．15° B．25° C．30° D．75°
C
例4 如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
解析：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°，故选：B．
1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
当堂练习
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= ．
166°
3.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ADB= .
50°
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是 .
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
2
5.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
课堂小结
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等；
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
北师大版九年级数学下 教学课件
第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形
1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用. (重点)
学习目标
问题1 什么是圆周角？
导入新课
复习引入
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
问题2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
导入新课
情境引入
如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？
讲授新课
思考：如图，AC是圆o的直径，
则∠ADC= ，∠ABC= .
90°
90°
推论：直径所对的圆周角是直角.
反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
问题 回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.
例1：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．
B
典例精析
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC.
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
练一练
C
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.
(2)当ABCD为一般四边形时，猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º
性质探究
(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º
试一试
证明：圆内接四边形的对角互补.
已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.
证明：连接OB、OD.
根据圆周角定理，可知
由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°
圆内接四边形的对角互补.
要点归纳
C
O
D
B
A
∵∠A＋∠DCB＝180°，
E
∠DCB＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
想一想
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= .
70º
100º
90º
练一练
3. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)A．120° B．100°C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.
A
例2：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.
典例精析
1.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
50°
当堂练习
2.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于 （ ）A.70° B.110° C.90° D.120°
B
3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.
解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）
变式：已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数.
A
B
C
O
D
4.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（　　）
A．3 B． C． D．2
A
5.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；
(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？
(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．
课堂小结
圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
3.5 确定圆的条件
第三章 圆
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
北师大版九年级数学下 教学课件
1.复习并巩固圆中的基本概念.2.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用. (重点)3.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.（难点）
学习目标
导入新课
情境引入
假如旋转木马真如短片所说，是中国发明的，你能将旋转木马破碎的圆形底座还原，以帮助考古学家画进行深入的研究吗？
要确定一个圆必须满足几个条件?
问题1 构成圆的基本要素有那些?
导入新课
复习与思考
o
r
两个条件:
圆心
半径
那么我们又该如何画圆呢?
问题2 过一点可以作几条直线？
问题3 过几点可以确定一条直线？那么过几点可以确定一个圆呢？
问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
合作探究
·
·
·
·
·
以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.
A
讲授新课
回顾线段垂直平分线的尺规作图的方法
1．分别以点A和B为圆心，以大于二分之一AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
2.作直线MN.
N
M
A
B
问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？
·
·
·
·
A
B
作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
●o
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
A
B
C
问题4过同一直线上三点能不能作圆?
不能.
●o
归纳总结
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　）
典例精析
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
B
试一试： 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
O
1. 外接圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角形.
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形的外心：定义：
●O
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：
三角形三条边的垂直平分线的交点.
性质：
概念学习
判一判：下列说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )(3)经过三点一定可以确定一个圆( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
×
×
√
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
●O
●O
●O
画一画
锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心位于三角形外.
要点归纳
例：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；
典例精析
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，OA＝OD·tan∠ADO＝ ，AD＝2OD＝6，∴点A的坐标是( ，0)．∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径，∴△AOB外接圆的面积是9π.
方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．
1.判断：（1）经过三点一定可以作圆 （ ）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ）（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）
√
×
×
×
当堂练习
2.三角形的外心具有的性质是（ ）A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
B
3.如图，是一块圆形镜片破碎后的部分残片，试找出它的圆心.
方法:1.在圆弧上任取三点A、B、C.2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.3.以点O为圆心，OC长为半径作圆,⊙O即为所求.
4.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　）A．点P B．点Q C．点R D．点M
B
5.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．
70°
6.如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数．
解：∵点O为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC.∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°，∴∠OCA＋∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°.
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是_________，半径是______．
（5，2）
8.已知正△ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是________．
解析：如图，能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接圆的半径，设⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，作OE⊥BC于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°，∵OB=OC，OE⊥BC，∴∠BOE=60°，BE=EC=3，∴sin60°= ，∴OB= ，故答案为 ．
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆
注意：同一直线上的三个点不能作圆
课堂小结
三角形外接圆
概念
性质
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆
外心
外接圆的圆心叫三角形的外心
3.6 直线和圆的位置关系
北师大版九年级数学下 教学课件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第三章 圆
第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.2.能根据圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系，判断出直线与圆的位置关系.(重点）3.理解并掌握圆的切线的性质定理.（重点）
学习目标
点和圆的位置关系有几种？
dd=r
d>r
用数量关系如何来判断呢？
(令OP=d )
导入新课
导入新课
观赏视频
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
讲授新课
问题2 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
●
●
●
l
0
2
2个
交点
割线
1个
切点
切线
0个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
填一填
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.
知识要点
直线与圆最多有两个公共点.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. 若A是☉O上一点，则直线AB与☉O相切. ④若C为☉O外一点，则过点C的直线与☉O相交或相离. ⑤直线a 和☉O有公共点，则直线a与☉O相交.
√
×
×
×
×
判一判
问题1 刚才同学们用硬币移近直线的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
圆心到直线的距离在发生变化；首先距离大于半径，而后距离等于半径，最后距离小于半径.
问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？
O
d
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
数形结合：
位置关系
数量关系
（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o
o
o
公共点个数
相交
相切
相离
2
1
0
练一练
d > 5cm
d = 5cm
0cm≤d < 5cm
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm.(1) 以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与圆C相切？．
典例精析
∴
解：过C作CD⊥AB，垂足为D.
在△ABC中，
AB=
5.
根据三角形的面积公式有
因此，当半径长为2.4cm时，AB与圆C相切.
记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.
问题 对于例1(1)，你还有其他解法吗？
∵BC=4，AC=3，AB=5，
因此，当半径长为2.4cm时，AB与圆C相切.
(2)以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？① r=2cm；② r=2.4cm； ③ r=3cm．
解：由(1)可知圆心C到AB的距离d=2.4cm.
所以 ①当r=2cm时,
有d >r,
因此⊙C和AB相离.
②当r=2.4cm时,有d=r.
因此⊙C和AB相切.
③当r=3cm时，有d因此，⊙C和AB相交.
A
B
C
A
D
4
5
3
变式题: 1.Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB没有公共点？
当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时,⊙C与线段AB没有公共点.
2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？
A
B
C
A
D
4
5
3
当r=2.4cm或3cm＜r≤4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.
当2.4cm＜r≤3cm 时,⊙C与线段AB有两公共点.
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
（2）则OM（3）所以AB与CD垂直.
证法1：反证法.
切线性质的证明
反证法的证明视频
证法2：构造法.
作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
60°
1.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB= .2.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°， 若⊙O的半径长1cm，则CD= cm.
练一练
利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
方法总结
.O
.O
.O
.O
.O
1.看图判断直线l与⊙O的位置关系？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
相离
相交
相切
相交
?
当堂练习
相交
2．直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（ ）A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 53. ⊙O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与⊙O .4. ⊙O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能
B
相离
A
5.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）A．40° B．35° C．30° D．45°
C
第6题
P
O
D
A
B
C
6.如图，已知AB是⊙ O的切线，半径OC的延长线与AB相交于点B，且OC=BC。（1）求证： AC= OB.（2）求∠B的度数.
(1)证明：∵AB是⊙ O的切线，OA为半径， ∴∠OAB=90°， 在Rt△OAB中，∵OC=CB， ∴AC=OC= OB.
(2)解：由(1)可知OA=OC=AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴在Rt△OAB中， ∠B=90°-60°=30°.
已知⊙O的半径r =7cm,直线l1 // l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
（1） l2与l1在圆的同一侧： m=9-7=2 cm
（2）l2与l1在圆的两侧： m=9+7=16 cm
解：设 l2与l1的距离为m，
课堂小结
相离
相切
相交
直线与圆的位置关系
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分:
直线与圆没有公共点
直线与圆有唯一公共点
直线与圆有两个公共点
切线的性质
有1个公共点
d=r
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直.
性质定理
3.6 直线和圆的位置关系
北师大版九年级数学下 教学课件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第三章 圆
第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点）2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
学习目标
下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？
导入新课
情境引入
讲授新课
问题1 如图，OA是⊙O的半径， 经过OA 的外端点A， 作一条直线l⊥OA，圆心O 到直线l 的距离是多少？ 直线l 和⊙O有怎样的位置关系？
合作探究
l
l
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
B
C
O
要点归纳
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
判一判
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点归纳
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
做一做
（2） 过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l 就是所要画的切线.如图所示.
如下图所示，已知⊙O 上一点P，过点P 画⊙O 的切线．
画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处， 并使一直角边与半径OP 重合；
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
证明：连接OC. ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线.
典例精析
例2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵在△ABC 中，AB ＝AC ，　　O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
又∵OE ⊥AB ，OF⊥AC.
(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.
证切线时辅助线的添加方法
例3 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆O.
分析：如果圆O与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.
半径
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A 的__________与∠B的___________的___点.
平分线
平分线
交
作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
观察与思考
与△ABC的三条边都相切的圆有几个？
因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．
填一填
例4 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，求∠ BOC的度数。
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
典例精析
∴∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠OCB) =180°- ( ∠ABC +∠ACB) =180° - ×110° = 125°.
1.判断下列命题是否正确.⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线.⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(5)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.(6) 三角形的内心到三角形各边的距离相等. (7)三角形的内心一定在三角形的内部.
（×）
（×）
（√ ）
（√ ）
（√ ）
当堂练习
（ √ ）
（ √ ）
2.如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)A．40°B．55°C．65°D．70°
解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝ ∠EOF＝55°.
B
·
B
D
E
F
O
C
A
3.如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S.
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
证明：连接OP. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线.
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．
M
N
6.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ .（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴ ∠D+ ∠DAC=90 °,∵ ∠D与∠B同对 ,∴ ∠D= ∠B,又∵ ∠CAE= ∠B,∴ ∠D= ∠CAE,∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.
D
7.如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED；
(1)求证：BD＝ED；
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．
(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝ AD＝ ×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ , ∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm.
切线的判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.
课堂小结
三角形内切圆
有关概念
内心概念及性质
*3.7 切线长定理
北师大版九年级数学下 教学课件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第三章 圆
1.理解切线长的概念；2.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重点）
学习目标
问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？问题2 过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示）！
直径所对的圆周角是直角.
导入新课
1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里？
讲授新课
合作探究
问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？
猜测 PA=PB，∠APO=∠BPO
推导与验证
如图，连接OA，OB.∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°∵ OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
B
P
O
A
切线长定理: 过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
要点归纳
B
P
O
A
1. PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= .
5
6
练一练
2. PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP △AOB
（3）写出图中所有的全等三角形；
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
⑵ ∠DOE= ____ .
典例精析
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB.l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.同理可得∠COE= ∠COB.∠DOE=∠DOC+∠COE= （∠AOC+∠COB）=70°.
（3）连接圆心和圆外一点.
（2）连接两切点；
（1）分别连接圆心和切点；
方法归纳
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm， BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
C
B
由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14，
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解得 x=4.
A
C
B
例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r.
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
B
·
A
C
E
D
F
O
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
B
·
A
C
E
D
F
O
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径 r＝ 或r＝ (前面课时已证明).
20 °
4
当堂练习
110 °
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
A
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．
20
4.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= .
65 °或115 °
5.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 .
30
拓展提升：6.直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：(1)它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？(2)若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O的半径r的取值范围.
1
解：设BC=3cm，由题意可知与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3cm，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
应用
重要结论
课堂小结
3.8 圆内接正多边形
北师大版九年级数学下 教学课件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第三章 圆
1.了解正多边形和圆的有关概念.2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. (重点)3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
学习目标
问题：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
导入新课
观察与思考
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
讲授新课
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
探究归纳
∴
同理
∴
解：
AB=BC=CD=DE=EA.
∠B=∠C=∠D=∠E.
∠A=∠B.　
∴ 五边形ABCDE是正五边形.
弦相等（多边形的边相等） 圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
问题2 将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点，所得到的多边形是正多边形吗？
弧相等—
将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.
已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 __ ，所以正六边形的边长与圆的半径 _ .因此，在半径为r的圆上依次截取等于 的弦，即可将圆六等分.
60º
相等
r
. O
做一做
作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC； (2)分别以F，C为圆心，以r为半径作弧，与⊙O 交于点E，A和D，B； (3)依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便 得到正六边形ABCDEF即为所求.
. O
F
C
A
B
D
E
问题1
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距r
弦a
圆心
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所对的圆心角
正多边形的中心角
弦心距
正多边形的边心距
M
60 °
120 °
120 °
90 °
90 °
90 °
120 °
60 °
60 °
正多边形的外角=中心角
完成下面的表格：
想一想
问题4 正n边形的中心角怎么计算？
问题5 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
a
R
r
问题6 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
例1：如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 （ ）A．60° B．45° C． 36° D． 30°
典例精析
C
例2 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
C
D
O
E
F
A
P
抽象成
典例精析
B
亭子地基的面积
4m
O
A
B
C
D
E
F
解：过点O作OM⊥BC于M.
亭子地基的周长l=6×4=24(m)
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
·
圆内接正多边形的辅助线
1.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积为______．
解：连接AO，BO，CO，AC，∵正八边形ABCDEFGH的半径为2，∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC= ，∴∠AOC=90°，∴AC= ，此时AC与BO垂直，∴S四边形AOCB= ，∴正八边形面积为： ．
针对训练
1. 填表
2
1
2
8
4
2
2
12
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .
3
当堂练习
3.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．
72
D
6. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值）
圆内接正多边形
正多边形和圆的关系
正多边形的有关概念
正多边形的有关计算
添加辅助线的方法：连半径，作边心距
课堂小结
中心
半径
边心距
中心角
正n边形各顶点等分其外接圆.
3.9 弧长及扇形的面积
北师大版九年级数学下 教学课件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第三章 圆
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
学习目标
问题1 你注意到了吗，在运动会的4×100米比赛中，各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
导入新课
(1)半径为R的圆,周长是多少？
(2)1°的圆心角所对弧长是多少？
n°
O
(4) n°的圆心角所对弧长l是多少？
1°
C=2πR
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？
n倍
讲授新课
合作探究
(1)用弧长公式 进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.(2)区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
要点归纳
半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
典例精析
(
1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为 　　　．2．一个扇形的半径为8cm，弧长为　　cm，则扇形的圆心角为 　　 ．
针对训练
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则弧AC的长为_________.
2π
S=πR2
（2）圆心角为1°的扇形的面积是多少?
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1° 的扇形的面积的多少倍？
n倍
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
思考(1)半径为R的圆,面积是多少？
合作探究
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
要点归纳
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
例1 如图，已知圆O的半径1.5cm,圆心角∠AOB=58o,求AB的长(结果精确到0.1cm)扇形OAB的面积(结果精确到0.1cm2).
解 ∵r=1.5cm, n=58,∴AB的长=
典例精析
(
(
AB的长也可表示为ABl.
(
(
1.扇形的弧长和面积都由______________________ 决定.
扇形的半径与扇形的圆心角
2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .
针对训练
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
典例精析
D
(2)
(3)
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.
∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
　从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
　　有水部分的面积：
　　S＝S扇形OAB - S ΔOAB
左图： S弓形=S扇形-S三角形右图：S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
3.如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A=30°，则弧BC的长为__________(结果保留π)．
4.如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　)
C
C
6.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .
解析：连接OB、OC，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.∴BC的长为 ＝2π(cm)．故答案为2π.
︵
2π
8．一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇形的圆心角为多少度?
解：设扇形半径为R，圆心角为n0,由扇形公式
答：该扇形的圆心角为150度．
（cm）
可得:
9.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
A
B
D
C
E
弧长
扇形
公式
阴影部分面积求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
割补法
课堂小结
小结与复习
北师大版九年级数学下 教学课件
第三章 圆
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
一、圆的基本概念及性质
1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.
2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
要点梳理
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
二、点与圆的位置关系
●A
●B
●C
●O
d
r
d﹥r
d=r
d﹤r
三、圆的对称性
1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴.圆有无数条对称轴.
2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一 个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等．
③AM=BM,
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
四、垂径定理及推论
垂径定理的逆定理
②CD⊥AB,
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
M
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.
五、圆周角和圆心角的关系
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
推论：直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
六、直线和圆的位置关系
●
l
d
r
0
切线
d﹤r
2
d﹥r
—
d=r
1
割线
七、切线的判定与性质
1.切线的判定一般有三种方法：a.定义法：和圆有唯一的一个公共点b.距离法： d=rc.判定定理：过半径的外端且垂直于半径
2.切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.
3.切线长及切线长定理
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
重要结论
问题1
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距r
弦a
圆心
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所对的圆心角
正多边形的中心角
弦心距
正多边形的边心距
M
九、圆内接正多边形
1.正n边形的中心角=
3.正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系：
a
R
r
4.边长a，边心距r的正n边形面积的计算：
2.正多边形的内角=
（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：
十、弧长及扇形的面积
例1 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠CAO等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
B
例2 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（ ）A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
B
例3 ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（ ）A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 ☉O的关系.
D
1.如图所示，在圆O中弦AB∥CD，若∠ABC=50°，则∠BOD等于（　　）A．50° B．40° C．100° D．80°
C
针对训练
135°
2.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度数是 .
例4 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
8
C
D
O
解析 设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.
针对训练
D’
P
例5 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，连接BD.
解：（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°.
∵AD=3，BD=4，∴AB=5.
∵∠CDB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长.
又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°，
∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE.
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，即∠BDE+∠CDE=90°.
∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°.∴ED与☉O相切.
（2）证明：连接OD，在Rt△BDC中，
∵E是BC的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE.
又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD.
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与☉O相切.
例6 （多解题）如图，直线AB,CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后☉P与直线CD相切.
4或8
解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线CD下面与直线CD相切；(2)☉P在直线CD上面与直线CD相切.
A
B
D
C
P
P2
P1
E
o
[解析] 连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC.
例7 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.（1）求证：BC=2DE.
解：（1）证明：连接BD，
∵AB为直径，∠ABC=90°，∴BE切☉O于点B.
又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE，∴∠EBD=∠EDB.
∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°.∴∠C=∠CDE，DE=CE.∴BC=BE+CE=2DE.
（2）∵DE=2，∴BC=2DE=4.
在Rt△ABC中，
又∵△ABD∽△ACB，
解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.
D
解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题意，得BC=8.设AD为x.∵∠ABC=30°，∴AB=2x.BD= x.∵∠ACD=90°-30°=60°，∴ AD=CD×tan60°，CD= .BC=BD-CD= =8.解得 x=
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.
5.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于 .
50°
针对训练
6.如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切．理由：连接OD，BD，∵DE切⊙O于D，AB为直径，∴∠EDO＝∠ADB＝90°.又DE平分CB，∴DE＝ BC＝BE.∴∠EDB＝∠EBD.又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°.∴BC与⊙O相切．
例9 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积？
解：∵四边形OABC为菱形 ∴OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上
8. 一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 .
40cm
针对训练
9. 如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.
∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
在Rt△AC'C中，得
∴正方形ABCD外接圆的半径为
∴正方形ABCD的边长为
例10 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______.
10. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．⑴求正方形EFGH的面积；
解：⑴∵正六边形的边长与其半径相等，∴EF=OF=5. ∵四边形EFGH是正方形， ∴FG=EF=5， ∴正方形EFGH的面积是25.
针对训练
⑵∵正六边形的边长与其半径相等，∴∠OFE=600.∴正方形的内角是900，∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500.由⑴得OF=FG，∴∠OGF= （1800-∠OFG） = （1800-1500）=150.
⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．
例11 如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别交于A，B两点，连接AP并延长分别交⊙P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1）.（1）求证：CD=CF；（2）判断⊙P与x轴的位置关系， 并说明理由；（3）求直线AD的函数表达式.
解：（1）证明：过点D作DH⊥x轴于H，则∠CHD=∠COF=90°，如图所示.∵点F（0，1），点D（6，-1），∴DH=OF=1.∵∠FCO=∠DCH，∴△FOC≌△DHC，∴CD=CF.（2）⊙P与x轴相切.理由如下：连接CP，如图所示.∵AP=PD，CD=CF，∴CP∥AF.∴∠PCE=∠AOC=90°.∴⊙P与x轴相切.
（3）由（2）可知CP是△ADF的中位线.∴AF=2CP. ∵AD=2CP，∴AD=AF.连接BD，如图所示.∵AD为⊙P的直径，∴∠ABD=90°.
∴BD=OH=6，OB=DH=OF=1.设AD=x，则AB=AF－BF=AD－BF=AD－(OB+OF）= x－2.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2+BD2，即x2=（x－2）2+62，解得 x=10.∴OA=AB+OB=8+1=9. ∴点A（0，－9）.设直线AD的函数表达式为y=kx+b，把点A（0，－9），D（6，－1）代入，得 解得 ∴直线AD的函数表达式为 .
圆
圆的有关性质
与圆有关的位置关系
与圆有关的计算
垂径定理
添加辅助线
连半径，作弦心距，构造直角三角形
圆周角定理
添加辅助线
作弦，构造直径所对的圆周角
点与圆的位置关系
点在圆环内：r ＜d ＜R
直线与圆的位置的关系
添加辅助线证切线
有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.
正多边形和圆
转化
直角三角形
弧长和扇形
灵活使用公式
课堂小结