浙江省杭州市八区市2022-2023学年八年级上学期期末学业水平测试数学试题

浙江省杭州市八区市2022-2023学年八年级上学期期末学业水平测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列说法正确的是（　　）

A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题

C．假命题没有逆命题 D．真命题的逆命题是真命题

【答案】B

【分析】利用逆定理、逆命题的定义分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】解：A、每个定理的逆命题不一定正确，所以不一定都有逆定理，此选项说法错误，不符合题意；

B、每个命题都有逆命题，此说法正确，符合题意；

C、假命题也有逆命题，此选项说法错误，不符合题意；

D、真命题的逆命题不一定是真命题，此选项说法错误，不符合题意

故选B．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大．

2．已知一次函数，若随的增大而减小，则它的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

【答案】C

【分析】先根据一次函数中，随的增大而减小判断出的符号，再根据一次函数的性质判断出此函数的图象所经过的象限，进而可得出结论．

【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小，

∴，

∴此函数图象必过二、四象限；

∵，

∴此函数图象与轴相交于负半轴，

∴此函数图象经过二、三、四象限．

故选：C．

【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．

3．若，则下列式子中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得．

【详解】A. ，故本选项不正确，不符合题意；

B. ，，故本选项不正确，不符合题意；

C. ，，故本选项正确，符合题意；

D. ，，故本选项不正确，不符合题意；

故选择：C

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．

4．如图，，若，则的度数为（    ）

A．20° B．25° C．30° D．50°

【答案】B

【分析】根据全等三角形的对应角相等即可得出答案．

【详解】解：，，

；

故选：B．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

5．如图是用尺规作的平分线的示意图，那么这样作图的依据是(    )

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【答案】A

【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案.

【详解】连接CE、CD，

在△OEC和△ODC中，

，

∴△OEC≌△ODC(SSS)，

故答案选A.

【点睛】本题考查的知识点是作图-基本作图，解题的关键是熟练的掌握作图-基本作图.

6．如图，笑脸盖住的点的坐标可能是（    ）

A．（2，3） B．（－2，3） C．（－2，－3） D．（2，－3）

【答案】B

【分析】笑脸在第二象限，找出第二象限内点的坐标即可．

【详解】解：∵笑脸在第二象限，

∴笑脸盖住的点的坐标是第二象限的点

纵观各选项，只有（－2，3）是在第二象限的点；

故选：B．

【点睛】本题考查平面直角坐标系各象限点的坐标特征，关键是掌握各象限的符号特征：第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－）．

7．小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设小聪买了x支钢笔，则买了本笔记本，根据“总价=单价×购买数量”结合总价不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式．

【详解】解：设小聪买了x支钢笔，则买了本笔记本，

根据题意得：．

故选B．

【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，审清题意、明确各量间的关系是解题的关键．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　）

A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④

【答案】D

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用“HL”证明可得对应角,全等三角形对应边相等可得,然后求出可得出答案．

【详解】∵平分,

∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确．

∵,平分，

∴，且（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确．

∵，，

∴，

在和中，

∴≌（HL），

∴故③正确，，

∴，即，故④正确，

故选D．

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．

9．如图，木杆斜靠在墙壁上，是的中点，当木杆的上端沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端也随之沿着射线方向滑动，则下滑过程中的长度变化情况是（    ）

A．逐渐变大 B．不断变小 C．不变 D．先变大再变小

【答案】C

【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可判断；

【详解】解：∵是的中点，∠AOB=90°，

∴OP是Rt△AOB斜边中线，

∴OP=AB，

∵AB的长固定，

∴OP的长度不变，

故选： C．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，掌握其性质是解题关键．

10．如图, 在中，，，与相交于点，于．则下列数量关系正确的为(　　)

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件得出是等边三角形，证明，进而证明，则，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．

【详解】解：，

是等边三角形，

．

，，

．

∴，

∵,，

∴，

∴，

设，则，

∴

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键．

二、填空题

11．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________．

【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形．

【分析】交换命题的题设和结论即可确定该命题的逆命题．

【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是：有两个角互余的三角形是直角三角形，

故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形．

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．

12．已知函数是一次函数，则的值为___________________．

【答案】

【分析】根据一次函数的定义即可求解．一次函数中、为常数，，自变量次数为．

【详解】解：依题意，，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题的关键．

13．不等式组的整数解有________个．

【答案】5

【分析】分别解出每一个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则得出该不等式组的解集，最后在该不等式组的解集中找出整数即可．

【详解】解：，

解不等式①，得：，

解不等式②，得：，

∴该不等式组的解集为，

∴该不等式组的整数解有：共5个．

故答案为：5．

【点睛】本题考查求一元一次不等式组的整数解．掌握求不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．

14．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，．则滑道的长度为______m．

【答案】

【分析】设，则，在直角三角形中，利用勾股定理即可求解．

【详解】解：设，

∵，

∴，

∵，

∴在中，，

即，解得，

故答案为：

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

15．如图, 一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为_________，关于x的不等式的解为______．

【答案】         

【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可求得方程组的解；然后根据图像即可确定不等式的解；根据一次函数的图像在一次函数图像的上方对应x的取值范围即可解答．

【详解】解：∵一次函数与的图像相交于点

∴方程组的解为

由函数图像可得关于x的不等式的解为．

故答案为，．

【点睛】本题主要考查了运用一次函数图像解方程组、解不等式等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．

16．如图，等边中，，O为垂足且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，在点E运动的过程中，当的长取得最小值时，的长为 ______．

【答案】

【分析】过点O作于H，连接，先根据等边三角形的性质和轴对称的性质得到点F的运动路线，再根据垂线段最短得到点F、H重合时最小，然后利用含30度直角三角形的性质求得即可．

【详解】解：如图，过点O作于H，连接，

∵是等边三角形，，

∴，

∵线段与线段关于直线对称，，

∴，，即，

∴点F在射线上运动，根据垂线段最短可知，当F和H重合时，的值最小，即为的长度，此时，

在中，，

∴，

即当的长取得最小值时，的长为，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，轴对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质，找到点F的运动路线以及使最小时的位置是解题的关键．

三、解答题

17．已知：如图，点在同一条直线上，．求证：．

【答案】证明过程见详解

【分析】根据边边边证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可求解．

【详解】证明：∵，

∴，即，

在与中，

，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定条件，全等三角形的性质是解题的关键．

18．解下列不等式（组）

(1)；

(2)

【答案】(1)x>-2

(2)

【分析】（1）移项，合并同类项，再根据不等式的性质解即可；

（2）分别解不等式，最后再求出不等式的解集．

【详解】（1）解：

．

（2）解：令

解①得

解②得

∴ 不等式组的解是：．

【点睛】本题考查了解不等式和不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤．

19．（1）在平面直角坐标系中，画，使其三个顶点为，，；

（2）是直角三角形吗？请证明你的判断．

【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析

【分析】(1)直接在坐标系中画出，连接即可得到；

(2)利用勾股定理和逆定理即可求解．

【详解】（1）

（2）是直角三角形．

 理由如下：

由勾股定理可知，，，

∵，

∴，

∴是直角三角形．

【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用以及坐标与图形，熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．

20．已知y关于x的一次函数，当时，；当时，．

(1)求k、b的值；

(2)若，是该一次函数图象上的两点，求证：．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）把，代入解析式，得到，，计算即可证明结论．

【详解】（1）解：把，；，代入,得

，解得；

（2）解：由（1）可知：函数解析式为，

把，代入解析式得：

，，

∴．

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．

21．如图，已知都是等腰直角三角形，连接．

(1)求证：；

(2)若延长交于点F，试判断与的位置关系，并说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)，理由见解析

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再利用证明，即可；

（2）设与交于点G，根据全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理，即可．

【详解】（1）证明：∵都是等腰直角三角形，

∴，

∴，即，

在和中，

∵，

∴；

（2）解：， 理由如下：

如图，设与交于点G，

∵，

∴，

∵

∴，

∴ ．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．

22．甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；线段表示轿车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系．点在线段上，请根据图象解答下列问题：

(1)试求点的坐标；

(2)当轿车与货车相遇时，求此时的值；

(3)在整个过程中，问在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于千米．

【答案】(1)

(2)

(3)或或

【分析】（1）设的函数解析式为，将点，，代入，待定系数法求解析式，令，即可求解；

（2）由的函数解析式：，，求得的函数解析式：，联立解析式即可求解；

（3）根据当两车都在行驶时，由题意列出不等式组，解不等式组即可求解．

【详解】（1）设的函数解析式为．

，在其图象上，得

，

解得： ，，

，

令，解得

故

（2）的函数解析式：，；

∵，设的解析式为，

则，解得：

的函数解析式：，

，

解得，

当时，轿车与货车相遇；

（3）当时，，轿车还未行驶，两车相距千米，故时，轿车与货车之间的距离小于千米．

当时，，两车相距千米，故时，轿车与货车之间的距离小于千米  

当两车都在行驶时，由题意可得：

，

解得：．

故，，时两车相距小于千米，

答：在整个过程中当轿车与货车相距小于千米时，的取值范围为或或．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出函数关系是解题的关键．

23．如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形，，，点D与点B关于直线l轴对称，连接交直线l于点E，连接．

(1)求证：；

(2)求证：；

(3)当时，求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】（1）由轴对称的性质可得，可得结论；

（2）由“”可证，可得，由三角形内角和可得结论；

（3）当时，由勾股定理可知：，，由得，进而可得，由可证得．

【详解】（1）∵点D与点B关于直线l轴对称

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）如图，设与交于点

∵点D与点B关于直线l轴对称

∴，，，

∴ ，

∴，

∵；

∴，

∵ （对顶角相等）；

∴；

（3）当时，在中，由勾股定理可知：．

∵

∴．

∴．

在中，由勾股定理可知：．

又∵，

故，

∴．

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形的内角和及勾股定理等知识，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．