数学七年级下册第七章 二元一次方程组1 二元一次方程组获奖课件ppt

7.1  二元一次方程组

●教学目标

(一)教学知识点

1．体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．

2．二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念．

(二)能力训练要求

1．通过分析实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型．

2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．

(三)情感与价值观要求

1．体会方程的模型思想，培养学生良好的数学应用意识．

2．通过对学生熟悉的传统内容(如鸡兔同笼)的讨论，激发学生学习数学的兴趣．

●教学重点

1．通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型．

2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．

●教学难点

1．探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组．

2．判断一组数是不是二元一次方程组的解．

●教学方法

学生自主探索——教师引导的方法．

学生已具备了列一元二次方程解决实际问题的经验基础．在教学中，教师可引导学生思考列二元一次方程时，如何寻求等量关系，放手让学生经过自主探索列出二元一次方程组．

●教具准备

投影片三张：

第一张：老牛和小马的对话(记作§7.1 A)；

第二张：“希望工程”义演(记作§7.1 B)；

第三张：做一做(记作§7.1 C)．

●教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

［师］小学时，我们就解答过著名的“鸡兔同笼”的问题，如“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”谁能用我们学过的知识来解答一下呢？

［生］解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，根据题意，可得：

2x+4(35－x)=94

解得x=23

∵35－x=35－23=12

答：鸡有23只，兔有12只．

［生］不用方程也可以解答：

如果让每只鸡都抬起一条腿，让每只兔子都抬起两条腿，即让它们表演“优美动人”的“金鸡独立”和“玉兔拜月”，这样它们一共抬起了94÷2=47条腿，并且只有47条腿着地了．接着让鸡飞上蓝天，让兔练习“金鸡独立”，也就是每只兔子只有一只腿着地，这样着地的腿数又减少了35条，而只有47－35=12条腿着地了，并且有一条腿着地，就有一只兔子，所以应该有12只兔子，35－12=23只鸡．

［师］这两位同学解答“鸡兔同笼”的问题都非常精彩，特别是第二位同学．我们用掌声鼓励他们．接下来，老师说一种新的思路．在上面“鸡兔同笼”的问题中，我们会发现它有两个等量关系：鸡的只数+兔子的只数=35；鸡的腿数+兔子的腿数=94．如果我设鸡有x只，兔子有y只，这时我们就得到了方程x+y=35和2x+4y=94．

这节课我们就来学习这样的方程及由它们组成的方程组．

Ⅱ．讲授新课

出示投影片(§7.1 A)，并讨论回答下列问题．

［师生共析］设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹．从老牛和小马的对话中，我们可以探索到其中的等量关系：①老牛驮的包裹－小马驮的包裹数=2，②老牛驮的包裹数+1=(小马驮的包裹数－1)×2．由此我们就可得到方程x－y=2和x+1=2(y－1)．

出示投影片(§7.1 B)

［生］在上述问题中，我们可以找到的等量关系为：成人人数+儿童人数=8，

成人票款+儿童票款=34．

由此我们可得方程x+y=8和5x+3y=34．

［师］在上面的两个问题中，我们得到了四个方程：x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34．在这四个方程中，它们有何共同的特点．下面请同学们分组讨论．

(此时，老师可参与到学生的讨论中，引导学生和以前学过的一元一次方程相联系，观察方程中有几个未知数，未知数的次数是几次？含有未知数的项的次数是几次？)

［生］上面我们所列的四个方程都含有两个未知数，未知数的次数和含有未知数的项的次数都是一次．老师，我们能不能把它们叫二元一次方程．因为我国古代就把未知数叫做元，并且它们的未知数的次数是一次．

［师］很好．它们的确都是二元一次方程．但我有一个问题和大家共讨论．我这儿有一个方程6xy－3=2．它也含有两个未知数，且未知数的次数x，y都是一次，它和上面的四个方程一样吗?

［生］不一样．它虽然含有两个未知数，未知数x，y也都是一次的，但6xy这一项即含未知数的项却是二次的．

［师］你真棒．正象这位同学说的，6xy－3=2不是二元一次方程．x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34它们才是二元一次方程．能用自己的语言归纳什么叫二元一次方程吗？

［生］含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．

［师］接下来，我们讨论下面的问题：

在上面的方程x－y=2和x+1=2(y－1)中，x，y的含义相同吗？

［生］应该相同．在两个二元一次方程中，x都表示老牛驮的包裹数，y都表示小马驮的包裹数，因此x，y的含义是相同的．

［师］也就是说，x、y既满足第一个方程x－y=2，又满足第二个方程x+1=2(y－1)．于是我们把它们联立起来，得

像这样的含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．如、和都是二元一次方程组．注意在一个方程组中x、y应代表同一个量．

出示投影片(§7.1 C)

(请同学们分组讨论完成，教师深入学生当中，随时发现同学们讨论问题时的闪光点)

［师生共析］(1)把x=6，y=2代入方程x+y=8的左边得x+y=6+2=8，左边=右边，所以x=6，y=2是适合方程x+y=8．我们把适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解．因此x=6，y=2即为x+y=8的一组解．

我们会发现x=5，y=3也适合方程x+y=8，因此x=5，y=3也是方程x+y=8的一组解．

还有没有其他的x，y的值适合方程x+y=8呢？

［生］有．如x=1，y=7;x=4，y=4;x=8，y=0;……

［生］我发现，只要给出x的一个值，代入x+y=8中，便可得到y的一个值．例如我们设x=－1，则代入x+y=8中，得－1+y=8，解得y=9．所以x=－1，y=9适合方程，是方程的一个解．也因此而得到x+y=8的解有无数多个．

［师生共析］(2)把x=5，y=3代入方程5x+3y=34的左边=5x+3y=5×5+3×3=34．所以x=5、y=3是方程5x+3y=34的一个解．同样x=2，y=8也是方程5x+3y=34的一个解．我们把x=2，y=8是方程5x+3y=34的一个解记作同样也是方程5x+3y=34的一个解．

(3)由(1)、(2)我们可以发现既是方程x+y=8的一个解，也是5x+3y=34的一个解．我们把这两个二元一次方程的公共解，叫做由这两个二元一次方程组成的方程组的解．例如就是二元一次方程组的解．

Ⅲ．例题精析

［例1］(1)已知方程2xm+2+3y1－2n=17是一个二元一次方程，则m=________，n=________．

(2)方程①y=3x2+x;②3x+y=1;③2x+4z=5z;④xy=2;⑤+y=0;⑥x+y+z=1;

⑦+x=4中，是二元一次方程的有_________．

解：(1)由二元一次方程的定义，得

m+2=1，1－2n=1

∴m=－1，n=0

(2)根据二元一次方程的定义．可知②③⑤是二元一次方程．

评注：二元一次方程必须要同时符合下列条件的整式方程：①方程中含有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数都是1．

［例2］写出一个以为解的二元一次方程组．

解：答案不惟一．只要写出的二元一次方程组的解是即可．例如

评注：二元一次方程组的解必须同时适合方程组中的每个方程．

Ⅳ．随堂练习

课本练习的答案

1．解：设小明买了面值50分的邮票x枚和面值80分的邮票y枚，则可列出方程组．

2．解：分别将四组数值代入方程2x+y=10的左边，可知：

(1)代入左边=2x+y=2×(－2)+6=2≠10，即左边≠右边，所以不是方程2x+y=10的解．

(2) 代入左边=2x+y=2×3+4=10即左边=右边，所以是方程2x+y=10的解．

(3) 代入左边=2x+y=2×4+3=11即左边≠右边，所以不是方程2x+y=10的解．

(4) 代入左边=2x+y=2×6+(－2)=10即左边=右边，所以是方程2x+y=10的解．

3．解：根据二元一次方程组的解的定义，将四个解分别代入方程组的每一个方程，可得是方程组的解．

Ⅴ．课时小结

这节课通过对实际问题的分析，使学生进一步体会到了方程是刻画现实世界的有效模型．在此基础上，我们了解了二元一次方程．二元一次方程组及其解等概念，并学会了判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．

Ⅵ．课后作业

(一)习题7.1

(二)预习课本，体会二元一次方程组是如何转化为一元一次方程问题的．

Ⅶ．活动与探究

求二元一次方程2x+y=7的正整数解．

过程：我们知道求二元一次方程2x+y=7的正整数解，就是求适合2x+y=7的一组未知数的正整数的值．2x+y=7的解有无数多个，而正整数解只有九个．由等式的性质可由方程2x+y=7得到y=7－2x，由于x，y只能取正整数，所以x=1，2或3．

当x=1时，y=7－2×1=5;

当x=2时，y=7－2×2=3;

当x=3时，y=7－2×3=1．

结果：二元一次方程2x+y=7的正整数解为

●板书设计

●备课资料

一、参考例题

［例1］已知方程8x=y+4．(1)用x的代数式表示y．(2)求当x为何值时，y=12？

分析：第(1)小题中，关键是把x看作是已知数，把y看作是未知数，然后按解一元一次方程的解法解；第(2)小题中把y=12代入方程8x=y+4实际就是含未知数x的一元一次方程．

解：(1)去分母，得24x=y+12

移项，得y=24x－12

(2)若y=12，即24x－12=12

∴24x=24，x=1

评注：将二元一次方程中的一个未知数用另一未知数的代数式表示出来，这个过程实质是方程的一个变形，这种变形的方法是，把二元一次方程看做一元一次方程，其中把要表示的未知数仍看作是未知数，把另一个未知数看作已知数，然后解一元一次方程即可．

［例2］已知是方程组的解，求m+n的值．

分析：因为是方程组     的解，所以同时满足方程①和方程②，将分别代入方程①和方程②，可得

则③和④可求出m、n的值．

解：∵是方程组的解，所以将其代入原方程组中两个等式仍成立，即解得，∴m+n=－1+0=－1

评注：仔细体会“已知方程组的解”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义．

二、参考练习

1．填空题

(1)已知方程2x2n－1－3y3m－n+1=0是二元一次方程，则m=_________，n=_________．

(2)方程①2x+5y=0;②2x－=8;③5x+2y=7;④4x－xy=3;⑤;⑥x－2y2=6;⑦+y=5中，二元一次方程有_________．(填序号)

(3)若x－3y=2，则7－2x+6y=_________．

(4)若x=1，y=－1适合方程3x－4my=1，则m=_________．

(5)在x－5y=7中，用x表示y=_________；若用y表示x，则_________．

答案：(1)　　 (2)①③⑤⑦　(3)7－2x+6y=7－2(x－3y)=7－2×2=3　

(4)－　(5)　7+5y

2．选择题

(1)下列方程组中，是二元一次方程组的是(   )

A．        B．

C．        D．

(2)下列各对数中，是方程组的解是(   )

A．　　　    B．

C．           D．均不对

(3)已知是方程组的解，则a等于(   )

A．　            B．2　

C．1　             D．－2

(4)若是方程3x+y=0的一个解(a≠0)．则有(   )

A．a、b异号                 B．a、b同号

C．a、b同号也可能异号       D．以上均不对

答案：(1)C　(2)B　(3)A　(4)A

3．已知方程，求当x=－3时，y的值．

答案：－3