高中人教B版 (2019)5.2.1 等差数列课堂检测

【精编】5.2.1 等差数列练习

一．填空题

1．已知数列满足，为的前项和，记，数列的前项和为，则______．

2．已知等差数列的前项和为，若，，则的最大值为_________.

3．数列中，当n为奇数时，，当n为偶数时，， 则这个数列的前项的和=________

4．设数列满足，且，则数列中的最小项为__________，最大项为__________（要求写出具体的值）.

5．已知为等差数列的前项和，且，，则______.

6．各项均不为零的数列的前n项和为，且，，则数列的通项公式为_________．

7．已知数列满足，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.

8．等差数列的前15项和为90，则________．

9．若等差数列的前n项和，则实数t的值为________；

10．等差数列中，，，则满足不等式的正整数的最大值是______.

11．若数列是公差不为0的等差数列，．．成等差数列，则的值为______.

12．等差数列中，，则 _______.

13．等差数列，的前n项和分别为，，若，则______.

14．设等差数列的前n项和，，，若数列的前m项和为，则________.

15．已知数列的前项和，则数列满足________，若，数列的前项和为，则_______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由等差数列的求和公式，求得，得到，利用分组求和，即可求解.

详解：由题意，数列满足，则，

则，

则

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差数列的通项公式和求和公式，合理应用分组求和求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

2．【答案】

【解析】设数列的公差为，由等差数列的求和公式和性质求出，并求出和的最大值.

详解：解：设数列的公差为，则，，

又，，，

时，，又

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，前项和．最值的求法，属于中档题.

3．【答案】

【解析】当n为奇数时，，奇数项为等差数列，当n为偶数时，，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前项的和.

详解：

所以数列的奇数项是首项为公差为的等差数列，数列的偶数项首项为公比为的等比数列，

∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用分组求和法求数列的前项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差．等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.

4．【答案】    1 

【解析】由已知条件可知数列是等差数列，可求出其通项，从而可求出数列的通项，结合反比例函数的性质分析可得答案.

详解：解：因为数列满足，且，

所以数列是以2为公差，为首项的等差数列，

所以 ，

所以，

令，此函数在上单调递减，且

在上单调递减，且

所以对于，当时，其有最小值，

当时，其有最大值，

所以数列中最小项为，最大项为1，

故答案为：；1

【点睛】

此题考查数列的函数特性，涉及等差数列的通项公式，考查转化思想，属于基础题.

5．【答案】120

【解析】根据等差数列通项公式及前项和公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组求得首项与公差，再代入前项和公式即可求得的值.

【详解】

设等差数列的公差为，

根据题意得

解得，，

所以

.

故答案为：120.

6．【答案】

【解析】根据数列的递推关系构造等差数列，利用与的关系即可求出数列的通项公式．

详解：解：由得，

当时，，

，，

等式两边同时除以得，

即是以3为首项，3为公差的等差数列，

则，

即，则，，

不满足，，

数列的通项公式，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解，利用数列的递推关系结合与的关系是解决本题的关键．

7．【答案】

【解析】由数列递推公式，求得，把不等式对任意恒成立，转化为对任意恒成立，设，求得的单调性与最值，即可求解.

详解：由题意，数列满足，，

则（常数），所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，

所以，整理得，

不等式对任意恒成立，

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

设，则，

当时，，此时数列为递增数列；

当时，，此时数列为递减数列，

又由，所以，

即实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及恒成立问题的求解和数列的单调性的判定及应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

8．【答案】6

【解析】根据等差数列求和公式得,再结合等差数列性质即可求结果.

详解：因为等差数列的前15项和为90，所以

故答案为：6

【点睛】

本题考查等差数列求和公式．等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

9．【答案】-1

【解析】由，得到，又因为是等差数列，再利用等差中项求解.

详解：因为

所以

又因为是等差数列

所以

解得

故答案为：-1

【点睛】

本题主要考查了等差数的前n项和及等差中项，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

10．【答案】59

【解析】计算得到，解不等式得到答案.

详解：由得，即，又，解得，

故正整数的最大值为59.

故答案为：59.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，解不等式，意在考查学生的计算能力.

11．【答案】3

【解析】根据题意得到，化简得到，计算得到答案.

详解：依题可得，即，

设数列公差为，可得，解得，所以，.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.

12．【答案】

【解析】利用等差数列下标和性质及求和公式计算可得；

详解：解：由等差数列前n项和公式得,又，

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列下标和性质及求和公式的应用，属于基础题.

13．【答案】

【解析】

由为等差数列可得，

同理可得，所以.

故答案为：

14．【答案】2020

【解析】

由题意知，为等差数列的前n项和，设公差为d，由，.得

，解得，

则，所以.

则，解得，

故答案为：202【题文】

15．【答案】     

【解析】令可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列是等比数列，确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得，利用裂项相消求和法可求得.

详解：当时，，可得；

当时，由可得，

两式相减得，得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，.

，，

因此，.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了裂项相消求和法，考查计算能力，属于中等题.