人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理课时训练

【优选】3.1.1 基本计数原理-4课时练习

一．单项选择

1．如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有(    )

A．24种 B．16种 C．12种 D．10种

2．一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样方法从全体运动员中抽取一个容量的样本，则样本中女运动员人数是（    ）

A． B． C． D．

3．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：

如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（    ）

A．   B．   C．    D．

4．用10元．5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法的种数为（   ）

A．3    B．5    C．9    D．12

5．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：

如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（    ）

A．

B．

C．

D．

6．将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（    ）种．

A．6 B．12 C．18 D．36

7．将边长为的正方形的每条边三等份，使之成为表格.将其中个格染成黑色，使得每行每列都有两个黑格的染色方法种数有（   ）

A．    B．    C．    D．

8．现有五位同学分别报名参加航模．机器人．网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有(   )

A．120种 B．5种 C．种 D．种

9．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（    ）

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

10．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（    ）

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

11．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有(　　)

A．22种 B．350种 C．32种 D．20种

12．一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法有种（　　）

A．24 B．25 C．31 D．32

13．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为．．．．（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（    ）

A．20 B．15

C．10 D．5

14．已知集合M={－2，3}，N={－4,5,6}，依次从集合M，N中各取出一个数分别作为点P的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一．二象限内的点P的个数是(    )

A．4 B．5 C．6 D．7

15．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是(　　)

A．420 B．210 C．70 D．35

16．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（    ）.

A．20种 B．16种 C．12种 D．8种

17．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（    ）

A．240 B．360 C．420 D．960

18．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（    ）

A．48个 B．36个 C．24个 D．18个

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有种，故选C.

2．【答案】C

【解析】由题得样本中女运动员人数为，计算即得解.

【详解】

由题得样本中女运动员人数是.

故选：C

【点睛】

本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

3．【答案】B

【解析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字.

【详解】

按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下

2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，

则上列情况能表示的三位数字个数分别为：

2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，

根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：

.

故选B.

【点睛】

本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力.

4．【答案】C

【解析】由题意，根据币值的种数，分为三类，利用分类计数原理，即可求解。

【详解】

由题意，只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；

用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；

用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种．

由分类加法计数原理得，共有3＋5＋1＝9(种)，故选C。

【点睛】

本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中认真审题，根据币值的张数合理分类，再利用分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

5．【答案】B

【解析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字.

【详解】

按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下

2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，

则上列情况能表示的三位数字个数分别为：

2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，

根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：

.

故选B.

【点睛】

本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力.

6．【答案】A

【解析】完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解.

【详解】

先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一．二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有种方法.

故选：A

【点睛】

本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7．【答案】B

【解析】根据题意得到，可将方格一列一列涂色，涂好第一列有3种涂法，之后涂第二列分情况讨论，再讨论第三列.

【详解】

根据题意可按照列选择涂色的元素，第一列可有3种选择方式，第一列方格标号为1，2，3，当第一列选定时比如选定1，2，第二列有两种选择，涂第一行和第三行，或者涂第二行和第三行，当第二列确定时，第三列也就确定了.故共种涂色方法.

故答案为：B.

【点睛】

解排列组合问题要遵循两个原则：

①按元素(或位置)的性质进行分类；

②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

8．【答案】D

【解析】先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案.

【详解】

A同学可以参加航模．机器人．网页制作三个兴趣小组,共有3种选择.

同理BCDE四位同学也各有3种选择,乘法原理得到

答案为D

【点睛】

本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.

9．【答案】D

【解析】每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有种，应选D.

10．【答案】C

【解析】根据分步乘法计数原理计算可得结果.

【详解】

每位同学有种选择，则不同的报名方法共有：种选法

故选：

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理的应用，属于基础题.

11．【答案】A

【解析】从中任选一本阅读，选择的方法有三类，故选择1本书的方法需要分三种情况讨论，再利用加法原理解决问题.

【详解】

解：由题意知本题是一个分类计数问题，

解决问题分成三个种类，一是选择语文书，有10种不同的选法；

二是选择英语书，有7种不同的选法，

三是选择数学书，有5种不同的选法，

根据分类计数原理知，共有10+7+5＝22种不同的选法.

【点睛】

本题考查分类计数原理，本题解题的关键是看清楚完成一件事包含有几类情况，计算出每一类所包含的基本事件数，进而相加得到结果.

12．【答案】C

【解析】每盏灯有2种状态，根据乘法原理共有种状态，排除全部都熄灭的状态，得到答案.

【详解】

由题意有这个教室能照明的方法有种，

故选：C．

【点睛】

本题考查了乘法原理，属于简单题.

13．【答案】C

【解析】正五边形，考虑先固定，第二步只能固定或，依次确定第三步和第四第五步，共两种顺序，同理先固定其他四个位置各两种，一共十种顺序.

【详解】

此题相当于在正五边形中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，

考虑放第一个位置，第二步只能或，依次ACEBD或ADBEC两种；

同理分别让B．C．D．E放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.

故选：C

【点睛】

此题考查计数原理的应用，需要弄清完成一件事情是通过如何分类或分步完成，适当的情况下列举出部分基本情况对解题大有帮助.

14．【答案】A

【解析】由对于集合中的元素作为点的横坐标，中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有个，在第二象限的点共有个，由分类计数原理，即可求解．

【详解】

由题意，要使得点在平面直角坐标系中位于第一．二象限内，

对于集合中的元素作为点的横坐标，中的元素作点的纵坐标，

在第一象限的点共有个；

在第二象限的点共有个；

由分类计数原理可得点的个数为个，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”．“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．

15．【答案】A

【解析】将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.

【详解】

按照的顺序：

当相同时：染色方案为

当不同时：染色方案为

不同的染色方案为：种

故答案为：A

【点睛】

本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为相同和不同两种情况是解题的关键.

16．【答案】C

【解析】正方体共有条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有个

共有组，再考虑重复情况得到答案.

【详解】

正方体共有条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有个

共有组，每组中包含两条棱，故有

故选：

【点睛】

本题考查了计数问题，意在考查学生的空间想象能力.

17．【答案】C

【解析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.

详解：由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S．A．B所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法.

设5种颜色为1，2，3，4，5，当S．A．B染好时，不妨设其颜色分别为1．2．3，

若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；

若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.

可见，当S．A．B已染好时，C．D还有7种染法，故不同的染色方法有（种）.

故选：C

【点睛】

本题考查分类加法原理．分步乘法原理的综合应用，考查学生的分类讨论的思想．逻辑推理能力，是一道中档题.

18．【答案】A

【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，

大于20000决定了第一位 只能是2，3，4，5共4种可能，

偶数决定了末位是2，4共2种可能

当首位是2时，末位只能是4，有A33=6种结果，

当首位是4时，同样有6种结果，

当首位是1，3，5时，共有3×2×A33=36种结果，

总上可知共有6+6+36=48种结果，

故选A．