高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理一课一练

【精选】3.1.1 基本计数原理-3同步练习

一．单项选择

1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（    ）

A．24种 B．9种 C．3种 D．26种

2．将四棱锥S﹣ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（　　）

A．480种 B．360种 C．420种 D．320种

3．2020新冠疫情期间，某村把5个小组的志愿者安排到该村的，，，四个路口值守，其中在，，三个路口各安排一个小组，在路口安排2个小组，则不同的安排方法共有（    ）

A．60种 B．120种 C．150种 D．240种

4．回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为（n为正整数），如11是2位回文数，则（    ）

A． B． C． D．

5．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用局胜制.在一局比赛中，先得分的运动员为胜方，但打到平以后，先多得分者为胜方.在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球贏球的概率为，则在比分为后甲先发球的情况下，甲以赢下此局的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有（    ）

A．条 B．条

C．条 D．条

7．对任意正整数，定义的双阶乘如下：当为偶数时，；当为奇数时，．现有四个命题：①；②；③个位数为；④个位数为．其中正确的个数为（ 　  ）

A． B． C． D．

8．动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（　　）

A．7 B．9 C．11 D．13

9．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为（   ）

A．24 B．14 C．10 D．9

10．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为（    ）

A．20 B．15 C．12 D．10

12．某小区有3个正门，2个偏门，则进入该小区的方式有（    ）

A．3种 B．2种 C．6种 D．5种

13．一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的个数是（    ）

A．63 B．65 C．67 D．69

14．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（    ）

A．150种 B．180种 C．240种 D．120种

15．从0，1，2，3，4中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，共有个数是（    ）

A．10 B．20 C．48 D．60

16．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（    ）

A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种

17．教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯，从一层到四层共有（    ）种走法

A． B． C． D．

18．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ）

A．24 B．64 C．81 D．48

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】所选的杂志可以分成3类，求出每类杂志任选一本的方法，然后相加，即可求出结论.

详解：某同学从4本不同的科普杂志任选1本，有4种不同选法，

从3本不同的文摘杂志任选1本，有3种不同的选法，

从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本，有2种不同的选法，

根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：种.

故选：B.

【点睛】

本题考查分类加法计数原理，属于基础题.

2．【答案】C

【解析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.

详解：分两步，由题设四棱锥的顶点S,A,B 所染颜色互不相同，则共有5×4×3=605×4×3=60 ，

当S,A,B染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3，若C 染2 ，则DD可染33或4或5，

共三种，若C 染4 ，则D 可染3 或5，共2种，若C 染5 ，则D 可染3 或4，共2种，

即当S,A,B染好时，C,D 还有7 种染法，所以共有60×7=420 ，

故选:C.

【点睛】

本题主要考查分类计数原理与分步计数原理综合应用，属于中档题.两个原理的应用不是孤立的，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

3．【答案】A

【解析】分两步完成，第一步先安排路口安排2个小组有种安排方法，再安排剩下的三个小组到，，三个路口有种安排方法，最后根据分步乘法计数原理即可得答案.

详解：解：先在5个小组中任选2个，安排到路口，有种安排方法；

将剩下的3个小组安排到，，三个路口，有种安排方法.

由分步计数原理，得共有种不同的安排方法.

故选：A.

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理和排列组合的综合应用，是中档题.

4．【答案】C

【解析】根据回文数的特点，根据分步计数原理，依次写出满足条件的，，，的值，判断选项.

详解：2位回文数包含11，,22,33，,99，共9个，所以

3位回文数，第一位和第三位有9种方法，中间有10种方法，根据分步计数原理可知，共个，故，

4位回文数，第一位和第四位有9种方法，中间两位有10种方法，根据分步计数原理可知有种方法，故

5位回文数，第一位和第五位有9种方法，中间以为有10种方法，第二位和第四位有10种方法，根据分步计数本原理可知有种，故.

故选：C

【点睛】

本题考查分步计数原理，关键是读懂新定义数字问题的理解和运用，属于中档题型.

5．【答案】C

【解析】分后四球胜方依次为甲乙甲甲,与乙甲甲甲两种情况进行求解即可.

详解：分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲,概率为；

②后四球胜方依次为乙甲甲甲,概率为.

所以,所求事件概率为：.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了分步与分类计数求解概率的问题,需要根据题意判断出两种情况再分别求解,属于基础题.

6．【答案】C

【解析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.

详解：若线路为甲乙丁则有,路线为甲丙丁则有.故共有.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.

7．【答案】C

【解析】利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简可判断②的正误；由能被整除可判断③的正误；由能被整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论.

详解：对于命题①，由双阶乘的定义得，，

所以，，命题①正确；

对于命题②，，命题②错误；

对于命题③，，则能被整除，则的个位数为，命题③正确；

对于命题④，能被整除，则的个位数为或，

由于为奇数，所以，的个位数为，命题④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.

8．【答案】D

【解析】根据题意，分为动点M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案.

详解：根据题意，分4种情况讨论：

①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，

②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，

③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2，

④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，

故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，

故选：D.

【点睛】

本题考查分类计数原理，考查了分类讨论的思想，属于中档题.

9．【答案】B

【解析】分析：利用两个计数原理即可得出.

详解：由题意可得，不同的选择方式.

故选：B.

点睛：切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行；分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．

10．【答案】D

【解析】根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解.

详解：类产品共两件，类产品共三件，

则第一次检测出类产品的概率为；

不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为；

故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为；

故选：D.

【点睛】

本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.

11．【答案】D

【解析】抓住上底面的一个顶点，看从此顶点出发的对角线有多少条即可解决．

解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，

故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．

故选D

点评：本题考查计数原理在立体几何中的应用，考查空间想象能力．

12．【答案】D

【解析】根据分类计数加法原理即得结果.

详解：进入该小区的方式可以从正门进，也可从偏门进，

所以根据分类计数加法原理得该小区的方式有种

故选：D

【点睛】

本题考查分类计数加法原理，考查基本分析求解能力，属基础题.

13．【答案】C

【解析】根据汽车要卖最多种票，车上应准备每个车站到达后它后面每一个车站的车票，然后再以前面个车站中的每一个作为起点，后面个车站作为终点，求出车票数，再根据满载为25人，即可得出答案.

详解：上应准备每个车站到达后它后面每一个车站的车票，

所以一共应准备（种），

但不可能在一次单程行驶中都卖得出去，

以前面个车站中的每一个作为起点，后面个车站作为终点，

应当有（种），

但持有这种票的乘客都要通过号车站与号车站之间，

但由于汽车满员为25人，

所以这种车票至少会有（种）卖不出去，

所以车上最多卖出不同的车票的个数是（种）.

故选：C

【点睛】

本题考查了分步乘法计数原理．分类加法计数原理，考查了考生分析问题．解决问题的能力，属于中档题.

14．【答案】B

【解析】分步完成涂色，先涂，再涂，然后涂，．

详解：分步涂色，第一步对涂色有5种方法，第二步对涂色有4种方法，第三步对涂色有3种方法，第四步对涂色有3种方法，

∴总的方法数为．

故选：B．

【点睛】

本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成涂色这件事的方法：分类还是分步．

15．【答案】C

【解析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案.

【详解】

从0，1，2，3，4中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，

第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法，

再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法，

总数为.

故选：C.

16．【答案】D

【解析】第一步完成3号区域有6种不同方法，第二步完成1号区域有5种不同方法，第三步完成4号区域有4种不同方法，第四步完成2号区域有3种不同方法，第五步完成5号区域有4种不同方法，第六步完成6号区域有3种不同方法，最后求出不同的涂色方法即可

详解：解：根据题意分步完成任务：

第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；

第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；

第三步：完成4号区域：从除去3．1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；

第四步：完成2号区域：从除去3．1．4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；

第五步：完成5号区域：从除去1．2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；

第六步：完成6号区域：从除去1．2．5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；

所以不同的涂色方法：种.

故选：D.

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理解决涂色问题，是基础题.

17．【答案】B

【解析】根据题意，分析层与层之间的走法数目，利用分步计数原理计算可得答案．

详解：解：根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯，

则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层．从三层到四层也各有2种走法，

则从一层到四层共有种走法．

故选：B．

【点睛】

本题考查分步计数原理的应用，注意认真分析题意，注意四层的大楼有三层楼梯，属于基础题．

18．【答案】C

【解析】根据乘法原理可直接得解.

详解：4名同学每人有3种选择，所以共有种，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了分步计数原理，属于基础题.